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1.(2024·辽宁)下列计算正确的是 （
A.$a^2 + a^3 = 2a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^6$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$a(a+1) = a^2 + a$
D
）A.$a^2 + a^3 = 2a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^6$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$a(a+1) = a^2 + a$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查整式的相关运算，解题时需依次回忆合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式的运算法则，逐一判断每个选项的运算是否正确，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a^2$与$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，因此A计算错误；
B选项：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠a^6$，因此B计算错误；
C选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠a^5$，因此C计算错误；
D选项：根据单项式乘多项式的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$a(a+1)=a·a + a·1 = a^2 + a$，因此D计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项，幂的运算，单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心是区分不同整式运算的规则，尤其要注意避免混淆幂的运算中指数的运算规则，熟练掌握基础法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式的相关运算，解题时需依次回忆合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式的运算法则，逐一判断每个选项的运算是否正确，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a^2$与$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，因此A计算错误；
B选项：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠a^6$，因此B计算错误；
C选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠a^5$，因此C计算错误；
D选项：根据单项式乘多项式的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$a(a+1)=a·a + a·1 = a^2 + a$，因此D计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项，幂的运算，单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心是区分不同整式运算的规则，尤其要注意避免混淆幂的运算中指数的运算规则，熟练掌握基础法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.(2025·献县开学)若a是大于1的正整数，且满足$\underbrace{a^n + a^n + \dots + a^n}_{a个a^n相加}=a^8$，则n的值是（
A.5
B.6
C.7
D.8
C
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
2.C
解析
【分析】
首先观察等式左边是a个相同的项$a^n$相加，可先通过合并同类项将加法运算转化为乘法运算，再运用同底数幂的乘法法则化简左边的式子，最后根据底数大于1的两个同底数幂相等时指数相等的性质，列方程求出n的值即可。
【解析】
第一步：化简等式左边：a个$a^n$相加，合并同类项可得：
$\underbrace{a^n + a^n + \dots + a^n}_{a个a^n相加}=a · a^n$
第二步：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a · a^n = a^{1+n}$
第三步：由题意得$a^{1+n}=a^8$，已知a是大于1的正整数，因此两个幂的指数相等，即：
