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1. 假设思想丢番图是古希腊数学家，被誉为“代数学之父”。关于丢番图，有一个很有趣的数学问题。如下所示，从中可以看出丢番图一共活了(
上帝给予的童年占$\frac{1}{6}$，又过$\frac{1}{12}$、两颊长胡，再过$\frac{1}{7}$，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜以致的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只能用数论研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。
84
)岁。上帝给予的童年占$\frac{1}{6}$，又过$\frac{1}{12}$、两颊长胡，再过$\frac{1}{7}$，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜以致的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只能用数论研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。
答案
本题需要将丢番图一生各个阶段占他总年龄的多少找出来，再结合已知的具体年数，通过计算求出他的年龄，列式为 $(5 + 4) ÷ (1-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}-\frac{1}{7}-\frac{1}{2})=84$(岁)。
2. 建模思想 “勾股定理”是指在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。例如：两条直角边的长分别是3和4，根据$3^2 + 4^2 = 5^2$，可以知道斜边的长为5。请根据图中两条直角边的长度，求出图中涂色部分的面积是（
54.5
）$\mathrm{dm}^2$。答案
先根据勾股定理求出直角三角形斜边(即圆的直径)$6^2+8^2=100$，$100=10^2$，即斜边长为10 dm，圆的半径为 $10÷2=5$(dm)，再分别计算圆的面积和直角三角形的面积，最后用圆的面积减去直角三角形的面积得到涂色部分的面积，列式为 $3.14×5^2-6×8÷2=54.5(\mathrm{dm}^2)$。
知识拓展
勾股定理
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。我国古代称直角三角形为勾股形，直角边中较短的边为勾，较长的边为股，斜边为弦，因此称这个定理为勾股定理。如果设直角三角形的两条直角边的长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理用字母表示为 $a^2+b^2=c^2$。
知识拓展
勾股定理
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。我国古代称直角三角形为勾股形，直角边中较短的边为勾，较长的边为股，斜边为弦，因此称这个定理为勾股定理。如果设直角三角形的两条直角边的长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理用字母表示为 $a^2+b^2=c^2$。
3. 数形结合“观察、猜想、归纳、验证、应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5 cm的正方形纸片上剪去一个边长为3 cm的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？阳阳研究了两种不同的方法（如下图）。
$S_{涂色}=5^2 - 3^2$
$S_{涂色}=(5 - 3)×(5 + 3)$
这两种方法都是求的涂色部分的面积，因此$5^2 - 3^2=(5 - 3)×(5 + 3)$。
仔细观察，认真思考：是不是任意两个数都具有这样的特征呢？（
(1)请举例子验证：$8^2 - 5^2=( \ \ + \ \ )×( \ \ - \ \ )=( \ \ )$。
(2)如果用a和b分别表示两个数$(a ＞ b)$，那么这样的规律可以用字母表示为$a^2 - b^2=( \ \ + \ \ )×( \ \ - \ \ )$。
(3)计算下图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米）
(4)根据以上结论计算：$[1 - (\frac{1}{6})^2]×[1 - (\frac{1}{7})^2]×[1 - (\frac{1}{8})^2]$
$S_{涂色}=5^2 - 3^2$
$S_{涂色}=(5 - 3)×(5 + 3)$
这两种方法都是求的涂色部分的面积，因此$5^2 - 3^2=(5 - 3)×(5 + 3)$。
