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1. 幂的乘方
幂的乘方，底数
用字母表示为$(a^m)^n =$
幂的乘方，底数
不变
，指数相乘
。用字母表示为$(a^m)^n =$
$a^{mn}$
（$m,n$都是正整数）。答案
1. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$都是正整数）。
解析
【分析】
这道题考查幂的乘方的基本运算法则，我们可以结合已学知识推导得出结论：第一步先明确$(a^m)^n$的含义是n个$a^m$相乘；第二步运用同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的规则，计算得n个m相加的结果为mn；第三步总结出幂的乘方的运算规律，对应完成填空即可。
【解析】
我们通过推导理解幂的乘方法则：
1. 根据乘方的定义，$(a^m)^n$表示n个$a^m$相乘，即：
$(a^m)^n = \underbrace{a^m · a^m · \dots · a^m}_{n个a^m相乘}$
2. 根据同底数幂的乘法法则，底数不变、指数相加，上式的指数部分为$\underbrace{m+m+\dots+m}_{n个m相加}=mn$，因此可得：
$(a^m)^n = a^{mn}$
由此总结幂的乘方的运算规则：底数不变，指数相乘。
【答案】
不变；相乘；$a^{mn}$
【知识点】
幂的乘方法则；同底数幂的乘法
【点评】
本题是对幂的乘方基础概念的直接考查，属于识记类基础题，该法则是幂运算的核心基础之一，建议在理解推导过程的基础上记忆，注意和同底数幂的乘法法则区分，避免出现指数运算混淆的错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查幂的乘方的基本运算法则，我们可以结合已学知识推导得出结论：第一步先明确$(a^m)^n$的含义是n个$a^m$相乘；第二步运用同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的规则，计算得n个m相加的结果为mn；第三步总结出幂的乘方的运算规律，对应完成填空即可。
【解析】
我们通过推导理解幂的乘方法则：
1. 根据乘方的定义，$(a^m)^n$表示n个$a^m$相乘，即：
$(a^m)^n = \underbrace{a^m · a^m · \dots · a^m}_{n个a^m相乘}$
2. 根据同底数幂的乘法法则，底数不变、指数相加，上式的指数部分为$\underbrace{m+m+\dots+m}_{n个m相加}=mn$，因此可得：
$(a^m)^n = a^{mn}$
由此总结幂的乘方的运算规则：底数不变，指数相乘。
【答案】
不变；相乘；$a^{mn}$
【知识点】
幂的乘方法则；同底数幂的乘法
【点评】
本题是对幂的乘方基础概念的直接考查，属于识记类基础题，该法则是幂运算的核心基础之一，建议在理解推导过程的基础上记忆，注意和同底数幂的乘法法则区分，避免出现指数运算混淆的错误。
【难度系数】
0.9
2. 积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别
积的乘方，等于把积的每一个因式分别
乘方
，再把所得的幂相乘
。用字母表示为$(ab)^n=$$a^n b^n$
（$n$是正整数）。答案
2. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为$(ab)^n= a^n b^n$（$n$是正整数）。
解析
【分析】
本题考查积的乘方的基本法则，属于概念识记类题目，解题时只需准确回忆积的乘方法则的内容及字母表达式，依次对应空缺位置填写即可，不需要复杂推导。
【解析】
根据积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。当$n$为正整数时，对应的字母表达式为$(ab)^n=a^n b^n$，因此三个空缺依次对应填写即可。
【答案】
乘方；相乘；$a^n b^n$
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是基础概念考查题，聚焦幂的运算中积的乘方法则的记忆，是后续开展整式乘法运算的基础，熟练掌握相关法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查积的乘方的基本法则，属于概念识记类题目，解题时只需准确回忆积的乘方法则的内容及字母表达式，依次对应空缺位置填写即可，不需要复杂推导。
【解析】
根据积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。当$n$为正整数时，对应的字母表达式为$(ab)^n=a^n b^n$，因此三个空缺依次对应填写即可。
【答案】
乘方；相乘；$a^n b^n$
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是基础概念考查题，聚焦幂的运算中积的乘方法则的记忆，是后续开展整式乘法运算的基础，熟练掌握相关法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
典例1 计算：
(1)$(10^{7})^{3}$；
(2)$(x^{4})^{3}$。
(1)$(10^{7})^{3}$；
(2)$(x^{4})^{3}$。
答案
解：
(1) $(10^{7})^{3}=10^{7×3}=10^{21}$
(2) $(x^{4})^{3}=x^{4×3}=x^{12}$
(1) $(10^{7})^{3}=10^{7×3}=10^{21}$