$1 + n = 8$
解得$n=7$
【答案】
C
【知识点】
合并同类项、同底数幂的乘法、幂相等的条件
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题，解题的核心是区分相同项的加法运算和乘方运算的差异，再结合幂的运算法则建立等量关系求解，避免将多个相同项相加误算为乘方运算。
【难度系数】
0.7
首先观察等式左边是a个相同的项$a^n$相加，可先通过合并同类项将加法运算转化为乘法运算，再运用同底数幂的乘法法则化简左边的式子，最后根据底数大于1的两个同底数幂相等时指数相等的性质，列方程求出n的值即可。
【解析】
第一步：化简等式左边：a个$a^n$相加，合并同类项可得：
$\underbrace{a^n + a^n + \dots + a^n}_{a个a^n相加}=a · a^n$
第二步：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a · a^n = a^{1+n}$
第三步：由题意得$a^{1+n}=a^8$，已知a是大于1的正整数，因此两个幂的指数相等，即：
$1 + n = 8$
解得$n=7$
【答案】
C
【知识点】
合并同类项、同底数幂的乘法、幂相等的条件
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题，解题的核心是区分相同项的加法运算和乘方运算的差异，再结合幂的运算法则建立等量关系求解，避免将多个相同项相加误算为乘方运算。
【难度系数】
0.7
3.(庄浪期末)已知$x^m=6,x^n=4$,则$x^{2m}÷ x^n=$
9
.答案
3.9
解析
【分析】
本题已知$x^m$和$x^n$的值，要求$x^{2m}÷ x^n$的结果，需要结合幂的运算法则将待求式转化为用已知条件表示的形式。首先逆用幂的乘方公式，将$x^{2m}$变形为$(x^m)^2$，此时待求式就转化为$(x^m)^2÷ x^n$，直接代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据幂的乘方的逆运算可得：
$x^{2m}=(x^m)^2$
因此$x^{2m}÷ x^n=(x^m)^2÷ x^n$
将$x^m=6$，$x^n=4$代入上式得：
原式$=6^2÷4=36÷4=9$
【答案】
9
【知识点】
幂的乘方，同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算法则的应用，解题的关键是熟练掌握幂的乘方的逆运算，将待求式转化为含已知条件的形式后代入计算，是整式运算中的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
本题已知$x^m$和$x^n$的值，要求$x^{2m}÷ x^n$的结果，需要结合幂的运算法则将待求式转化为用已知条件表示的形式。首先逆用幂的乘方公式，将$x^{2m}$变形为$(x^m)^2$，此时待求式就转化为$(x^m)^2÷ x^n$，直接代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据幂的乘方的逆运算可得：
$x^{2m}=(x^m)^2$
因此$x^{2m}÷ x^n=(x^m)^2÷ x^n$
将$x^m=6$，$x^n=4$代入上式得：
原式$=6^2÷4=36÷4=9$
【答案】
9
【知识点】
幂的乘方，同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算法则的应用，解题的关键是熟练掌握幂的乘方的逆运算，将待求式转化为含已知条件的形式后代入计算，是整式运算中的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
4.计算：$(\dfrac{3}{4})^{10}×(-\dfrac{4}{3})^{12}=$
$\dfrac{16}{9}$
.答案
4.$\dfrac{16}{9}$
解析
【分析】观察算式中两个幂的底数互为负倒数，指数接近，可利用幂的运算性质简化计算：首先逆用同底数幂的乘法法则，将指数较高的$(-\dfrac{4}{3})^{12}$拆分为$(-\dfrac{4}{3})^{10}×(-\dfrac{4}{3})^2$，再逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$，将同指数的两个幂合并计算，最后计算剩余部分即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{3}{4})^{10}×(-\dfrac{4}{3})^{10}×(-\dfrac{4}{3})^{2}\\&=[\dfrac{3}{4}×(-\dfrac{4}{3})]^{10}×\dfrac{16}{9}\\&=(-1)^{10}×\dfrac{16}{9}\\&=1×\dfrac{16}{9}\\&=\dfrac{16}{9}\end{aligned}$
【答案】$\dfrac{16}{9}$
【知识点】积的乘方逆运算，同底数幂的乘法，有理数乘方
