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1.
归纳
是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略。答案
1. 归纳
解析
【分析】
本题考查数学常用探究策略的识记，解题时首先回忆数学学习中用于发现结论、解决问题的常见方法：归纳是从多个具体的特殊案例出发，总结提炼出一般性规律的思维方式，完全符合“发现数学结论”的应用特征，即可确定答案。
【解析】
归纳是通过观察、分析多个特殊事例，总结得出一般性结论的思维方法，是发现数学结论、解决数学问题的重要策略，因此横线处应填“归纳”。
【答案】
归纳
【知识点】
数学探究方法、归纳思想
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对数学常用研究方法的掌握，熟悉教材相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查数学常用探究策略的识记，解题时首先回忆数学学习中用于发现结论、解决问题的常见方法：归纳是从多个具体的特殊案例出发，总结提炼出一般性规律的思维方式，完全符合“发现数学结论”的应用特征，即可确定答案。
【解析】
归纳是通过观察、分析多个特殊事例，总结得出一般性结论的思维方法，是发现数学结论、解决数学问题的重要策略，因此横线处应填“归纳”。
【答案】
归纳
【知识点】
数学探究方法、归纳思想
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对数学常用研究方法的掌握，熟悉教材相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干
简单
情形中寻找相应的规律
。初步发现规律后，可以通过更多的情形验证
，再考虑一般情况。最后，试着给出合理的解释，并用数学语言
简洁地表达规律。答案
2. 简单 规律 验证 数学语言
解析
【分析】
这道题考查归纳策略寻找规律的基本流程，我们可以按照归纳探究的先后逻辑逐一推导空缺内容：首先归纳探究的初始阶段要降低难度，从易研究的情形入手，所以第一个空对应“简单”情形；我们研究情形的核心目标是找到共性特征，所以第二个空是寻找相应的“规律”；初步得到的规律可能存在偶然性，因此需要用更多例子来确认其正确性，也就是第三个空的“验证”；数学中规律的表达要求规范简洁，通用的表达载体就是数学语言，因此第四个空填“数学语言”。
【解析】
运用归纳策略寻找规律的标准步骤为：①先选取若干简单、便于分析的特殊情形展开研究；②在这些情形中梳理共性，寻找对应的规律；③初步得出规律后，通过更多的不同情形验证规律是否成立，排除偶然情况；④验证通过后推导一般情况，给出规律的合理解释，最终用简洁规范的数学语言表达规律。因此四个空依次填写：简单、规律、验证、数学语言。
【答案】
简单 规律 验证 数学语言
【知识点】
归纳探究规律的方法
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查的是规律探究的基础流程，是后续解决各类找规律题型的认知基础，熟练掌握归纳探究的步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查归纳策略寻找规律的基本流程，我们可以按照归纳探究的先后逻辑逐一推导空缺内容：首先归纳探究的初始阶段要降低难度，从易研究的情形入手，所以第一个空对应“简单”情形；我们研究情形的核心目标是找到共性特征，所以第二个空是寻找相应的“规律”；初步得到的规律可能存在偶然性，因此需要用更多例子来确认其正确性，也就是第三个空的“验证”；数学中规律的表达要求规范简洁，通用的表达载体就是数学语言，因此第四个空填“数学语言”。
【解析】
运用归纳策略寻找规律的标准步骤为：①先选取若干简单、便于分析的特殊情形展开研究；②在这些情形中梳理共性，寻找对应的规律；③初步得出规律后，通过更多的不同情形验证规律是否成立，排除偶然情况；④验证通过后推导一般情况，给出规律的合理解释，最终用简洁规范的数学语言表达规律。因此四个空依次填写：简单、规律、验证、数学语言。
【答案】
简单 规律 验证 数学语言
【知识点】
归纳探究规律的方法
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查的是规律探究的基础流程，是后续解决各类找规律题型的认知基础，熟练掌握归纳探究的步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 一组按规律排列的多项式：$a+b,a^2-b^3,a^3+b^5,a^4-b^7,···$，其中第10个式子是(
A.$a^{10}+b^{19}$
B.$a^{10}-b^{19}$
C.$a^{10}-b^{17}$
D.$a^{10}-b^{21}$
B
)。A.$a^{10}+b^{19}$
B.$a^{10}-b^{19}$
