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6.【数学文化】《庄子·天下》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”（“尺”是我国传统长度单位）意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，那么$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^n}=$
$\frac{2^n -1}{2^n}$
。答案
6. $\frac{2^n -1}{2^n}$
解析
【分析】
这道题可以用两种符合现阶段知识的思路求解：一是找规律法，先计算n取较小正整数时的和，观察和的分子、分母与n的对应关系，归纳出通用结果；二是错位相减法，先设所求的和为S，给等式两边同时乘2，再将得到的新等式与原等式相减，消去中间重复的项，就能快速求出S的表达式，同学们可选择自己更容易理解的方法解题。
【解析】
解法1（找规律法）：
当n=1时，和为$\frac{1}{2}=\frac{2^1 - 1}{2^1}$；
当n=2时，和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}=\frac{3}{4}=\frac{2^2 - 1}{2^2}$；
当n=3时，和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}=\frac{7}{8}=\frac{2^3 - 1}{2^3}$；
……
依此类推，可得n项相加的和为$\frac{2^n -1}{2^n}$。
解法2（错位相减法）：
设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}$ ①，
将①式左右两边同时乘2，得：
$2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{n-1}}$ ②，
用②式减去①式，左右两边相同的项相互抵消，可得：
$2S - S = 1 - \frac{1}{2^n}$，
化简得$S=1-\frac{1}{2^n}=\frac{2^n - 1}{2^n}$。
【答案】
$\frac{2^n -1}{2^n}$
【知识点】
有理数运算，规律探究，乘方的意义
【点评】
本题结合传统国学文化出题，既考查了学生的规律归纳能力和有理数运算能力，又能让学生感受到数学与传统文化的联系，还渗透了极限的数学思想，兼具知识性和趣味性。
【难度系数】
0.7
这道题可以用两种符合现阶段知识的思路求解：一是找规律法，先计算n取较小正整数时的和，观察和的分子、分母与n的对应关系，归纳出通用结果；二是错位相减法，先设所求的和为S，给等式两边同时乘2，再将得到的新等式与原等式相减，消去中间重复的项，就能快速求出S的表达式，同学们可选择自己更容易理解的方法解题。
【解析】
解法1（找规律法）：
当n=1时，和为$\frac{1}{2}=\frac{2^1 - 1}{2^1}$；
当n=2时，和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}=\frac{3}{4}=\frac{2^2 - 1}{2^2}$；
当n=3时，和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}=\frac{7}{8}=\frac{2^3 - 1}{2^3}$；
……
依此类推，可得n项相加的和为$\frac{2^n -1}{2^n}$。
解法2（错位相减法）：
设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}$ ①，
将①式左右两边同时乘2，得：
$2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{n-1}}$ ②，
用②式减去①式，左右两边相同的项相互抵消，可得：
$2S - S = 1 - \frac{1}{2^n}$，
化简得$S=1-\frac{1}{2^n}=\frac{2^n - 1}{2^n}$。
【答案】
$\frac{2^n -1}{2^n}$
【知识点】
有理数运算，规律探究，乘方的意义
【点评】
本题结合传统国学文化出题，既考查了学生的规律归纳能力和有理数运算能力，又能让学生感受到数学与传统文化的联系，还渗透了极限的数学思想，兼具知识性和趣味性。
【难度系数】
0.7
7.【综合与实践】阶梯的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等。
尝试
（1）求前4个台阶上的数的和；
（2）求第5个台阶上的数。
应用
（3）求从下到上前31个台阶上的数的和。
发现
（4）试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在台阶数。
尝试
（1）求前4个台阶上的数的和；
（2）求第5个台阶上的数。
应用
（3）求从下到上前31个台阶上的数的和。