【点评】本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题的核心是发现底数的倒数关系，通过拆分指数逆用运算公式简化计算，能有效避免直接计算高次幂的繁琐，易错点是符号判断和公式逆用的条件混淆。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{3}{4})^{10}×(-\dfrac{4}{3})^{10}×(-\dfrac{4}{3})^{2}\\&=[\dfrac{3}{4}×(-\dfrac{4}{3})]^{10}×\dfrac{16}{9}\\&=(-1)^{10}×\dfrac{16}{9}\\&=1×\dfrac{16}{9}\\&=\dfrac{16}{9}\end{aligned}$
【答案】$\dfrac{16}{9}$
【知识点】积的乘方逆运算，同底数幂的乘法，有理数乘方
【点评】本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题的核心是发现底数的倒数关系，通过拆分指数逆用运算公式简化计算，能有效避免直接计算高次幂的繁琐，易错点是符号判断和公式逆用的条件混淆。
【难度系数】0.7
5.(靖江二模)已知$5^a=4,5^b=6,5^c=9$,则$a,b,c$之间满足的等量关系是
$a+c=2b$
.答案
5.$a+c=2b$
解析
【分析】
已知条件均是底数为5的幂，要推导指数a、b、c的等量关系，可先观察幂的结果4、6、9的运算关系，不难发现4×9=6²，再结合同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则，将数值关系转化为底数为5的幂的等式，最后根据底数相同的两个幂相等时指数也相等，即可得到a、b、c的等量关系。
【解析】
解：首先观察数值关系可得：$4 × 9 = 36 = 6^2$
将$5^a=4$，$5^b=6$，$5^c=9$代入上式，得：
$5^a × 5^c = (5^b)^2$
根据同底数幂的乘法法则，左边化简为：$5^a × 5^c = 5^{a+c}$
根据幂的乘方法则，右边化简为：$(5^b)^2 = 5^{2b}$
因此可得：$5^{a+c} = 5^{2b}$
由于底数$5 ≠ 0$且$5 ≠ 1$，所以两个幂相等时指数必然相等，即：
$a + c = 2b$
【答案】
$a+c=2b$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；同底数幂的性质
【点评】
本题侧重考查幂的运算法则的灵活运用，解题的突破口是找到已知幂的运算结果之间的乘积、乘方关系，再将其转化为指数之间的关系，能很好地考查学生对基础知识的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
已知条件均是底数为5的幂，要推导指数a、b、c的等量关系，可先观察幂的结果4、6、9的运算关系，不难发现4×9=6²，再结合同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则，将数值关系转化为底数为5的幂的等式，最后根据底数相同的两个幂相等时指数也相等，即可得到a、b、c的等量关系。
【解析】
解：首先观察数值关系可得：$4 × 9 = 36 = 6^2$
将$5^a=4$，$5^b=6$，$5^c=9$代入上式，得：
$5^a × 5^c = (5^b)^2$
根据同底数幂的乘法法则，左边化简为：$5^a × 5^c = 5^{a+c}$
根据幂的乘方法则，右边化简为：$(5^b)^2 = 5^{2b}$
因此可得：$5^{a+c} = 5^{2b}$
由于底数$5 ≠ 0$且$5 ≠ 1$，所以两个幂相等时指数必然相等，即：
$a + c = 2b$
【答案】
$a+c=2b$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；同底数幂的性质
【点评】
本题侧重考查幂的运算法则的灵活运用，解题的突破口是找到已知幂的运算结果之间的乘积、乘方关系，再将其转化为指数之间的关系，能很好地考查学生对基础知识的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
6.计算:
(1)$a · a^3$;
(2)$a^3 · a^2$;
(3)$(x^2)^3$;
(4)$(-2x^2y^3)^2$;
(5)$[2(x-y)^3]^2 · [-(y-x)^2]^5$.
(1)$a · a^3$;
(2)$a^3 · a^2$;
(3)$(x^2)^3$;
(4)$(-2x^2y^3)^2$;
(5)$[2(x-y)^3]^2 · [-(y-x)^2]^5$.
答案
6.(1)原式=$a^4$
(2)原式=$a^5$
(3)原式=$x^6$
(4)原式=$4x^4 y^6$
(5)原式=$4(x-y)^6 · [-(x-y)^{10} ]=-4(x-y)^{16}$
(2)原式=$a^5$
(3)原式=$x^6$
(4)原式=$4x^4 y^6$
(5)原式=$4(x-y)^6 · [-(x-y)^{10} ]=-4(x-y)^{16}$