C.$a^{10}-b^{17}$
D.$a^{10}-b^{21}$
答案
1. B
解析
【分析】
遇到多项式排列规律的题目，可将每个多项式拆分为多个独立部分分别找规律：①先找a的项的规律；②再找b项的符号规律；③最后找b的指数的规律，最后将三部分规律整合，代入n=10即可得到第10个式子。
【解析】
我们分别观察三个部分的排列规律：
1. 观察a的项：第1个式子是$a^1$，第2个是$a^2$，第3个是$a^3$……可得第n个式子中a的项为$a^n$，因此第10个式子的a项为$a^{10}$；
2. 观察b项的符号：第1个式子b前为“+”，第2个为“-”，第3个为“+”，第4个为“-”……可得规律：n为奇数时符号为“+”，n为偶数时符号为“-”，第10个式子n=10是偶数，因此b前符号为“-”；
3. 观察b的指数：第1个式子b的指数是1，第2个是3，第3个是5，第4个是7……都是连续的奇数，可得第n个式子中b的指数为$2n-1$，因此第10个式子b的指数为$2×10-1=19$，即b的项为$b^{19}$。
将三部分整合，第10个式子为$a^{10}-b^{19}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
代数式规律探究；多项式的概念
【点评】
本题是典型的数字规律类探究题，解题的核心是将复杂的多项式拆分为多个独立模块分别找规律，降低思考难度，这种拆分思维对解决规律类题目非常实用。
【难度系数】
0.7
遇到多项式排列规律的题目，可将每个多项式拆分为多个独立部分分别找规律：①先找a的项的规律；②再找b项的符号规律；③最后找b的指数的规律，最后将三部分规律整合，代入n=10即可得到第10个式子。
【解析】
我们分别观察三个部分的排列规律：
1. 观察a的项：第1个式子是$a^1$，第2个是$a^2$，第3个是$a^3$……可得第n个式子中a的项为$a^n$，因此第10个式子的a项为$a^{10}$；
2. 观察b项的符号：第1个式子b前为“+”，第2个为“-”，第3个为“+”，第4个为“-”……可得规律：n为奇数时符号为“+”，n为偶数时符号为“-”，第10个式子n=10是偶数，因此b前符号为“-”；
3. 观察b的指数：第1个式子b的指数是1，第2个是3，第3个是5，第4个是7……都是连续的奇数，可得第n个式子中b的指数为$2n-1$，因此第10个式子b的指数为$2×10-1=19$，即b的项为$b^{19}$。
将三部分整合，第10个式子为$a^{10}-b^{19}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
代数式规律探究；多项式的概念
【点评】
本题是典型的数字规律类探究题，解题的核心是将复杂的多项式拆分为多个独立模块分别找规律，降低思考难度，这种拆分思维对解决规律类题目非常实用。
【难度系数】
0.7
2. 四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到107时对应的小朋友可得一朵红花，那么得红花的小朋友是(
A.小沈
B.小叶
C.小李
D.小王
C
)。A.小沈
B.小叶
C.小李
D.小王
答案
2. C
解析
【分析】
首先观察数字和对应小朋友的排列规律，可发现去掉第一个数1后，后续的数每6个为一个循环周期，每个周期内小朋友的顺序依次为：小叶、小李、小王、小李、小叶、小沈。解题时先排除第一个特殊数字1，计算107减去1后除以周期长度6的余数，再根据余数对应匹配到对应的小朋友即可。
【解析】
解：观察排列规律可知：
数字1对应小沈，从数字2开始，每6个数为一个循环周期，余数与对应小朋友的关系为：余数1→小叶，余数2→小李，余数3→小王，余数4→小李，余数5→小叶，余数0（整除）→小沈。
计算可得：
$(107-1)÷6=106÷6=17······4$
余数为4，对应周期内的小朋友为小李。
【答案】
C
【知识点】
周期规律探究；带余除法应用
【点评】
本题是典型的周期规律类题目，解题核心是准确找到周期长度和对应关系，注意不要忽略第一个特殊数字，否则容易计算错误，整体解题思路清晰，掌握规律后很容易得分。
【难度系数】
0.7
首先观察数字和对应小朋友的排列规律，可发现去掉第一个数1后，后续的数每6个为一个循环周期，每个周期内小朋友的顺序依次为：小叶、小李、小王、小李、小叶、小沈。解题时先排除第一个特殊数字1，计算107减去1后除以周期长度6的余数，再根据余数对应匹配到对应的小朋友即可。
【解析】
解：观察排列规律可知：
数字1对应小沈，从数字2开始，每6个数为一个循环周期，余数与对应小朋友的关系为：余数1→小叶，余数2→小李，余数3→小王，余数4→小李，余数5→小叶，余数0（整除）→小沈。
计算可得：
$(107-1)÷6=106÷6=17······4$
余数为4，对应周期内的小朋友为小李。
【答案】
C
【知识点】
周期规律探究；带余除法应用
【点评】
