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在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的
横坐标、纵坐标
都乘同一个数$k(k≠0)$
,所对应的图形与原图形位似
,位似中心是坐标原点
,它们的相似比为$|k|$
。答案
横坐标、纵坐标 $k(k≠0)$ 位似 坐标原点 $|k|$
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律，思考时可回忆位似变换的坐标变化特征：若两个图形以坐标原点为位似中心位似，则对应顶点的坐标满足“横、纵坐标同乘同一个非零常数”的关系；首先明确变换的对象是顶点的横、纵坐标，所乘的数不能为0（否则所有点重合，无法构成原图形的相似图形），此时得到的新图形与原图形是位似关系，位似中心就是坐标原点，而相似比为正数，因此是所乘常数的绝对值。
【解析】
根据平面直角坐标系中位似变换的性质：将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数$k(k≠0)$，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为$|k|$。
【答案】
横坐标、纵坐标；$k(k≠0)$；位似；坐标原点；$|k|$
【知识点】
位似的坐标变换；位似的定义；相似比
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，牢记相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律，思考时可回忆位似变换的坐标变化特征：若两个图形以坐标原点为位似中心位似，则对应顶点的坐标满足“横、纵坐标同乘同一个非零常数”的关系；首先明确变换的对象是顶点的横、纵坐标，所乘的数不能为0（否则所有点重合，无法构成原图形的相似图形），此时得到的新图形与原图形是位似关系，位似中心就是坐标原点，而相似比为正数，因此是所乘常数的绝对值。
【解析】
根据平面直角坐标系中位似变换的性质：将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数$k(k≠0)$，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为$|k|$。
【答案】
横坐标、纵坐标；$k(k≠0)$；位似；坐标原点；$|k|$
【知识点】
位似的坐标变换；位似的定义；相似比
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，牢记相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
1.如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为位似中心,将△ABO各边扩大到原来的2倍,得到△A'B'O。若点A的坐标是(1,2),则点A'的坐标是(
A.(2,4)
B.(-1,-2)
C.(-2,-4)
D.(-2,-1)
C
)。A.(2,4)
B.(-1,-2)
C.(-2,-4)
D.(-2,-1)
答案
1.C
解析
【分析】
解题首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：若位似比为k，则对应点的坐标为原坐标乘以k或-k。首先明确本题的位似中心是原点，将原三角形扩大到原来的2倍，即位似比的绝对值为2；再观察图形可知，变换后的△A'B'O与原△ABO在原点的异侧，因此位似比取负值-2，最后代入点A的坐标计算即可得到A'的坐标。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若相似比为k，且两个位似图形位于原点两侧时，对应点的坐标为原坐标乘以-k。
已知将△ABO各边扩大到原来的2倍得到△A'B'O，因此相似比的绝对值为2，又由图可知△A'B'O与△ABO在原点O的两侧，故位似比为-2。
∵点A的坐标为(1,2)，
∴点A'的坐标为(1×(-2), 2×(-2))，即(-2,-4)。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似变换的坐标规律；位似的性质
【点评】
本题是位似变换的基础题，解题的关键是明确位似中心在原点时，要根据两个位似图形相对于原点的位置判断位似比的符号，不能只计算坐标的倍数忽略符号导致错选。
【难度系数】
0.7
解题首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：若位似比为k，则对应点的坐标为原坐标乘以k或-k。首先明确本题的位似中心是原点，将原三角形扩大到原来的2倍，即位似比的绝对值为2；再观察图形可知，变换后的△A'B'O与原△ABO在原点的异侧，因此位似比取负值-2，最后代入点A的坐标计算即可得到A'的坐标。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若相似比为k，且两个位似图形位于原点两侧时，对应点的坐标为原坐标乘以-k。
已知将△ABO各边扩大到原来的2倍得到△A'B'O，因此相似比的绝对值为2，又由图可知△A'B'O与△ABO在原点O的两侧，故位似比为-2。
∵点A的坐标为(1,2)，
∴点A'的坐标为(1×(-2), 2×(-2))，即(-2,-4)。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似变换的坐标规律；位似的性质
【点评】
本题是位似变换的基础题，解题的关键是明确位似中心在原点时，要根据两个位似图形相对于原点的位置判断位似比的符号，不能只计算坐标的倍数忽略符号导致错选。
【难度系数】
0.7
2.如图,已知$△ ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,2),B(-2,3),C(-1,0)$,把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍,得到点$A',B',C'$,则下列说法正确的是（
A.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(1,0)$
B.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(-1,0)$