解析
【分析】
本题考查整式幂运算的基础应用，解题思路如下：①第(1)(2)题对应同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加；②第(3)题对应幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；③第(4)题对应积的乘方法则：将积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘；④第(5)题先分别计算两个乘方项，利用偶次幂的性质将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$统一底数，再按同底数幂乘法法则计算，注意符号的处理。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：
原式$=a^{1+3}=a^4$
(2) 根据同底数幂的乘法法则：
原式$=a^{3+2}=a^5$
(3) 根据幂的乘方法则：
原式$=x^{2×3}=x^6$
(4) 根据积的乘方法则：
原式$=(-2)^2· (x^2)^2· (y^3)^2=4x^{4}y^{6}$
(5) 先分别计算乘方，再做同底数幂乘法：
第一步：计算$[2(x-y)^3]^2=2^2· [(x-y)^3]^2=4(x-y)^6$
第二步：计算$[-(y-x)^2]^5=(-1)^5· [(y-x)^2]^5=-(y-x)^{10}$，由于偶次幂符号不变，$(y-x)^{10}=(x-y)^{10}$
第三步：合并计算：原式$=4(x-y)^6· [-(x-y)^{10}]=-4(x-y)^{6+10}=-4(x-y)^{16}$
【答案】
(1)$a^4$；(2)$a^5$；(3)$x^6$；(4)$4x^4 y^6$；(5)$-4(x-y)^{16}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础练习题，核心考查三大幂运算法则的灵活运用，易错点为第(5)题中互为相反数的偶次幂的转化、乘方运算的符号判断，解题时需先明确运算顺序，再对应法则逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
本题考查整式幂运算的基础应用，解题思路如下：①第(1)(2)题对应同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加；②第(3)题对应幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；③第(4)题对应积的乘方法则：将积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘；④第(5)题先分别计算两个乘方项，利用偶次幂的性质将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$统一底数，再按同底数幂乘法法则计算，注意符号的处理。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：
原式$=a^{1+3}=a^4$
(2) 根据同底数幂的乘法法则：
原式$=a^{3+2}=a^5$
(3) 根据幂的乘方法则：
原式$=x^{2×3}=x^6$
(4) 根据积的乘方法则：
原式$=(-2)^2· (x^2)^2· (y^3)^2=4x^{4}y^{6}$
(5) 先分别计算乘方，再做同底数幂乘法：
第一步：计算$[2(x-y)^3]^2=2^2· [(x-y)^3]^2=4(x-y)^6$
第二步：计算$[-(y-x)^2]^5=(-1)^5· [(y-x)^2]^5=-(y-x)^{10}$，由于偶次幂符号不变，$(y-x)^{10}=(x-y)^{10}$
第三步：合并计算：原式$=4(x-y)^6· [-(x-y)^{10}]=-4(x-y)^{6+10}=-4(x-y)^{16}$
【答案】
(1)$a^4$；(2)$a^5$；(3)$x^6$；(4)$4x^4 y^6$；(5)$-4(x-y)^{16}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础练习题，核心考查三大幂运算法则的灵活运用，易错点为第(5)题中互为相反数的偶次幂的转化、乘方运算的符号判断，解题时需先明确运算顺序，再对应法则逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
二、多项式的乘除法漏乘、忽视系数、乱用公式、不按运算顺序计算而出错
7.计算：
(1)$2ab(3a^2b - 4ab + 1)$；
(2)$-3xy(2x^2 - y^2 - 2xy)$。
7.计算：
(1)$2ab(3a^2b - 4ab + 1)$；
(2)$-3xy(2x^2 - y^2 - 2xy)$。
答案
7.(1)原式=$6a^3b^2 -8a^2b^2 +2ab$
(2)原式=$-6x^3y+3xy^3+6x^2y^2$
(2)原式=$-6x^3y+3xy^3+6x^2y^2$
