登录
7.按如下方法将$△ ABC$的三边缩小为原来的$\frac{1}{2}$:如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,连接DE,DF,EF,得到$△ DEF$,则下列说法正确的有(
①$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形；
②$△ ABC$与$△ DEF$是相似图形；
③$△ ABC$与$△ DEF$周长的比为$2:1$；
④$△ ABC$与$△ DEF$面积的比为$4:1$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)。①$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形；
②$△ ABC$与$△ DEF$是相似图形；
③$△ ABC$与$△ DEF$周长的比为$2:1$；
④$△ ABC$与$△ DEF$面积的比为$4:1$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7.D
解析
【分析】
要判断四个说法是否正确，可按以下思路思考：首先回忆位似图形的判定条件：两个图形不仅要相似，且对应顶点的连线交于同一点、对应边互相平行或共线。首先借助三角形中位线定理判断△ABC和△DEF的边的关系，先确定二者是否相似，再看对应顶点连线是否交于同一点，判断是否为位似图形；最后根据相似三角形的周长、面积与相似比的关系，判断③④是否正确即可。
【解析】
解：①
∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
根据三角形中位线定理可得：$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$；$DF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AC$；$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
∴△DEF和△ABC对应边成比例，且对应边互相平行，故$△ ABC ∽ △ DEF$，②正确；
又
∵△ABC和△DEF对应顶点的连线AD、BE、CF都交于点O，符合位似图形的定义，
∴△ABC和△DEF是位似图形，①正确；
③
∵△ABC和△DEF的相似比为$2:1$，相似三角形周长比等于相似比，
∴二者周长比为$2:1$，③正确；
④
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴二者面积比为$2^2:1^2=4:1$，④正确。
综上，①②③④4个说法全部正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的判定与性质，相似三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是位似和相似性质的基础应用题，解题的关键是明确位似是特殊的相似，熟练掌握相似三角形的周长、面积和相似比的对应关系，结合中位线定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要判断四个说法是否正确，可按以下思路思考：首先回忆位似图形的判定条件：两个图形不仅要相似，且对应顶点的连线交于同一点、对应边互相平行或共线。首先借助三角形中位线定理判断△ABC和△DEF的边的关系，先确定二者是否相似，再看对应顶点连线是否交于同一点，判断是否为位似图形；最后根据相似三角形的周长、面积与相似比的关系，判断③④是否正确即可。
【解析】
解：①
∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
根据三角形中位线定理可得：$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$；$DF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AC$；$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
∴△DEF和△ABC对应边成比例，且对应边互相平行，故$△ ABC ∽ △ DEF$，②正确；
又
∵△ABC和△DEF对应顶点的连线AD、BE、CF都交于点O，符合位似图形的定义，
∴△ABC和△DEF是位似图形，①正确；
③
∵△ABC和△DEF的相似比为$2:1$，相似三角形周长比等于相似比，
∴二者周长比为$2:1$，③正确；
④
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴二者面积比为$2^2:1^2=4:1$，④正确。
综上，①②③④4个说法全部正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的判定与性质，相似三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是位似和相似性质的基础应用题，解题的关键是明确位似是特殊的相似，熟练掌握相似三角形的周长、面积和相似比的对应关系，结合中位线定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
8.如图，$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形，$O$为位似中心，相似比为$2:3$，已知$AB=4$，则$DE$等于
6
。答案
8.6
解析
【分析】
解题时首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于相似比。首先明确题干给出的相似比是△ABC与△DEF的比为2:3，即AB与DE是对应边，二者的比值等于相似比，再将已知的AB边长代入比例式，即可计算求出DE的长度，注意要分清相似比的前后对应顺序，避免比例写反。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为$2:3$，
∴对应边成比例，即$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}$，
将$AB=4$代入比例式，得$\frac{4}{DE}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘计算得：$2DE=4×3=12$，
解得$DE=6$。
【答案】
6
【知识点】