仔细观察，认真思考：是不是任意两个数都具有这样的特征呢？（
是
）（填“是”或“不是”）(1)请举例子验证：$8^2 - 5^2=( \ \ + \ \ )×( \ \ - \ \ )=( \ \ )$。
(2)如果用a和b分别表示两个数$(a ＞ b)$，那么这样的规律可以用字母表示为$a^2 - b^2=( \ \ + \ \ )×( \ \ - \ \ )$。
(3)计算下图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米）
(4)根据以上结论计算：$[1 - (\frac{1}{6})^2]×[1 - (\frac{1}{7})^2]×[1 - (\frac{1}{8})^2]$
答案
是
(1)8 5 8 5 39
(2)a b a b
(3)$3.14×(4.25^2-3.25^2)$
$=3.14×(4.25+3.25)×(4.25-3.25)$
$=3.14×7.5×1$
$=23.55×1$
$=23.55$(平方厘米)
(4)$[1-(\frac{1}{6})^2]×[1-(\frac{1}{7})^2]×[1-(\frac{1}{8})^2]$
$= (1-\frac{1}{6}) × (1+\frac{1}{6}) × (1-\frac{1}{7}) × (1+\frac{1}{7}) × (1-\frac{1}{8}) × (1+\frac{1}{8})$
$=\frac{5}{6}×\frac{7}{6}×\frac{6}{7}×\frac{8}{7}×\frac{7}{8}×\frac{9}{8}$
$=\frac{15}{16}$
【解析】(1)按照规律将8和5代入，得到$8^2-5^2=(8-5)×(8+5)=39$。(2)用a和b表示两个数（且$a＞b$），根据前面发现的规律，总结出$a^2-b^2=(a-b)×(a+b)$。(3)根据圆环的面积$=π R^2-π r^2$列出算式，先利用得出的规律进行转化，然后进行计算。(4)运用规律进行计算，先将原式中的每一项利用公式$a^2-b^2=(a-b)×(a+b)$进行转化，然后进行约分计算。
(1)8 5 8 5 39
(2)a b a b
(3)$3.14×(4.25^2-3.25^2)$
$=3.14×(4.25+3.25)×(4.25-3.25)$
$=3.14×7.5×1$
$=23.55×1$
$=23.55$(平方厘米)
(4)$[1-(\frac{1}{6})^2]×[1-(\frac{1}{7})^2]×[1-(\frac{1}{8})^2]$
$= (1-\frac{1}{6}) × (1+\frac{1}{6}) × (1-\frac{1}{7}) × (1+\frac{1}{7}) × (1-\frac{1}{8}) × (1+\frac{1}{8})$
$=\frac{5}{6}×\frac{7}{6}×\frac{6}{7}×\frac{8}{7}×\frac{7}{8}×\frac{9}{8}$
$=\frac{15}{16}$
【解析】(1)按照规律将8和5代入，得到$8^2-5^2=(8-5)×(8+5)=39$。(2)用a和b表示两个数（且$a＞b$），根据前面发现的规律，总结出$a^2-b^2=(a-b)×(a+b)$。(3)根据圆环的面积$=π R^2-π r^2$列出算式，先利用得出的规律进行转化，然后进行计算。(4)运用规律进行计算，先将原式中的每一项利用公式$a^2-b^2=(a-b)×(a+b)$进行转化，然后进行约分计算。
4. 项目式探究 如下图，在相距12 cm的两条平行线m和n之间，有一个边长为8 cm的正方形和直径为8 cm的圆O。正方形保持不动，圆O沿直线m以2厘米/秒的速度向右平移。
(1)在移动的过程中，圆O与正方形重叠部分的面积最大是(
(2)如图2，圆和正方形有重叠部分的时间持续(
(1)在移动的过程中，圆O与正方形重叠部分的面积最大是(
25.12
)cm²。(2)如图2，圆和正方形有重叠部分的时间持续(
8
)秒。答案
(1)25.12
(2)8
【解析】(1)已知正方形边长是8 cm，圆的直径也是8 cm。当圆向右平移到和正方形完全重合时，重叠部分是一个半圆，即此时重叠部分的面积最大。
(2)要算圆和正方形有重叠部分的时间，先得算出圆需要平移的总路程。当圆的右端刚碰到正方形的左端时，开始重叠；当圆的左端刚离开正方形的右端时，重叠结束。这段路程是正方形的边长加上圆的直径，再用路程除以速度，就能得到持续的时间。
(2)8
【解析】(1)已知正方形边长是8 cm，圆的直径也是8 cm。当圆向右平移到和正方形完全重合时，重叠部分是一个半圆，即此时重叠部分的面积最大。
(2)要算圆和正方形有重叠部分的时间，先得算出圆需要平移的总路程。当圆的右端刚碰到正方形的左端时，开始重叠；当圆的左端刚离开正方形的右端时，重叠结束。这段路程是正方形的边长加上圆的直径，再用路程除以速度，就能得到持续的时间。