解析
【分析】
这两道题均属于单项式乘多项式的运算，解题思路遵循单项式乘多项式的运算法则：首先用单项式依次乘以多项式的每一项，再把所有得到的积相加。计算时需要注意：①系数要对应相乘，不要算错数值；②同底数幂相乘时遵循“底数不变，指数相加”的规则；③不要漏乘多项式中的每一项（包括常数项）；④若单项式带有负号，相乘时要注意每一项的符号变化，避免符号错误。
【解析】
(1) 按照单项式乘多项式法则展开计算：
原式$=2ab· 3a^2b + 2ab· (-4ab) + 2ab· 1$
$=6a^3b^2 - 8a^2b^2 + 2ab$
(2) 同理展开，注意负号的运算：
原式$=-3xy· 2x^2 + (-3xy)· (-y^2) + (-3xy)· (-2xy)$
$=-6x^3y + 3xy^3 + 6x^2y^2$
【答案】
(1)$6a^3b^2 -8a^2b^2 +2ab$；(2)$-6x^3y+3xy^3+6x^2y^2$
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则；2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，易错点集中在漏乘多项式的常数项、符号处理失误、同底数幂的指数计算错误三个方面，计算时要逐项相乘，完成后及时核对系数、指数和符号，避免粗心失误。
【难度系数】
0.7
这两道题均属于单项式乘多项式的运算，解题思路遵循单项式乘多项式的运算法则：首先用单项式依次乘以多项式的每一项，再把所有得到的积相加。计算时需要注意：①系数要对应相乘，不要算错数值；②同底数幂相乘时遵循“底数不变，指数相加”的规则；③不要漏乘多项式中的每一项（包括常数项）；④若单项式带有负号，相乘时要注意每一项的符号变化，避免符号错误。
【解析】
(1) 按照单项式乘多项式法则展开计算：
原式$=2ab· 3a^2b + 2ab· (-4ab) + 2ab· 1$
$=6a^3b^2 - 8a^2b^2 + 2ab$
(2) 同理展开，注意负号的运算：
原式$=-3xy· 2x^2 + (-3xy)· (-y^2) + (-3xy)· (-2xy)$
$=-6x^3y + 3xy^3 + 6x^2y^2$
【答案】
(1)$6a^3b^2 -8a^2b^2 +2ab$；(2)$-6x^3y+3xy^3+6x^2y^2$
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则；2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，易错点集中在漏乘多项式的常数项、符号处理失误、同底数幂的指数计算错误三个方面，计算时要逐项相乘，完成后及时核对系数、指数和符号，避免粗心失误。
【难度系数】
0.7
8.已知$x^2 + y^2 = 25$，$xy = 12$，且$x＞0$，$y＞0$，求$x+y$的值。
答案
8.$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 2×12 = 49.∵ x＞0,y＞0,∴ x+y＞0,∴ x+y=7$
解析
【分析】
要求x+y的值，首先观察已知条件给出了$x^2+y^2$和$xy$的数值，可联想到完全平方公式的展开结构：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，该式恰好能代入已知的两个条件算出$(x+y)^2$的取值；再结合$x＞0$、$y＞0$的限定判断$x+y$的符号，对$(x+y)^2$开平方即可得到最终结果。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$x^2 + y^2 = 25$，$xy = 12$代入上式计算：
$(x+y)^2 = 25 + 2×12 = 49$
$\because x＞0，y＞0$，$\therefore x+y＞0$
$\therefore x+y=\sqrt{49}=7$
【答案】
$x+y=7$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；平方根的性质
【点评】
本题属于整式乘法的基础变形应用题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能根据已知条件灵活选择公式变形计算，同时要注意结合题目给出的限定条件判断所求代数式的符号，避免漏判符号导致多解错误。
【难度系数】
0.8
要求x+y的值，首先观察已知条件给出了$x^2+y^2$和$xy$的数值，可联想到完全平方公式的展开结构：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，该式恰好能代入已知的两个条件算出$(x+y)^2$的取值；再结合$x＞0$、$y＞0$的限定判断$x+y$的符号，对$(x+y)^2$开平方即可得到最终结果。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$x^2 + y^2 = 25$，$xy = 12$代入上式计算：