位似图形的性质；比例线段计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查位似图形的性质应用，解题核心是掌握位似图形对应边的比等于相似比，做题时只需注意相似比的前后对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于相似比。首先明确题干给出的相似比是△ABC与△DEF的比为2:3，即AB与DE是对应边，二者的比值等于相似比，再将已知的AB边长代入比例式，即可计算求出DE的长度，注意要分清相似比的前后对应顺序，避免比例写反。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为$2:3$，
∴对应边成比例，即$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}$，
将$AB=4$代入比例式，得$\frac{4}{DE}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘计算得：$2DE=4×3=12$，
解得$DE=6$。
【答案】
6
【知识点】
位似图形的性质；比例线段计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查位似图形的性质应用，解题核心是掌握位似图形对应边的比等于相似比，做题时只需注意相似比的前后对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
9.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点
P
。答案
9.P
解析
【分析】
要确定位似图形的位似中心，需利用位似图形的性质：位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点。因此解题时只需找到两个三角形两组对应顶点连线的交点，该交点即为位似中心。
【解析】
根据位似中心的判定方法，分别连接两个三角形的对应顶点并延长，可发现所有对应顶点的连线都经过点P，因此这两个位似三角形的位似中心是点P。
【答案】
P
【知识点】
位似图形的性质，位似中心的确定
【点评】
本题是位似相关的基础题型，解题关键是牢记位似中心的特征，熟练掌握对应顶点连线找位似中心的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要确定位似图形的位似中心，需利用位似图形的性质：位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点。因此解题时只需找到两个三角形两组对应顶点连线的交点，该交点即为位似中心。
【解析】
根据位似中心的判定方法，分别连接两个三角形的对应顶点并延长，可发现所有对应顶点的连线都经过点P，因此这两个位似三角形的位似中心是点P。
【答案】
P
【知识点】
位似图形的性质，位似中心的确定
【点评】
本题是位似相关的基础题型，解题关键是牢记位似中心的特征，熟练掌握对应顶点连线找位似中心的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
10.如图,点O是$△ ABC$与$△ D_1E_1F_1$的位似中心,$△ ABC$的周长为1。若$D_1,E_1,F_1$分别是线段$OA,OB,OC$的中点,则$△ D_1E_1F_1$的周长为$\frac{1}{2}$;若$OD_2=\frac{1}{3}OA$,$OE_2=\frac{1}{3}OB$,$OF_2=\frac{1}{3}OC$,则$△ D_2E_2F_2$的周长为$\frac{1}{3}$……若$OD_n=\frac{1}{n+1}OA$,$OE_n=\frac{1}{n+1}OB$,$OF_n=\frac{1}{n+1}OC$,则$△ D_nE_nF_n$的周长为
$\frac{1}{n+1}$
。(用正整数$n$表示)答案
10.$\frac{1}{n+1}$
解析
【分析】
解题时可从两个角度思考：一是从位似、相似的性质推导：首先明确位似图形是特殊的相似图形，两个三角形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，再结合相似三角形周长比等于相似比，结合已知△ABC的周长即可求解；二是结合题干给出的n=1、n=2时的周长结果找规律，验证推导的结论是否正确。
【解析】
∵点O是△ABC与△DₙEₙFₙ的位似中心，且$\frac{OD_n}{OA}=\frac{OE_n}{OB}=\frac{OF_n}{OC}=\frac{1}{n+1}$，
∴△DₙEₙFₙ∽△ABC，相似比为$\frac{1}{n+1}$。
∵相似三角形的周长比等于相似比，且△ABC的周长为1，
∴△DₙEₙFₙ的周长为$1×\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}$。
【答案】
$\frac{1}{n+1}$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形周长的性质
【点评】
本题属于基础题，既可以通过位似、相似的性质直接推导结果，也可以通过题干给出的特例寻找规律得到答案，解题时注意结合图形性质验证规律，避免找规律时出错。
【难度系数】
0.8
解题时可从两个角度思考：一是从位似、相似的性质推导：首先明确位似图形是特殊的相似图形，两个三角形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，再结合相似三角形周长比等于相似比，结合已知△ABC的周长即可求解；二是结合题干给出的n=1、n=2时的周长结果找规律，验证推导的结论是否正确。
【解析】
∵点O是△ABC与△DₙEₙFₙ的位似中心，且$\frac{OD_n}{OA}=\frac{OE_n}{OB}=\frac{OF_n}{OC}=\frac{1}{n+1}$，
∴△DₙEₙFₙ∽△ABC，相似比为$\frac{1}{n+1}$。
∵相似三角形的周长比等于相似比，且△ABC的周长为1，
∴△DₙEₙFₙ的周长为$1×\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}$。
【答案】
$\frac{1}{n+1}$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形周长的性质
【点评】
本题属于基础题，既可以通过位似、相似的性质直接推导结果，也可以通过题干给出的特例寻找规律得到答案，解题时注意结合图形性质验证规律，避免找规律时出错。
【难度系数】
0.8
11.如图,在水平桌面上的两个“E”字形图案为位似图形,观测点O为位似中心,在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同。
(1)图中$b_1,b_2,l_1,l_2$满足怎样的关系式?
(2)若$b_1=3.2\ \mathrm{cm},b_2=2\ \mathrm{cm}$,①号“E”的测试距离$l_1=8\ \mathrm{m}$,要使测得的视力相同,则②号“E”的测试距离$l_2$应为多少?
(1)图中$b_1,b_2,l_1,l_2$满足怎样的关系式?
