1. 下列各式能用同底数幂的乘法法则进行计算的是().

A.$(x+y)^2 · (x-y)^2$
B.$(-x-y) · (x+y)^2$
C.$(x+y)^2 + (x+y)^3$
D.$-(x-y)^2 · (-x-y)^3$

1. B

【分析】
要判断式子能否用同底数幂的乘法法则计算，首先要明确该法则的两个适用前提：一是运算必须是乘法运算，二是参与运算的幂的底数相同，或者可以通过变形转化为相同的底数。解题时先排除不符合运算类型的选项，再逐一验证剩余选项的底数是否可统一，即可选出正确答案。
【解析】
同底数幂乘法法则的适用条件：①为乘法运算；②各因式的底数相同或可转化为相同底数。
选项A：两个因式的底数分别为$(x+y)$和$(x-y)$，底数不同且无法转化为相同底数，不符合要求，排除；
选项B：先对第一个因式变形：$-x-y=-(x+y)$，则原式可化为$-(x+y)·(x+y)^2$，两个因式底数均为$(x+y)$，且是乘法运算，符合要求；
选项C：式子为加法运算，不属于乘法运算范畴，不符合要求，排除；
选项D：两个因式的底数分别为$(x-y)$和$(-x-y)=-(x+y)$，底数不同且无法转化为相同底数，不符合要求，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法法则；代数式变形
【点评】
本题重点考查同底数幂乘法法则的适用条件，解题时需先判断运算类型，再对底数进行合理变形，注意带有负号的多项式可通过提取负号调整底数形式，避免忽略符号变形导致判断错误。
【难度系数】
0.8

2. 已知$a^4 · a^{\bigstar} = a^5$，则“★”的值是（）。

A.-1
B.0
C.1
D.2

2. C

【分析】
解决本题首先回忆同底数幂的乘法运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。我们可以设“★”代表的数为x，先将等式左侧按照同底数幂乘法法则化简，再根据同底数幂相等时指数相等的规律，列出关于x的一元一次方程，求解即可得到“★”的值。
【解析】
设“★”的值为$x$，根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$：
等式左边化简为：$a^4· a^x=a^{4+x}$
已知$a^{4+x}=a^5$，同底数幂相等则指数相等，可得方程：
$4+x=5$
解得$x=1$，即“★”的值为1。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题，主要考查同底数幂乘法法则的应用，熟练掌握运算法则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

3.计算：$2^6 × 2^3 =$ .

3. 512

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：首先观察算式中两个幂的底数，发现均为2，属于同底数幂相乘的运算，因此可以直接运用同底数幂的乘法法则简化计算：先将指数相加，底数保持不变，得到2的9次方，再计算2的9次方的数值即可得到结果。也可以先分别计算出2^6和2^3的值，再相乘得到结果，优先选择法则计算更简便。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数），可得：
$\begin{aligned}2^6 × 2^3&=2^{6+3}\\&=2^9\\&=512\end{aligned}$
【答案】
512
【知识点】
同底数幂的乘法、有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的应用，解题时要注意区分同底数幂乘法的指数运算规则是相加，避免和幂的乘方的指数相乘规则混淆，熟练掌握运算法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

4. 计算：
(1) $(x+y)^3 · (y+x)^4$；
(2) $x^{n+1} · x^2 · x^{3-n}$；
(3) $(b-2)^4 · (2-b)^3$；
(4) $a^3 · a^5 + a^2 · a^6 - 2a · a · a^6$。

4. 解 (1)原式$=(x+y)^{3+4}=(x+y)^7$.
(2)原式$=x^{(n+1)+2+(3-n)}=x^6$.
(3)原式$=(2-b)^4 · (2-b)^3=(2-b)^{4+3}=(2-b)^7$.
(4)原式$=a^{3+5}+a^{2+6}-2a^{1+1+6}=a^8+a^8-2a^8=0$.

【分析】
这组题目均围绕同底数幂乘法法则展开考查，解题思路如下：①首先确认各乘项的底数，若底数互为相反数，先利用偶次幂非负的性质统一底数，注意符号变化；②运用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则计算每一组乘法；③若有同类项，最后合并同类项得到最简结果。具体到每小题：(1)底数均为$(x+y)$，可直接套用法则；(2)底数均为$x$，指数相加时含$n$的项会抵消；(3)底数$(b-2)$和$(2-b)$互为相反数，$(b-2)^4$是偶次幂，可转化为$(2-b)^4$统一底数；(4)先分别计算三组同底数幂乘法，再合并同类项即可。
【解析】
(1) 两个乘项底数均为$(x+y)$，属于同底数幂相乘，直接套用法则计算：
原式$=(x+y)^{3+4}=(x+y)^7$
(2) 三个乘项底数均为$x$，直接将所有指数相加计算：
原式$=x^{(n+1)+2+(3-n)}=x^6$
(3) 底数$(b-2)$和$(2-b)$互为相反数，由偶次幂的性质得$(b-2)^4=(2-b)^4$，统一底数后计算：
原式$=(2-b)^4 · (2-b)^3=(2-b)^{4+3}=(2-b)^7$
(4) 先分别计算每组同底数幂的乘积，再合并同类项得到结果：
原式$=a^{3+5}+a^{2+6}-2a^{1+1+6}=a^8+a^8-2a^8=0$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+y)^7}$；(2) $\boldsymbol{x^6}$；(3) $\boldsymbol{(2-b)^7}$；(4) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、偶次幂的性质
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，解题核心是先统一底数再按法则计算，需注意互为相反数的底数转换时，偶次幂符号不变，奇次幂要变号，最后不要遗漏合并同类项的步骤。
【难度系数】
0.8

5. 已知$x + y - 3 = 0$，则$3^x · 3^y$的值是().