$(x+y)^2 = 25 + 2×12 = 49$
$\because x＞0，y＞0$，$\therefore x+y＞0$
$\therefore x+y=\sqrt{49}=7$
【答案】
$x+y=7$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；平方根的性质
【点评】
本题属于整式乘法的基础变形应用题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能根据已知条件灵活选择公式变形计算，同时要注意结合题目给出的限定条件判断所求代数式的符号，避免漏判符号导致多解错误。
【难度系数】
0.8
三、未分类讨论或分类讨论有遗漏而出错
9.已知$(a-1)^{a+2}=1$，则满足条件的整数a所有值为
9.已知$(a-1)^{a+2}=1$，则满足条件的整数a所有值为
-2或2或0
。答案
9.-2或2或0
解析
【分析】
要使整数指数幂的结果为1，共有三类符合的情况，需逐类讨论求解，同时注意每类情况的限制条件，最后验证所得a的值是否符合要求：①1的任意整数次幂都为1；②任何非零数的0次幂为1；③-1的偶次幂为1。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当底数为1时：$a-1=1$，解得$a=2$，此时指数$a+2=4$，$1^4=1$，符合要求；
2. 当指数为0且底数不为0时：列方程组$\begin{cases}a+2=0 \\ a-1≠0\end{cases}$，解得$a=-2$，此时底数$a-1=-3≠0$，$(-3)^0=1$，符合要求；
3. 当底数为-1且指数为偶数时：列条件$\begin{cases}a-1=-1 \\ a+2\mathrm{为偶数}\end{cases}$，解得$a=0$，此时指数$a+2=2$是偶数，$(-1)^2=1$，符合要求。
综上，满足条件的整数a为-2、2、0。
【答案】
-2或2或0
【知识点】
零指数幂运算，有理数乘方，分类讨论思想
【点评】
本题易错点为分类讨论不全面，容易遗漏-1的偶次幂为1的情况，或忽略零指数幂中底数不能为0的限制条件，解题时要逐一验证各类情况的成立条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
要使整数指数幂的结果为1，共有三类符合的情况，需逐类讨论求解，同时注意每类情况的限制条件，最后验证所得a的值是否符合要求：①1的任意整数次幂都为1；②任何非零数的0次幂为1；③-1的偶次幂为1。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当底数为1时：$a-1=1$，解得$a=2$，此时指数$a+2=4$，$1^4=1$，符合要求；
2. 当指数为0且底数不为0时：列方程组$\begin{cases}a+2=0 \\ a-1≠0\end{cases}$，解得$a=-2$，此时底数$a-1=-3≠0$，$(-3)^0=1$，符合要求；
3. 当底数为-1且指数为偶数时：列条件$\begin{cases}a-1=-1 \\ a+2\mathrm{为偶数}\end{cases}$，解得$a=0$，此时指数$a+2=2$是偶数，$(-1)^2=1$，符合要求。
综上，满足条件的整数a为-2、2、0。
【答案】
-2或2或0
【知识点】
零指数幂运算，有理数乘方，分类讨论思想
【点评】
本题易错点为分类讨论不全面，容易遗漏-1的偶次幂为1的情况，或忽略零指数幂中底数不能为0的限制条件，解题时要逐一验证各类情况的成立条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
10.若$(x-2)^{|x|-2}=1$，则$x=$
-2或3
。答案
10.-2或3
解析
【分析】
要解决幂的结果为1的问题，需结合幂的运算性质分三类讨论：①非零数的0次幂等于1；②1的任意次幂都等于1；③-1的偶次幂等于1。对每类情况先列对应的方程求解，再验证是否符合该类情况的前提条件，排除不符合的解，最终得到正确结果。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 非零数的0次幂为1，需同时满足：
$\begin{cases}|x|-2=0 \\ x-2≠0\end{cases}$
解$|x|-2=0$得$x=2$或$x=-2$，结合$x-2≠0$即$x≠2$，得$x=-2$，符合条件。
2. 1的任意次幂为1，即：
$x-2=1$，解得$x=3$，代入原式得$(3-2)^{|3|-2}=1^1=1$，符合条件。
3. -1的偶次幂为1，即：
$x-2=-1$，解得$x=1$，代入原式得$(1-2)^{|1|-2}=(-1)^{-1}=-1≠1$，不符合条件，舍去。
综上，$x$的值为$-2$或$3$。
【答案】
$-2$或$3$
【知识点】
零指数幂法则；乘方的运算性质；绝对值方程求解
【点评】
本题属于易错题，解题核心是要全面考虑幂运算结果为1的所有情况，求解后务必验证结果是否满足对应情况的前提条件，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