(2) $(x^{4})^{3}=x^{4×3}=x^{12}$
解析
【分析】
这两道题都属于幂的乘方运算类题目，解题核心是熟练运用幂的乘方法则。首先回忆幂的乘方的运算规则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），其中底数a既可以是具体数字，也可以是字母。解题时只需要找准每道题中的底数、原指数、乘方的次数，对应代入公式计算即可，注意不要和同底数幂乘法的指数相加规则混淆。
【解析】
(1) 对于$(10^7)^3$，底数为10，原指数为7，乘方次数为3，根据幂的乘方法则计算：
$(10^{7})^{3}=10^{7×3}=10^{21}$
(2) 对于$(x^4)^3$，底数为x，原指数为4，乘方次数为3，根据幂的乘方法则计算：
$(x^{4})^{3}=x^{4×3}=x^{12}$
【答案】
(1) $10^{21}$；(2) $x^{12}$
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题是幂的乘方的基础应用题型，核心是对幂的乘方法则的准确记忆与直接套用，解题时需注意区分幂的乘方（指数相乘）和同底数幂乘法（指数相加）的运算规则，避免因法则混淆出错。
【难度系数】
0.9
这两道题都属于幂的乘方运算类题目，解题核心是熟练运用幂的乘方法则。首先回忆幂的乘方的运算规则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），其中底数a既可以是具体数字，也可以是字母。解题时只需要找准每道题中的底数、原指数、乘方的次数，对应代入公式计算即可，注意不要和同底数幂乘法的指数相加规则混淆。
【解析】
(1) 对于$(10^7)^3$，底数为10，原指数为7，乘方次数为3，根据幂的乘方法则计算：
$(10^{7})^{3}=10^{7×3}=10^{21}$
(2) 对于$(x^4)^3$，底数为x，原指数为4，乘方次数为3，根据幂的乘方法则计算：
$(x^{4})^{3}=x^{4×3}=x^{12}$
【答案】
(1) $10^{21}$；(2) $x^{12}$
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题是幂的乘方的基础应用题型，核心是对幂的乘方法则的准确记忆与直接套用，解题时需注意区分幂的乘方（指数相乘）和同底数幂乘法（指数相加）的运算规则，避免因法则混淆出错。
【难度系数】
0.9
[典例2]计算：
(1)$(2b)^5$；(2)$(3x^3)^6$；(3)$(-3x^3y^2)^3$。
(1)$(2b)^5$；(2)$(3x^3)^6$；(3)$(-3x^3y^2)^3$。
答案
解：
(1) $(2b)^5 = 2^5 · b^5 = 32b^5$
(2) $(3x^3)^6 = 3^6 · (x^3)^6 = 729x^{18}$
(3) $(-3x^3y^2)^3 = (-3)^3 · (x^3)^3 · (y^2)^3 = -27x^9y^6$
(1) $(2b)^5 = 2^5 · b^5 = 32b^5$
(2) $(3x^3)^6 = 3^6 · (x^3)^6 = 729x^{18}$
(3) $(-3x^3y^2)^3 = (-3)^3 · (x^3)^3 · (y^2)^3 = -27x^9y^6$
解析
【分析】
要解决这三个计算问题，首先回忆幂的运算的两个核心法则：1. 积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$，也就是把积里的每个因式分别乘方，再把得到的幂相乘；2. 幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$，底数不变，指数相乘。解题时按以下步骤思考：第一步先拆分原式的积的各个因式（包括数字系数、带指数的字母，负号要和数字算成一个整体）；第二步每个因式分别执行对应的乘方运算，数字部分计算乘方的结果，字母部分用幂的乘方法则计算指数；第三步把所有结果相乘，遇到负数的奇次幂要注意结果为负。
【解析】
(1) 对$(2b)^5$应用积的乘方法则，将2和b分别乘5次方再相乘：
$(2b)^5 = 2^5 · b^5 = 32b^5$
(2) 对$(3x^3)^6$先应用积的乘方法则拆分因式，再对$x^3$应用幂的乘方法则计算：
$(3x^3)^6 = 3^6 · (x^3)^6 = 729x^{18}$
(3) 对$(-3x^3y^2)^3$先拆分包含负系数的三个因式，分别乘3次方后相乘，注意负数奇次幂为负：
$(-3x^3y^2)^3 = (-3)^3 · (x^3)^3 · (y^2)^3 = -27x^9y^6$
【答案】
(1) $32b^5$；(2) $729x^{18}$；(3) $-27x^9y^6$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、有理数乘方
【点评】
本题是幂运算的常规基础题，核心考查积的乘方与幂的乘方法则的应用，解题时需注意两个易错点：一是负系数的乘方运算要准确判断符号，负数的奇次幂结果为负；二是幂的乘方运算中指数是相乘而非相加，避免混淆运算规则出错。
【难度系数】
0.85
要解决这三个计算问题，首先回忆幂的运算的两个核心法则：1. 积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$，也就是把积里的每个因式分别乘方，再把得到的幂相乘；2. 幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$，底数不变，指数相乘。解题时按以下步骤思考：第一步先拆分原式的积的各个因式（包括数字系数、带指数的字母，负号要和数字算成一个整体）；第二步每个因式分别执行对应的乘方运算，数字部分计算乘方的结果，字母部分用幂的乘方法则计算指数；第三步把所有结果相乘，遇到负数的奇次幂要注意结果为负。