本题是典型的周期规律类题目，解题核心是准确找到周期长度和对应关系，注意不要忽略第一个特殊数字，否则容易计算错误，整体解题思路清晰，掌握规律后很容易得分。
【难度系数】
0.7
3.某同学用棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样。图①有11个棋子，图②有16个棋子，图③有21个棋子，图④有26个棋子，按这种规律，则第20个“100”字样的棋子个数是(
A.125
B.110
C.106
D.101
C
)。A.125
B.110
C.106
D.101
答案
3. C
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题思路如下：首先观察给出的前4个“100”字样的棋子数量，计算相邻两个图形的棋子数差值，判断数量变化规律，可发现每往后一个图形，棋子数就增加5，属于固定增量的规律变化；接下来推导第n个图形的棋子数通用表达式，最后把n=20代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知的棋子数量：
图①（第1个）：棋子数为11，即$ 5×1 + 6 = 11 $；
图②（第2个）：棋子数为16，即$ 5×2 + 6 = 16 $；
图③（第3个）：棋子数为21，即$ 5×3 + 6 = 21 $；
图④（第4个）：棋子数为26，即$ 5×4 + 6 = 26 $；
由此归纳规律：第n个“100”字样的棋子个数为$ 5n + 6 $。
当n=20时，代入公式计算：
$ 5×20 + 6 = 100 + 6 = 106 $
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；代数式应用
【点评】
本题是规律探究类基础题型，解题核心是从已知的有限个数据中找到固定的变化规律，推导通用的代数式表达式，再代入目标序号计算即可，是找规律问题中的常见考法。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题思路如下：首先观察给出的前4个“100”字样的棋子数量，计算相邻两个图形的棋子数差值，判断数量变化规律，可发现每往后一个图形，棋子数就增加5，属于固定增量的规律变化；接下来推导第n个图形的棋子数通用表达式，最后把n=20代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知的棋子数量：
图①（第1个）：棋子数为11，即$ 5×1 + 6 = 11 $；
图②（第2个）：棋子数为16，即$ 5×2 + 6 = 16 $；
图③（第3个）：棋子数为21，即$ 5×3 + 6 = 21 $；
图④（第4个）：棋子数为26，即$ 5×4 + 6 = 26 $；
由此归纳规律：第n个“100”字样的棋子个数为$ 5n + 6 $。
当n=20时，代入公式计算：
$ 5×20 + 6 = 100 + 6 = 106 $
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；代数式应用
【点评】
本题是规律探究类基础题型，解题核心是从已知的有限个数据中找到固定的变化规律，推导通用的代数式表达式，再代入目标序号计算即可，是找规律问题中的常见考法。
【难度系数】
0.7
4.【数学文化】古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是指一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1,3,6,10,15,…。我国元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥形的堆垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球……)。若一个“落一形”三角锥形的堆垛有10层，则该堆垛球的总个数为(
A.55
B.220
C.285
D.385
B
)。A.55
B.220
C.285
D.385
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先明确“三角形数”的规律：第k个三角形数是从1到k的正整数之和，对应堆垛第k层的球数。要求10层堆垛的总球数，只需要先写出前10层每层对应的三角形数，再将所有数相加即可得到结果。
【解析】
首先推导每层球数的规律：
第1层球数：$1$
第2层球数：$1+2=3$
第3层球数：$1+2+3=6$
第4层球数：$1+2+3+4=10$
……
依次写出前10层的球数分别为：1、3、6、10、15、21、28、36、45、55。
将所有层数的球数求和：
$\begin{aligned}&1+3+6+10+15+21+28+36+45+55\\=&4+6+10+15+21+28+36+45+55\\=&10+10+15+21+28+36+45+55\\=&20+15+21+28+36+45+55\\=&35+21+28+36+45+55\\=&56+28+36+45+55\\=&84+36+45+55\\=&120+45+55\\=&165+55\\=&220\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，有理数加法运算