要解决幂的结果为1的问题，需结合幂的运算性质分三类讨论：①非零数的0次幂等于1；②1的任意次幂都等于1；③-1的偶次幂等于1。对每类情况先列对应的方程求解，再验证是否符合该类情况的前提条件，排除不符合的解，最终得到正确结果。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 非零数的0次幂为1，需同时满足：
$\begin{cases}|x|-2=0 \\ x-2≠0\end{cases}$
解$|x|-2=0$得$x=2$或$x=-2$，结合$x-2≠0$即$x≠2$，得$x=-2$，符合条件。
2. 1的任意次幂为1，即：
$x-2=1$，解得$x=3$，代入原式得$(3-2)^{|3|-2}=1^1=1$，符合条件。
3. -1的偶次幂为1，即：
$x-2=-1$，解得$x=1$，代入原式得$(1-2)^{|1|-2}=(-1)^{-1}=-1≠1$，不符合条件，舍去。
综上，$x$的值为$-2$或$3$。
【答案】
$-2$或$3$
【知识点】
零指数幂法则；乘方的运算性质；绝对值方程求解
【点评】
本题属于易错题，解题核心是要全面考虑幂运算结果为1的所有情况，求解后务必验证结果是否满足对应情况的前提条件，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
11.(长沙月考)若$(x+p)(x+q)=x^2+mx+36$，且$p,q$为不大于10的正整数，则$m=$
13或12
.答案
11.13或12
解析
【分析】
解题时首先运用多项式乘多项式的运算法则展开等式左边的式子，再根据等式两边同类项的系数对应相等，得出p与q的乘积为36、m等于p加q的关系；接下来结合p、q是不大于10的正整数的限制条件，找出所有满足乘积为36的正整数对，分别计算每组的和即可得到m的取值。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开左边：
$(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq$
已知$(x+p)(x+q)=x^2+mx+36$，根据等式两边对应项系数相等，可得：
$\begin{cases}pq=36\\m=p+q\end{cases}$
因为p、q为不大于10的正整数，即$1≤ p≤10$，$1≤ q≤10$，找出乘积为36的符合条件的正整数对：
①当$p=4,q=9$（或$p=9,q=4$）时，满足$4×9=36$，此时$m=4+9=13$；
②当$p=6,q=6$时，满足$6×6=36$，此时$m=6+6=12$。
其余乘积为36的正整数对（如1和36、2和18、3和12）均存在数大于10，不符合要求，舍去。
综上，m的值为13或12。
【答案】
13或12
【知识点】
多项式乘多项式；系数对应关系；正整数因数分解
【点评】
本题考查整式乘法与代数系数对应关系的综合应用，解题的关键是先根据乘法法则建立p、q与m的关系，再结合限制条件筛选符合要求的因数组合，审题时要注意题干对p、q的范围限制，避免遗漏或多算无效组合。
【难度系数】
0.7
解题时首先运用多项式乘多项式的运算法则展开等式左边的式子，再根据等式两边同类项的系数对应相等，得出p与q的乘积为36、m等于p加q的关系；接下来结合p、q是不大于10的正整数的限制条件，找出所有满足乘积为36的正整数对，分别计算每组的和即可得到m的取值。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开左边：
$(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq$
已知$(x+p)(x+q)=x^2+mx+36$，根据等式两边对应项系数相等，可得：
$\begin{cases}pq=36\\m=p+q\end{cases}$
因为p、q为不大于10的正整数，即$1≤ p≤10$，$1≤ q≤10$，找出乘积为36的符合条件的正整数对：
①当$p=4,q=9$（或$p=9,q=4$）时，满足$4×9=36$，此时$m=4+9=13$；
②当$p=6,q=6$时，满足$6×6=36$，此时$m=6+6=12$。
其余乘积为36的正整数对（如1和36、2和18、3和12）均存在数大于10，不符合要求，舍去。
综上，m的值为13或12。
【答案】
13或12
【知识点】
多项式乘多项式；系数对应关系；正整数因数分解
【点评】
本题考查整式乘法与代数系数对应关系的综合应用，解题的关键是先根据乘法法则建立p、q与m的关系，再结合限制条件筛选符合要求的因数组合，审题时要注意题干对p、q的范围限制，避免遗漏或多算无效组合。
【难度系数】
0.7
四、运算中添括号时错用法则而出错
12.计算：
(1)$(3m - 2n - 4)^2$；
(2)$(\dfrac{1}{2}x - y + 3)(\dfrac{1}{2}x + y - 3)$。
12.计算：
(1)$(3m - 2n - 4)^2$；