【解析】
(1) 对$(2b)^5$应用积的乘方法则，将2和b分别乘5次方再相乘：
$(2b)^5 = 2^5 · b^5 = 32b^5$
(2) 对$(3x^3)^6$先应用积的乘方法则拆分因式，再对$x^3$应用幂的乘方法则计算：
$(3x^3)^6 = 3^6 · (x^3)^6 = 729x^{18}$
(3) 对$(-3x^3y^2)^3$先拆分包含负系数的三个因式，分别乘3次方后相乘，注意负数奇次幂为负：
$(-3x^3y^2)^3 = (-3)^3 · (x^3)^3 · (y^2)^3 = -27x^9y^6$
【答案】
(1) $32b^5$；(2) $729x^{18}$；(3) $-27x^9y^6$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、有理数乘方
【点评】
本题是幂运算的常规基础题，核心考查积的乘方与幂的乘方法则的应用，解题时需注意两个易错点：一是负系数的乘方运算要准确判断符号，负数的奇次幂结果为负；二是幂的乘方运算中指数是相乘而非相加，避免混淆运算规则出错。
【难度系数】
0.85
[举一反三]计算：
(1)$(-2xy^3)^2$；
(2)$(\dfrac{2}{3}xy^2)^2$。
(1)$(-2xy^3)^2$；
(2)$(\dfrac{2}{3}xy^2)^2$。
答案
(1) 解：$(-2xy^3)^2 = (-2)^2 · x^2 · (y^3)^2 =4x^2 y^6$。
(2) 解：$(\frac{2}{3}xy^2)^2 = (\frac{2}{3})^2 · x^2 · (y^2)^2 =\frac{4}{9}x^2 y^4$。
(2) 解：$(\frac{2}{3}xy^2)^2 = (\frac{2}{3})^2 · x^2 · (y^2)^2 =\frac{4}{9}x^2 y^4$。
解析
【分析】
这两道题均为积的乘方类计算，解题思路如下：①先识别式子是多个因式乘积的乘方形式，优先使用积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②对其中含幂的字母因式，再用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算；③计算系数的乘方时，注意负系数偶次幂结果为正，分数系数乘方时分子、分母要分别乘方，不要漏算任何一个因式的乘方。
【解析】
(1) 计算$(-2xy^3)^2$时，根据积的乘方法则拆分因式分别乘方：
$(-2xy^3)^2 = (-2)^2 · x^2 · (y^3)^2$
再计算各部分结果，其中$(y^3)^2$根据幂的乘方法则得$y^{3×2}=y^6$，$(-2)^2=4$，因此结果为$4x^2 y^6$。
(2) 计算$(\dfrac{2}{3}xy^2)^2$时，同理先拆分因式：
$(\dfrac{2}{3}xy^2)^2 = (\dfrac{2}{3})^2 · x^2 · (y^2)^2$
计算得$(\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$(y^2)^2=y^{2×2}=y^4$，因此结果为$\dfrac{4}{9}x^2 y^4$。
【答案】
(1)$4x^2y^6$；(2)$\dfrac{4}{9}x^2y^4$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，重点考查对积的乘方、幂的乘方法则的应用能力，解题时需注意不要遗漏任意一个因式的乘方，处理系数时要格外关注符号问题以及分数乘方的运算规则。
【难度系数】
0.85
这两道题均为积的乘方类计算，解题思路如下：①先识别式子是多个因式乘积的乘方形式，优先使用积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②对其中含幂的字母因式，再用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算；③计算系数的乘方时，注意负系数偶次幂结果为正，分数系数乘方时分子、分母要分别乘方，不要漏算任何一个因式的乘方。
【解析】
(1) 计算$(-2xy^3)^2$时，根据积的乘方法则拆分因式分别乘方：
$(-2xy^3)^2 = (-2)^2 · x^2 · (y^3)^2$
再计算各部分结果，其中$(y^3)^2$根据幂的乘方法则得$y^{3×2}=y^6$，$(-2)^2=4$，因此结果为$4x^2 y^6$。
(2) 计算$(\dfrac{2}{3}xy^2)^2$时，同理先拆分因式：
$(\dfrac{2}{3}xy^2)^2 = (\dfrac{2}{3})^2 · x^2 · (y^2)^2$
计算得$(\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$(y^2)^2=y^{2×2}=y^4$，因此结果为$\dfrac{4}{9}x^2 y^4$。
【答案】
(1)$4x^2y^6$；(2)$\dfrac{4}{9}x^2y^4$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，重点考查对积的乘方、幂的乘方法则的应用能力，解题时需注意不要遗漏任意一个因式的乘方，处理系数时要格外关注符号问题以及分数乘方的运算规则。
【难度系数】
0.85
3. 幂的乘方与积的乘方的逆用
[典例3 (1)计算: $2^5 × 5^5$;
(2)若 $a^m=2,a^n=3$,求 $a^{3m+2n}$ 的值.