C.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(0,0)$
D.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是相似图形,但不是位似图形
C
）。A.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(1,0)$
B.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(-1,0)$
C.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是位似图形,位似中心是点$(0,0)$
D.$△ A'B'C'$与$△ ABC$是相似图形,但不是位似图形
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确位似图形的核心特征：两个图形不仅相似，且对应顶点的连线交于同一点（位似中心），对应边互相平行。解题思路分为三步：第一步根据坐标变换规则求出扩大后的点A'、B'、C'的坐标；第二步分别求三组对应点所在直线的解析式，验证三条直线是否交于同一点；第三步结合位似图形的定义判断图形关系，确定位似中心。
【解析】
1. 计算变换后点的坐标：
已知A(1,2)、B(-2,3)、C(-1,0)，横纵坐标都扩大为原来的2倍，可得：
$A'(1×2,2×2)=(2,4)$，$B'(-2×2,3×2)=(-4,6)$，$C'(-1×2,0×2)=(-2,0)$。
2. 求对应点连线的解析式：
直线AA'过(1,2)和(2,4)，代入可得解析式为$y=2x$，经过原点$(0,0)$；
直线BB'过(-2,3)和(-4,6)，代入可得解析式为$y=-\frac{3}{2}x$，经过原点$(0,0)$；
直线CC'过(-1,0)和(-2,0)，解析式为$y=0$（x轴），经过原点$(0,0)$。
3. 判断图形关系：
△A'B'C'与△ABC是坐标同比例缩放得到的，必然相似，且对应顶点连线都交于原点，对应边互相平行，因此二者是位似图形，位似中心为$(0,0)$。
综上，选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
位似图形判定，坐标图形变换，位似中心确定
【点评】
本题侧重考查位似图形的基本概念，掌握位似图形的核心特征是解题的关键，通过求解对应点连线的交点即可快速确定位似中心，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确位似图形的核心特征：两个图形不仅相似，且对应顶点的连线交于同一点（位似中心），对应边互相平行。解题思路分为三步：第一步根据坐标变换规则求出扩大后的点A'、B'、C'的坐标；第二步分别求三组对应点所在直线的解析式，验证三条直线是否交于同一点；第三步结合位似图形的定义判断图形关系，确定位似中心。
【解析】
1. 计算变换后点的坐标：
已知A(1,2)、B(-2,3)、C(-1,0)，横纵坐标都扩大为原来的2倍，可得：
$A'(1×2,2×2)=(2,4)$，$B'(-2×2,3×2)=(-4,6)$，$C'(-1×2,0×2)=(-2,0)$。
2. 求对应点连线的解析式：
直线AA'过(1,2)和(2,4)，代入可得解析式为$y=2x$，经过原点$(0,0)$；
直线BB'过(-2,3)和(-4,6)，代入可得解析式为$y=-\frac{3}{2}x$，经过原点$(0,0)$；
直线CC'过(-1,0)和(-2,0)，解析式为$y=0$（x轴），经过原点$(0,0)$。
3. 判断图形关系：
△A'B'C'与△ABC是坐标同比例缩放得到的，必然相似，且对应顶点连线都交于原点，对应边互相平行，因此二者是位似图形，位似中心为$(0,0)$。
综上，选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
位似图形判定，坐标图形变换，位似中心确定
【点评】
本题侧重考查位似图形的基本概念，掌握位似图形的核心特征是解题的关键，通过求解对应点连线的交点即可快速确定位似中心，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
3.如图,以点D为位似中心,作△ABC的一个位似三角形A₁B₁C₁,点A,B,C的对应点分别为A₁,B₁,C₁,DA₁与DA的比值为k,若两个三角形的顶点及点D均在如图所示的网格格点上,则k的值为
2
,点C₁的坐标为(2,8)
。答案
3.2 (2,8)
解析
【分析】
解决本题需结合位似图形的性质思考：首先，位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比k，因此我们可以先找到点A、对应点A₁和位似中心D的坐标，分别计算两点到D的距离，比值就是k；其次，位似变换中对应点与位似中心的连线共线，且坐标变化符合位似比的规律，找到点C的坐标后，即可根据规律求出C₁的坐标。
【解析】
设每个网格的边长为1，首先确定各点坐标：
位似中心$D(3,0)$，点$A(1,2)$，对应点$A_1(-1,4)$，点$C(\frac{5}{2},4)$。
1. 求位似比k：
根据两点间距离公式，$DA=\sqrt{(3-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
$DA_1=\sqrt{(3+1)^2+(0-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
由题意得$k=\frac{DA_1}{DA}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$。
2. 求点$C_1$的坐标：
位似变换满足$\overrightarrow{DC_1}=k·\overrightarrow{DC}$，设$C_1(x,y)$：
横坐标：$x-3=2×(\frac{5}{2}-3)$，解得$x=2$；
纵坐标：$y-0=2×(4-0)$，解得$y=8$。
因此$C_1$坐标为$(2,8)$。
【答案】
2；$(2,8)$
【知识点】
位似图形的性质，坐标与图形变化，勾股定理