(2)$(\dfrac{1}{2}x - y + 3)(\dfrac{1}{2}x + y - 3)$。
答案
12.(1)原式=$[(3m-2n)-4]^2=(3m-2n)^2 -2(3m-2n)×4+4^2=9m^2 -12mn +4n^2 -24m +16n +16$
(2)原式=$[\dfrac{1}{2}x -(y-3)][\dfrac{1}{2}x +(y-3)]=\dfrac{1}{4}x^2 -(y-3)^2=\dfrac{1}{4}x^2 -y^2 +6y -9$
(2)原式=$[\dfrac{1}{2}x -(y-3)][\dfrac{1}{2}x +(y-3)]=\dfrac{1}{4}x^2 -(y-3)^2=\dfrac{1}{4}x^2 -y^2 +6y -9$
解析
【分析】
这两道题都是三项式的整式运算，解题核心是利用添括号法则将式子变形，转化为已学的完全平方公式或平方差公式的结构，简化计算。(1)计算三项的平方时，可把前两项$3m-2n$看作一个整体，原式就变成“整体减4”的平方，符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构；(2)两个三项式相乘时，先找相同项和相反项：相同项是$\frac{1}{2}x$，相反项是$-y+3$和$y-3$，把$y-3$看作一个整体，原式就符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构。要注意添括号时，括号前是负号的话，括号内各项都要变号，这是本题的易错点。
【解析】
(1) 先将前两项组合添括号，转化为两数差的平方形式：
原式=$[(3m-2n)-4]^2$
根据完全平方公式展开：
=$(3m-2n)^2 - 2×(3m-2n)×4 + 4^2$
再展开$(3m-2n)^2$，整理得：
=$9m^2 - 12mn + 4n^2 -24m +16n +16$
(2) 先将含$y$的项组合添括号，构造平方差公式结构：
原式=$[\frac{1}{2}x -(y-3)][\frac{1}{2}x +(y-3)]$
根据平方差公式展开：
=$(\frac{1}{2}x)^2 - (y-3)^2$
分别计算乘方，再展开$(y-3)^2$去括号整理：
=$\frac{1}{4}x^2 - (y^2 -6y +9)$
=$\frac{1}{4}x^2 - y^2 +6y -9$
【答案】
(1) $9m^2 - 12mn +4n^2 -24m +16n +16$
(2) $\frac{1}{4}x^2 - y^2 +6y -9$
【知识点】
添括号法则；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题重点考查整式乘法中乘法公式的灵活运用，解题的关键是通过添括号将复杂的三项式运算转化为已学的乘法公式模型，计算时要格外注意添括号和去括号的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这两道题都是三项式的整式运算，解题核心是利用添括号法则将式子变形，转化为已学的完全平方公式或平方差公式的结构，简化计算。(1)计算三项的平方时，可把前两项$3m-2n$看作一个整体，原式就变成“整体减4”的平方，符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构；(2)两个三项式相乘时，先找相同项和相反项：相同项是$\frac{1}{2}x$，相反项是$-y+3$和$y-3$，把$y-3$看作一个整体，原式就符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构。要注意添括号时，括号前是负号的话，括号内各项都要变号，这是本题的易错点。
【解析】
(1) 先将前两项组合添括号，转化为两数差的平方形式：
原式=$[(3m-2n)-4]^2$
根据完全平方公式展开：
=$(3m-2n)^2 - 2×(3m-2n)×4 + 4^2$
再展开$(3m-2n)^2$，整理得：
=$9m^2 - 12mn + 4n^2 -24m +16n +16$
(2) 先将含$y$的项组合添括号，构造平方差公式结构：
原式=$[\frac{1}{2}x -(y-3)][\frac{1}{2}x +(y-3)]$
根据平方差公式展开：
=$(\frac{1}{2}x)^2 - (y-3)^2$
分别计算乘方，再展开$(y-3)^2$去括号整理：
=$\frac{1}{4}x^2 - (y^2 -6y +9)$
=$\frac{1}{4}x^2 - y^2 +6y -9$
【答案】
(1) $9m^2 - 12mn +4n^2 -24m +16n +16$
(2) $\frac{1}{4}x^2 - y^2 +6y -9$
【知识点】
添括号法则；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题重点考查整式乘法中乘法公式的灵活运用，解题的关键是通过添括号将复杂的三项式运算转化为已学的乘法公式模型，计算时要格外注意添括号和去括号的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
