1. 计算$(ab^2)^3$的结果是().

A.$3ab^2$
B.$ab^6$
C.$a^3b^5$
D.$a^3b^6$

1. D

【分析】
拿到这道题首先识别题型是幂的混合运算，首先回忆积的乘方的运算法则：积的乘方需要把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。所以第一步先把括号内的两个因式$a$和$b^2$分别乘3次方，得到$a^3$和$(b^2)^3$；接下来计算$(b^2)^3$，这属于幂的乘方运算，回忆幂的乘方法则：幂的乘方底数不变，指数相乘，就能算出$(b^2)^3$的结果，最后合并两个部分的结果就可以得到最终答案，对应选项选出正确结果即可。
【解析】
解：根据积的乘方运算法则$(xy)^n=x^n y^n$，可得：
$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则$(x^m)^n=x^{mn}$，可得：
$(b^2)^3 = b^{2×3}=b^6$
因此$(ab^2)^3 = a^3 b^6$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对幂运算规则的掌握，解题时要注意区分不同幂运算的指数处理规则，避免出现指数相加、漏乘某个因式指数的低级错误。
【难度系数】
0.9

2. 如果一个正方体的棱长是$(1-2b)^3$，那么这个正方体的体积是().

A.$(1-2b)^6$
B.$(1-2b)^9$
C.$(1-2b)^{12}$
D.$6(1-2b)^6$

2. B

【分析】
解题首先回忆正方体体积的计算公式，正方体体积等于棱长的三次方。首先将题目给出的棱长代入体积公式，得到幂的乘方形式的算式，再根据幂的乘方运算规则：底数不变，指数相乘，计算出最终结果即可，计算时注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，避免指数运算错误。
【解析】
正方体的体积公式为：$V = \mathrm{棱长}^3$
已知正方体棱长为$(1-2b)^3$，代入公式得：
$V = [(1-2b)^3]^3$
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n = a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），可得：
$V = (1-2b)^{3×3} = (1-2b)^9$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方体体积公式
2. 幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算应用题，结合几何体积公式考查幂的乘方的运算规则，核心是熟练掌握幂的运算的不同法则，避免混淆指数相加和指数相乘的适用场景。
【难度系数】
0.8

3.已知$m^2=2$，则$m^6=$.

3. 8

【分析】
本题已知$m^2$的值，要求$m^6$，解题的关键是利用幂的乘方公式的逆变形，将所求的幂转化为以$m^2$为底数的幂。首先观察指数的关系：$6=2×3$，根据幂的乘方法则“$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$都是正整数）”，逆用该法则可得$m^6=(m^2)^3$，再将已知的$m^2=2$代入计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方运算法则的逆用：$a^{mn}=(a^m)^n$（$m、n$为正整数），可得：
$m^6=m^{2×3}=(m^2)^3$
已知$m^2=2$，将其代入上式得：
$(m^2)^3=2^3=8$
【答案】
8
【知识点】
幂的乘方运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的乘方法则的逆用，解题时只需找准所求幂与已知幂的指数关系，代入计算即可得分，熟练掌握幂的相关运算法则是解决此类题的前提。
【难度系数】
0.9

4. 计算:
(1) $a^6 + (a^3)^2$; (2) $x^2 · [(x^3)^2]^4$;
(3) $(-3a^2b^3c)^3$; (4) $-(-2x^3y)^4$.

(1) 原式=$a^6+a^6=2a^6$.
(2) 原式=$x^2 · (x^6)^4 =x^2 · x^{24}=x^{26}$.
(3) 原式=$(-3)^3 · (a^2)^3 · (b^3)^3 · c^3 =-27a^6b^9c^3$.
(4) 原式=$-(-2)^4 · (x^3)^4 · y^4 =-16x^{12}y^4$.

【分析】
这组题目考查幂的相关运算，解题时需先明确对应运算法则再按运算顺序计算：
1. 第(1)题先根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”计算$(a^3)^2$，再合并同类项即可；
2. 第(2)题按从内到外的顺序先计算多层幂的乘方，再根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算乘法即可；
3. 第(3)(4)题根据“积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”计算，重点注意负号的位置对结果符号的影响。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方，再合并同类项：
原式=$a^6+a^6=2a^6$
(2) 从内到外依次计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法：
原式=$x^2 · (x^6)^4 =x^2 · x^{24}=x^{2+24}=x^{26}$
(3) 按照积的乘方法则拆分每个因式分别乘方：
原式=$(-3)^3 · (a^2)^3 · (b^3)^3 · c^3 =-27a^6b^9c^3$
(4) 先计算积的乘方，再处理括号外的负号：
原式=$-(-2)^4 · (x^3)^4 · y^4 =-16x^{12}y^4$
【答案】
(1) $2a^6$；(2) $x^{26}$；(3) $-27a^6b^9c^3$；(4) $-16x^{12}y^4$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是区分不同幂运算的指数计算规则，解题时需注意运算顺序，多层幂的乘方从内到外计算，积的乘方要覆盖所有因式，尤其要注意负号的运算规则，避免符号类错误。
【难度系数】
0.8

5. 求下列各式中$x$的值：
(1)$x^3=2^9$；
(2)$4×2^x×16^x=2^{12}$。

(1) $\because x^3=2^9=(2^3)^3=8^3, \therefore x=8$.
(2) $\because 4×2^x×16^x=2^2×2^x×2^{4x}=2^{5x+2}=2^{12}$,
$\therefore 5x+2=12$,
解得 $x=2$.