A.9
B.27
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{27}$

5. B

【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘法运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。第一步先从已知等式x+y-3=0中求出x+y的和，第二步将要求的式子$3^x · 3^y$利用同底数幂的乘法法则转化为以3为底、指数为x+y的形式，最后代入x+y的值计算即可得到结果。
【解析】
1. 由已知条件$x + y - 3 = 0$，移项可得：$x + y = 3$。
2. 根据同底数幂的乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数），可得：
$3^x · 3^y = 3^{x+y}$
3. 将$x+y=3$代入上式计算：$3^{x+y}=3^3=27$。
因此本题选B选项。
【答案】B
【知识点】
同底数幂的乘法；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握同底数幂的乘法法则，结合整体代入的思想求值，计算量小，掌握对应知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8

6.若$27× 3^x = 3^9$，则$x$的值为.

6. 6

【分析】
解题时首先要将等式左边的27转化为以3为底的幂的形式，让等式左右两边的底数统一为3，再根据同底数幂的乘法法则对左边进行化简，最后根据底数相同的幂相等时指数也相等的规律，列出关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值。
【解析】
解：先将27改写为以3为底的幂：
$\because 27 = 3^3$
$\therefore$ 原等式可化为：$3^3 × 3^x = 3^9$
根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，左边化简为：
$3^{3+x} = 3^9$
因为底数相同的幂相等时对应指数相等，可得：
$3 + x = 9$
解得：$x = 6$
【答案】
6
【知识点】
1.同底数幂的乘法法则 2.乘方的意义
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题核心是先统一等式两边幂的底数，再利用幂的运算性质建立方程求解，熟练掌握幂的相关运算法则是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.8

7.已知$2^{a+4} - 2^{a+1}=112$，求a的值.

7. 解 由$2^{a+4}-2^{a+1}=2^4×2^a -2×2^a=16×2^a -2×2^a=14×2^a=112$,得$2^a=8$,则$a=3$.

【分析】
解题时首先观察等式左边的两项，底数均为2，指数都含有参数a，因此优先考虑逆用同底数幂的乘法法则，将$2^{a+4}$和$2^{a+1}$拆分为常数与$2^a$相乘的形式，之后提取公因式$2^a$合并同类项，将原方程转化为关于$2^a$的简易方程，求出$2^a$的值后，再根据乘方的意义对应得到指数a的取值即可。
【解析】
逆用同底数幂的乘法法则对原式变形：
$2^{a+4}-2^{a+1}=2^4×2^a - 2^1×2^a=16×2^a - 2×2^a$
合并同类项得：
$14×2^a=112$
两边同时除以14，得：
$2^a=8$
又因为$8=2^3$，所以$2^a=2^3$，即$a=3$。
【答案】
$a=3$
【知识点】
同底数幂乘法的逆用、合并同类项、乘方的意义
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用题型，核心考查对同底数幂乘法法则的灵活运用能力，解题的突破口是识别出两项幂的公共因式$2^a$，通过拆分变形简化方程，熟练掌握幂的各类运算法则是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.8

8. 对于任意实数 $a,b$，规定一种新运算，记作 $(a,b)$：如果 $a^c = b$，那么 $(a,b)=c$。
例如：因为 $2^3=8$，所以 $(2,8)=3$。
令 $(2,4)=x,(2,16)=y,(2,64)=z$，
求证：$(2,4)+(2,16)=(2,64)$。

8. 证明 由题意,得$(2,4)=x,(2,16)=y,(2,64)=z$,
$\therefore 2^x=4,2^y=16,2^z=64$.
$\because 2^x × 2^y=2^{x+y}=2^z=64$,
$\therefore x+y=z$,
$\therefore (2,4)+(2,16)=(2,64)$.

【分析】
要证明给定的等式成立，首先需准确理解新运算的定义：如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$。第一步先根据新定义，将题目中的$(2,4)$、$(2,16)$、$(2,64)$分别转化为幂的形式，得到对应的指数表达式；第二步利用同底数幂的乘法法则计算前两个幂的乘积，发现乘积与第三个幂相等；第三步根据同底数的幂相等时指数相等，即可推导出两个指数的和等于第三个指数，从而证明等式成立。
【解析】
证明：由题意，得$(2,4)=x$，$(2,16)=y$，$(2,64)=z$，
$\therefore 2^x=4$，$2^y=16$，$2^z=64$。
$\because 2^x × 2^y = 2^{x+y} = 4×16 = 64 = 2^z$，
$\therefore 2^{x+y}=2^z$，
$\therefore x+y=z$，
$\therefore (2,4)+(2,16)=(2,64)$。
【答案】
证明 由题意,得$(2,4)=x,(2,16)=y,(2,64)=z$,
$\therefore 2^x=4,2^y=16,2^z=64$.
$\because 2^x × 2^y=2^{x+y}=2^z=64$,
$\therefore x+y=z$,
$\therefore (2,4)+(2,16)=(2,64)$.
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，乘方的意义
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题的关键是读懂新运算的规则，将新运算转化为熟悉的幂运算问题，借助同底数幂的乘法法则即可完成证明，能很好地考查学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7