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，核心是掌握位似比的定义和位似变换的坐标变化规律，结合网格坐标计算即可，注意区分位似图形在位似中心同侧或异侧的坐标变化差异。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合位似图形的性质思考：首先，位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比k，因此我们可以先找到点A、对应点A₁和位似中心D的坐标，分别计算两点到D的距离，比值就是k；其次，位似变换中对应点与位似中心的连线共线，且坐标变化符合位似比的规律，找到点C的坐标后，即可根据规律求出C₁的坐标。
【解析】
设每个网格的边长为1，首先确定各点坐标：
位似中心$D(3,0)$，点$A(1,2)$，对应点$A_1(-1,4)$，点$C(\frac{5}{2},4)$。
1. 求位似比k：
根据两点间距离公式，$DA=\sqrt{(3-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
$DA_1=\sqrt{(3+1)^2+(0-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
由题意得$k=\frac{DA_1}{DA}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$。
2. 求点$C_1$的坐标：
位似变换满足$\overrightarrow{DC_1}=k·\overrightarrow{DC}$，设$C_1(x,y)$：
横坐标：$x-3=2×(\frac{5}{2}-3)$，解得$x=2$；
纵坐标：$y-0=2×(4-0)$，解得$y=8$。
因此$C_1$坐标为$(2,8)$。
【答案】
2；$(2,8)$
【知识点】
位似图形的性质，坐标与图形变化，勾股定理
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，核心是掌握位似比的定义和位似变换的坐标变化规律，结合网格坐标计算即可，注意区分位似图形在位似中心同侧或异侧的坐标变化差异。
【难度系数】
0.7
4.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为$1:\sqrt{2}$，点A的坐标为$(0,1)$，则点E的坐标是
$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
。答案
4.$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，先根据点A的坐标和正方形OABC的性质得到小正方形的边长，再结合位似图形的性质：位似中心为原点时，两个位似图形的对应边长比等于相似比，算出大正方形ODEF的边长，最后根据正方形的特征确定点E的坐标即可。
【解析】
解：
∵四边形OABC是正方形，点A的坐标为$(0,1)$
∴正方形OABC的边长$OA=1$
∵正方形OABC与正方形ODEF位似，位似中心为O，相似比为$1:\sqrt{2}$
∴正方形ODEF的边长为$1×\sqrt{2}=\sqrt{2}$
∵四边形ODEF是正方形，点D在y轴正半轴上
∴$OD=DE=\sqrt{2}$，且$DE// x$轴
∴点E的横坐标为$\sqrt{2}$，纵坐标与D点纵坐标相同，为$\sqrt{2}$
即点E的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
【答案】
$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
【知识点】
位似图形的性质；正方形的性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是位似和正方形性质结合的基础题，解题核心是掌握位似中心在原点时，图形的边长比等于相似比的规律，结合正方形邻边相等、对边平行的特征就能快速求出对应点坐标。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手，先根据点A的坐标和正方形OABC的性质得到小正方形的边长，再结合位似图形的性质：位似中心为原点时，两个位似图形的对应边长比等于相似比，算出大正方形ODEF的边长，最后根据正方形的特征确定点E的坐标即可。
【解析】
解：
∵四边形OABC是正方形，点A的坐标为$(0,1)$
∴正方形OABC的边长$OA=1$
∵正方形OABC与正方形ODEF位似，位似中心为O，相似比为$1:\sqrt{2}$
∴正方形ODEF的边长为$1×\sqrt{2}=\sqrt{2}$
∵四边形ODEF是正方形，点D在y轴正半轴上
∴$OD=DE=\sqrt{2}$，且$DE// x$轴
∴点E的横坐标为$\sqrt{2}$，纵坐标与D点纵坐标相同，为$\sqrt{2}$
即点E的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
【答案】
$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
【知识点】
位似图形的性质；正方形的性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是位似和正方形性质结合的基础题，解题核心是掌握位似中心在原点时，图形的边长比等于相似比的规律，结合正方形邻边相等、对边平行的特征就能快速求出对应点坐标。
【难度系数】
0.8
5.如图,在平面直角坐标系中有两点A(6,2),B(6,0),以坐标原点为位似中心,相似比为1:2作线段A'B',则线段AB的对应线段A'B'的长为(
A.1
B.2
C.1或4
D.2或6
（第5题）（第6题）
C
)。A.1
B.2
C.1或4
D.2或6
（第5题）（第6题）
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先计算原线段AB的长度：观察A、B两点坐标可知横坐标相同，因此AB为竖直方向的线段，长度为两点纵坐标的差。再结合位似图形的性质分析：位似图形对应线段的比等于相似比，本题未明确位似是放大还是缩小，因此需要分两种情况计算A'B'的长度，避免漏解。
【解析】
第一步：计算线段AB的长度
∵点A坐标为(6,2)，点B坐标为(6,0)，两点横坐标相等，
∴AB的长度为|2 - 0| = 2。
第二步：结合位似性质分情况计算A'B'的长度
位似图形的对应线段长度比等于相似比，本题相似比为1:2，分两种情况：
①若位似变换为缩小变换，即A'B':AB = 1:2，