【分析】
(1) 求解$x^3=2^9$时，可利用幂的乘方法则将右侧的幂变形为三次方的形式：因为$9=3×3$，所以$2^9$可转化为$(2^3)^3$，此时等式两边均为三次方形式，根据乘方的性质，若两个数的三次方相等，则这两个数相等，即可直接得到$x$的值。
(2) 求解$4×2^x×16^x=2^{12}$时，首先要把左侧所有项的底数统一为2：4可改写为$2^2$，$16^x$利用幂的乘方法则可改写为$2^{4x}$；再根据同底数幂的乘法法则，将左侧合并为底数为2的幂，此时等式两边底数相同，根据“同底数的两个幂相等，则指数相等”，即可列出一元一次方程求解$x$。
【解析】
(1) $\because x^3=2^9=(2^3)^3=8^3$，
$\therefore x=8$。
(2) $\because 4×2^x×16^x=2^2×2^x×(2^4)^x=2^2×2^x×2^{4x}=2^{2+x+4x}=2^{5x+2}=2^{12}$，
$\therefore 5x+2=12$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) $x=8$；(2) $x=2$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、乘方的性质
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，解题核心是熟练运用幂的运算法则统一幂的底数，再将同底数幂相等的条件转化为方程求解，熟练掌握幂的相关运算法则是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

6.已知$x+y=a$，求$(x+y)^3(2x+2y)^3·(3x+3y)^3$的值。

解 原式=$(x+y)^3[2(x+y)]^3 · [3(x+y)]^3 =a^3 · 2^3a^3 · 3^3a^3=216a^9$.

【分析】
首先观察待求式的结构，发现式中$2x+2y$、$3x+3y$可通过提取公因式转化为含$x+y$的形式，结合题目给出的$x+y=a$，可采用整体代入的思路解题。具体步骤为：第一步先提取每个括号内的公因式，将原式变形为仅含$(x+y)$的幂相乘的形式；第二步将$x+y=a$代入变形后的式子；第三步运用积的乘方、同底数幂的乘法运算法则计算出最终结果。
【解析】
先提取公因式，将原式变形：
原式=$(x+y)^3·[2(x+y)]^3·[3(x+y)]^3$
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^n b^n$展开：
=$(x+y)^3·2^3·(x+y)^3·3^3·(x+y)^3$
将$x+y=a$代入上式：
=$a^3·8a^3·27a^3$
根据同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”计算：
=$(8×27)·a^{3+3+3}$
=$216a^9$
【答案】
$216a^9$
【知识点】
积的乘方运算，同底数幂的乘法，整体代入求值
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的应用，核心是运用整体思想将待求式转化为含已知代数式的形式，再结合幂的运算法则计算即可，是对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

7. 数学课上，老师给同学们出了这样一道题目：比较 $3^{55},4^{44},5^{33}$ 的大小. 甲同学的回答：因为 $5＞4＞3$，所以 $5^{33}＞4^{44}＞3^{55}$. 乙同学的回答：因为 $55＞44＞33$，所以 $3^{55}＞4^{44}＞5^{33}$. 你认同哪一位同学的算法？若都不认同，你又是如何解答的呢？

解 都不认同.
$3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11},4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11},5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$,
$\because 256＞243＞125$,
$\therefore 256^{11}＞243^{11}＞125^{11}$,
$\therefore 4^{44}＞3^{55}＞5^{33}$.

【分析】
甲乙两位同学的解法都不正确，甲仅比较了底数大小，忽略了指数不同对幂值的影响，乙仅比较了指数大小，忽略了底数不同的影响。对于底数和指数均不同的幂的大小比较，可先将其转化为同指数的幂，再根据“指数相同时，底数越大，幂越大”的规律判断大小。观察三个幂的指数55、44、33，最大公因数为11，因此利用幂的乘方的逆运算，把三个幂都转化为指数为11的形式，再比较底数大小即可。
【解析】
两位同学的算法都不认同，正确解法如下：
根据幂的乘方的逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$，对三个数变形：
$3^{55}=3^{5×11}=(3^5)^{11}=243^{11}$
$4^{44}=4^{4×11}=(4^4)^{11}=256^{11}$
$5^{33}=5^{3×11}=(5^3)^{11}=125^{11}$
∵ 指数相同时，底数越大幂越大，且$256＞243＞125$
∴ $256^{11}＞243^{11}＞125^{11}$
【答案】
都不认同，大小关系为$\boldsymbol{4^{44}＞3^{55}＞5^{33}}$
【知识点】
幂的乘方逆用，幂的大小比较
【点评】
本题易出现仅比较底数或仅比较指数就直接判断幂大小的错误，解题核心是灵活运用幂的乘方的逆运算，将异指数幂转化为同指数幂，通过比较底数大小快速得到结果。
【难度系数】
0.7