【点评】
本题结合数学文化考查规律探索类问题，解题核心是准确提炼每层球数的变化规律，求和时需要细心计算，避免累加错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确“三角形数”的规律：第k个三角形数是从1到k的正整数之和，对应堆垛第k层的球数。要求10层堆垛的总球数，只需要先写出前10层每层对应的三角形数，再将所有数相加即可得到结果。
【解析】
首先推导每层球数的规律：
第1层球数：$1$
第2层球数：$1+2=3$
第3层球数：$1+2+3=6$
第4层球数：$1+2+3+4=10$
……
依次写出前10层的球数分别为：1、3、6、10、15、21、28、36、45、55。
将所有层数的球数求和：
$\begin{aligned}&1+3+6+10+15+21+28+36+45+55\\=&4+6+10+15+21+28+36+45+55\\=&10+10+15+21+28+36+45+55\\=&20+15+21+28+36+45+55\\=&35+21+28+36+45+55\\=&56+28+36+45+55\\=&84+36+45+55\\=&120+45+55\\=&165+55\\=&220\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，有理数加法运算
【点评】
本题结合数学文化考查规律探索类问题，解题核心是准确提炼每层球数的变化规律，求和时需要细心计算，避免累加错误。
【难度系数】
0.7
5.图①是一根起点为0且标有单位长度的射线，现将它弯折成如图②所示的图形，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42……依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是（
A.90
B.96
C.150
D.156
D
）。A.90
B.96
C.150
D.156
答案
5. D
解析
【分析】
首先提取题目已知信息：弯折后虚线上从下往上数，第1个点对应的数是0，第2个是12，第3个是42，要求第5个点对应的数。解题时先计算相邻两个已知数的差值，观察差值的变化规律，再依据规律依次推导第4个、第5个点的数值即可。首先算出第2个数与第1个数的差、第3个数与第2个数的差，可发现差值的变化规律为每次增加18，后续按该规律计算即可。
【解析】
解：已知虚线上从下往上各点对应的数：
第1个点：0
第2个点：12，相邻两数的差为 $ 12-0=12 $
第3个点：42，相邻两数的差为 $ 42-12=30 $
观察差的规律：$ 30-12=18 $，即后一个相邻差比前一个相邻差大18。
因此第3个点到第4个点的差为：$ 30+18=48 $
第4个点对应的数为：$ 42+48=90 $
第4个点到第5个点的差为：$ 48+18=66 $
第5个点对应的数为：$ 90+66=156 $
【答案】
D
【知识点】
图形类数字规律，等差数列
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要结合图形特征和已知数字归纳变化规律，解题核心是找到相邻目标数字的差值的递增规律，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
首先提取题目已知信息：弯折后虚线上从下往上数，第1个点对应的数是0，第2个是12，第3个是42，要求第5个点对应的数。解题时先计算相邻两个已知数的差值，观察差值的变化规律，再依据规律依次推导第4个、第5个点的数值即可。首先算出第2个数与第1个数的差、第3个数与第2个数的差，可发现差值的变化规律为每次增加18，后续按该规律计算即可。
【解析】
解：已知虚线上从下往上各点对应的数：
第1个点：0
第2个点：12，相邻两数的差为 $ 12-0=12 $
第3个点：42，相邻两数的差为 $ 42-12=30 $
观察差的规律：$ 30-12=18 $，即后一个相邻差比前一个相邻差大18。
因此第3个点到第4个点的差为：$ 30+18=48 $
第4个点对应的数为：$ 42+48=90 $
第4个点到第5个点的差为：$ 48+18=66 $
第5个点对应的数为：$ 90+66=156 $
【答案】
D
【知识点】
图形类数字规律，等差数列
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要结合图形特征和已知数字归纳变化规律，解题核心是找到相邻目标数字的差值的递增规律，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