规律方法 当指数相同的两个或几个幂相乘时,如果底数的积容易求出,那么先利用 $a^n b^n=(ab)^n$ 把底数相乘,再做乘方运算,从而使运算简便.
[举一反三] (1)若 $a^x=3$,则 $a^{3x}=$
(2)计算: $(\dfrac{2}{3})^{2026} × (1.5)^{2026} =$
[典例3 (1)计算: $2^5 × 5^5$;
(2)若 $a^m=2,a^n=3$,求 $a^{3m+2n}$ 的值.
规律方法 当指数相同的两个或几个幂相乘时,如果底数的积容易求出,那么先利用 $a^n b^n=(ab)^n$ 把底数相乘,再做乘方运算,从而使运算简便.
[举一反三] (1)若 $a^x=3$,则 $a^{3x}=$
27
.(2)计算: $(\dfrac{2}{3})^{2026} × (1.5)^{2026} =$
1
.答案
(1) 27
(2) 1
(2) 1
解析
【分析】
对于第(1)题，观察所求式子$a^{3x}$，指数是3与x的乘积，可联想到幂的乘方公式的逆用，将其转化为已知条件$a^x$的乘方形式代入计算即可；对于第(2)题，两个幂的指数相同，底数相乘的积为整数，可利用积的乘方公式的逆用，先将底数相乘，再计算乘方，简化运算过程。
【解析】
(1) 根据幂的乘方公式的逆运算：$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$a^{3x}=(a^x)^3$
将$a^x=3$代入，得$3^3=27$。
(2) 先将$1.5$转化为分数$\frac{3}{2}$，根据积的乘方公式的逆运算：$a^n b^n=(ab)^n$，可得：
$(\frac{2}{3})^{2026} × (1.5)^{2026}=(\frac{2}{3} × \frac{3}{2})^{2026}=1^{2026}=1$
【答案】
(1) 27；(2) 1
【知识点】
幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算
【点评】
本题重点考察幂的运算性质的逆向应用，解题的核心是准确观察式子的指数、底数特征，匹配对应的逆运算公式简化计算，日常学习中要注意熟练掌握公式的正、逆双向使用，提升运算效率。
【难度系数】
0.8
对于第(1)题，观察所求式子$a^{3x}$，指数是3与x的乘积，可联想到幂的乘方公式的逆用，将其转化为已知条件$a^x$的乘方形式代入计算即可；对于第(2)题，两个幂的指数相同，底数相乘的积为整数，可利用积的乘方公式的逆用，先将底数相乘，再计算乘方，简化运算过程。
【解析】
(1) 根据幂的乘方公式的逆运算：$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$a^{3x}=(a^x)^3$
将$a^x=3$代入，得$3^3=27$。
(2) 先将$1.5$转化为分数$\frac{3}{2}$，根据积的乘方公式的逆运算：$a^n b^n=(ab)^n$，可得：
$(\frac{2}{3})^{2026} × (1.5)^{2026}=(\frac{2}{3} × \frac{3}{2})^{2026}=1^{2026}=1$
【答案】
(1) 27；(2) 1
【知识点】
幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算
【点评】
本题重点考察幂的运算性质的逆向应用，解题的核心是准确观察式子的指数、底数特征，匹配对应的逆运算公式简化计算，日常学习中要注意熟练掌握公式的正、逆双向使用，提升运算效率。
【难度系数】
0.8