则A'B' = AB × $\frac{1}{2}$ = 2 × $\frac{1}{2}$ = 1；
②若位似变换为放大变换，即AB:A'B' = 1:2，
则A'B' = AB × 2 = 2 × 2 = 4。
综上，线段A'B'的长为1或4，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 坐标系线段长度计算
2. 位似图形的性质
【点评】
本题属于位似的基础应用题型，易错点是容易忽略相似比的两种对应情况，只计算出其中一个结果导致漏选，解题时要注意当位似的相似比未明确说明放大或缩小时，要全面考虑两种可能性。
【难度系数】
0.7
解题时首先计算原线段AB的长度：观察A、B两点坐标可知横坐标相同，因此AB为竖直方向的线段，长度为两点纵坐标的差。再结合位似图形的性质分析：位似图形对应线段的比等于相似比，本题未明确位似是放大还是缩小，因此需要分两种情况计算A'B'的长度，避免漏解。
【解析】
第一步：计算线段AB的长度
∵点A坐标为(6,2)，点B坐标为(6,0)，两点横坐标相等，
∴AB的长度为|2 - 0| = 2。
第二步：结合位似性质分情况计算A'B'的长度
位似图形的对应线段长度比等于相似比，本题相似比为1:2，分两种情况：
①若位似变换为缩小变换，即A'B':AB = 1:2，
则A'B' = AB × $\frac{1}{2}$ = 2 × $\frac{1}{2}$ = 1；
②若位似变换为放大变换，即AB:A'B' = 1:2，
则A'B' = AB × 2 = 2 × 2 = 4。
综上，线段A'B'的长为1或4，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 坐标系线段长度计算
2. 位似图形的性质
【点评】
本题属于位似的基础应用题型，易错点是容易忽略相似比的两种对应情况，只计算出其中一个结果导致漏选，解题时要注意当位似的相似比未明确说明放大或缩小时，要全面考虑两种可能性。
【难度系数】
0.7
6.如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中点A，B的对应点分别为点A'，B'，点A'，B'均在图中格点上。若线段AB上有一点P(m,n)，则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为
$(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$
。答案
6.$(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，解题第一步先确定两个图形的位似比：先写出点A、A'的坐标，计算对应坐标的比值得到位似比；再根据平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：若位似比为k，且位似图形在位似中心同侧时，原图形上点$(x,y)$的对应点坐标为$(kx,ky)$，代入点P的坐标即可得到$P'$的坐标。
【解析】
解：由图可知各点坐标：$A(4,6)$，$A'(2,3)$，位似中心为原点$O$。
计算位似比：$\frac{OA'}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即△$A'B'O$与△$ABO$的位似比为$\frac{1}{2}$。
根据平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：位似比为$k$时，原图形上任意一点$(x,y)$的对应点坐标为$(kx,ky)$，本题中$k=\frac{1}{2}$。
已知线段$AB$上点$P$的坐标为$(m,n)$，则其对应点$P'$的坐标为$(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)$，即$(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$。
【答案】
$(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$
【知识点】
位似图形的性质，坐标系中位似变换的坐标规律
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，解题的关键是准确判断位似中心和位似比，掌握以原点为位似中心的位似变换对应的坐标变化规律，就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，解题第一步先确定两个图形的位似比：先写出点A、A'的坐标，计算对应坐标的比值得到位似比；再根据平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：若位似比为k，且位似图形在位似中心同侧时，原图形上点$(x,y)$的对应点坐标为$(kx,ky)$，代入点P的坐标即可得到$P'$的坐标。
【解析】
解：由图可知各点坐标：$A(4,6)$，$A'(2,3)$，位似中心为原点$O$。
计算位似比：$\frac{OA'}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即△$A'B'O$与△$ABO$的位似比为$\frac{1}{2}$。
根据平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：位似比为$k$时，原图形上任意一点$(x,y)$的对应点坐标为$(kx,ky)$，本题中$k=\frac{1}{2}$。
已知线段$AB$上点$P$的坐标为$(m,n)$，则其对应点$P'$的坐标为$(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)$，即$(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$。
【答案】
$(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$
【知识点】
位似图形的性质，坐标系中位似变换的坐标规律
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，解题的关键是准确判断位似中心和位似比，掌握以原点为位似中心的位似变换对应的坐标变化规律，就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