(2)若$b_1=3.2\ \mathrm{cm},b_2=2\ \mathrm{cm}$,①号“E”的测试距离$l_1=8\ \mathrm{m}$,要使测得的视力相同,则②号“E”的测试距离$l_2$应为多少?
答案
11. 解$:(1)\because P_1 D_1 // P_2 D_2$，
$\therefore ∠ OP_1 D_1 = ∠ OP_2 D_2 ,∠ OD_1 P_1 = ∠ OD_2 P_2$，
$\therefore △ P_1 D_1 O ∽ △ P_2 D_2 O$，
$\therefore \frac{P_1 D_1}{P_2 D_2}=\frac{D_1 O}{D_2 O},$即$\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$。
$(2)\because \frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2},$且$ b_1=3.2\ \mathrm{cm},b_2=2\ \mathrm{cm},l_1=8\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{3.2}{2}=\frac{8}{l_2},\therefore l_2=5,$即②号“E”的测试距离$ l_2 $应为 5 m。
$\therefore ∠ OP_1 D_1 = ∠ OP_2 D_2 ,∠ OD_1 P_1 = ∠ OD_2 P_2$，
$\therefore △ P_1 D_1 O ∽ △ P_2 D_2 O$，
$\therefore \frac{P_1 D_1}{P_2 D_2}=\frac{D_1 O}{D_2 O},$即$\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$。
$(2)\because \frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2},$且$ b_1=3.2\ \mathrm{cm},b_2=2\ \mathrm{cm},l_1=8\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{3.2}{2}=\frac{8}{l_2},\therefore l_2=5,$即②号“E”的测试距离$ l_2 $应为 5 m。
解析
【分析】
(1) 两个“E”是关于点O的位似图形，位似图形的对应边互相平行，可得$P_1 D_1 // P_2 D_2$，据此可证明$△ P_1 D_1 O$与$△ P_2 D_2 O$相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，即可推导出$b_1,b_2,l_1,l_2$的数量关系。
(2) 第二问只需将已知的$b_1,b_2,l_1$的数值代入第一问得到的比例式，解比例即可求出$l_2$的结果，计算时注意对应量的单位统一即可。
【解析】
(1) 由位似图形的性质可知$P_1 D_1 // P_2 D_2$，
$\therefore ∠ OP_1 D_1 = ∠ OP_2 D_2$，$∠ OD_1 P_1 = ∠ OD_2 P_2$，
$\therefore △ P_1 D_1 O ∽ △ P_2 D_2 O$，
$\therefore \frac{P_1 D_1}{P_2 D_2}=\frac{D_1 O}{D_2 O}$，即$\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$。
(2) 将$b_1=3.2\ \mathrm{cm}$，$b_2=2\ \mathrm{cm}$，$l_1=8\ \mathrm{m}$代入$\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$，得：
$\frac{3.2}{2}=\frac{8}{l_2}$
解得$l_2=5$，单位为$\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$
(2) $l_2=5\ \mathrm{m}$
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、解比例
【点评】
本题结合视力测试的实际场景考查位似与相似的相关知识，解题核心是利用位似图形对应边平行的性质推导得到相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例建立关系式求解，贴近生活，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 两个“E”是关于点O的位似图形，位似图形的对应边互相平行，可得$P_1 D_1 // P_2 D_2$，据此可证明$△ P_1 D_1 O$与$△ P_2 D_2 O$相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，即可推导出$b_1,b_2,l_1,l_2$的数量关系。
(2) 第二问只需将已知的$b_1,b_2,l_1$的数值代入第一问得到的比例式，解比例即可求出$l_2$的结果，计算时注意对应量的单位统一即可。
【解析】
(1) 由位似图形的性质可知$P_1 D_1 // P_2 D_2$，
$\therefore ∠ OP_1 D_1 = ∠ OP_2 D_2$，$∠ OD_1 P_1 = ∠ OD_2 P_2$，
$\therefore △ P_1 D_1 O ∽ △ P_2 D_2 O$，
$\therefore \frac{P_1 D_1}{P_2 D_2}=\frac{D_1 O}{D_2 O}$，即$\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$。
(2) 将$b_1=3.2\ \mathrm{cm}$，$b_2=2\ \mathrm{cm}$，$l_1=8\ \mathrm{m}$代入$\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$，得：
$\frac{3.2}{2}=\frac{8}{l_2}$
解得$l_2=5$，单位为$\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\frac{b_1}{b_2}=\frac{l_1}{l_2}$
(2) $l_2=5\ \mathrm{m}$
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、解比例
【点评】
本题结合视力测试的实际场景考查位似与相似的相关知识，解题核心是利用位似图形对应边平行的性质推导得到相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例建立关系式求解，贴近生活，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