发现
（4）试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在台阶数。
答案
解:(1) $-5-2+1+9=3$。
(2) 设第5个台阶上的数为$x$。由题意,得$-2+1+9+x=3$,解得$x=-5$。
(3) 每4个相邻台阶上的数的和为3,前31个台阶上的数的和为$7×3+(-5-2+1)=15$。
(4) 发现“1”出现在每组4个数的第3个,也就是第3、第7、第11、第……个台阶上,且$3=4×1-1,7=4×2-1,11=4×3-1,\dots$,所以“1”出现的台阶数为$4k-1$($k$为正整数)。
(2) 设第5个台阶上的数为$x$。由题意,得$-2+1+9+x=3$,解得$x=-5$。
(3) 每4个相邻台阶上的数的和为3,前31个台阶上的数的和为$7×3+(-5-2+1)=15$。
(4) 发现“1”出现在每组4个数的第3个,也就是第3、第7、第11、第……个台阶上,且$3=4×1-1,7=4×2-1,11=4×3-1,\dots$,所以“1”出现的台阶数为$4k-1$($k$为正整数)。
解析
【分析】
（1）第一问属于基础运算题，直接将前4个台阶标注的数相加即可得到和。
（2）第二问利用题目给出的“任意相邻四个台阶上数的和都相等”的核心条件，可知第2到第5个台阶的数的和与前4个的和相等，设第5个台阶的数为未知数，列一元一次方程即可求解。
（3）第三问先由相邻四个数的和相等，可推出台阶上的数每4个为一个循环周期，先计算31个台阶包含多少个完整周期、余下几个数，再结合每个周期的和计算总结果。
（4）第四问先列举出“1”前几次出现的台阶数，观察数字变化的规律，归纳出含k的通用表达式即可。
【解析】
（1）前4个台阶上的数的和为：
$-5+(-2)+1+9=3$
（2）设第5个台阶上的数为$x$，根据相邻四个台阶数的和相等可得：
$-2+1+9+x=3$
解得：$x=-5$
（3）由题意可知台阶上的数每4个为一个循环周期，每个周期的和为3，
$31÷4=7······3$，即31个台阶包含7个完整周期，还余下前3个台阶的数，
则前31个台阶的和为：
$7×3+(-5)+(-2)+1=15$
（4）观察可得“1”第一次出现在第3个台阶，第二次出现在第7个台阶，第三次出现在第11个台阶，
依次为：$3=4×1-1$，$7=4×2-1$，$11=4×3-1$……
因此数“1”所在的台阶数为$4k-1$（k为正整数）。
【答案】
(1) $3$；(2) $-5$；(3) $15$；(4) $4k-1$（k为正整数）
【知识点】
有理数加减运算，周期规律探究，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活场景设计题目，将基础运算和规律探究相结合，解题的核心是抓住“相邻四个台阶数的和相等”推导出数字的循环周期，既考查了基础运算能力，也锻炼了归纳推理能力，是综合性较好的基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于基础运算题，直接将前4个台阶标注的数相加即可得到和。
（2）第二问利用题目给出的“任意相邻四个台阶上数的和都相等”的核心条件，可知第2到第5个台阶的数的和与前4个的和相等，设第5个台阶的数为未知数，列一元一次方程即可求解。
（3）第三问先由相邻四个数的和相等，可推出台阶上的数每4个为一个循环周期，先计算31个台阶包含多少个完整周期、余下几个数，再结合每个周期的和计算总结果。
（4）第四问先列举出“1”前几次出现的台阶数，观察数字变化的规律，归纳出含k的通用表达式即可。
【解析】
（1）前4个台阶上的数的和为：
$-5+(-2)+1+9=3$
（2）设第5个台阶上的数为$x$，根据相邻四个台阶数的和相等可得：
$-2+1+9+x=3$
解得：$x=-5$
（3）由题意可知台阶上的数每4个为一个循环周期，每个周期的和为3，
$31÷4=7······3$，即31个台阶包含7个完整周期，还余下前3个台阶的数，
则前31个台阶的和为：
$7×3+(-5)+(-2)+1=15$
（4）观察可得“1”第一次出现在第3个台阶，第二次出现在第7个台阶，第三次出现在第11个台阶，
依次为：$3=4×1-1$，$7=4×2-1$，$11=4×3-1$……
因此数“1”所在的台阶数为$4k-1$（k为正整数）。
【答案】
(1) $3$；(2) $-5$；(3) $15$；(4) $4k-1$（k为正整数）
【知识点】
有理数加减运算，周期规律探究，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活场景设计题目，将基础运算和规律探究相结合，解题的核心是抓住“相邻四个台阶数的和相等”推导出数字的循环周期，既考查了基础运算能力，也锻炼了归纳推理能力，是综合性较好的基础题型。
【难度系数】
0.7
8.【跨学科】观察下面三种化合物的结构式及分子式，如果按其规律，那么下一种化合物的分子式应该是
C₄H₁₀
。答案
8. C₄H₁₀
解析
【分析】
解题时我们可以分别探究碳原子和氢原子的数量变化规律：首先观察碳原子数，给出的三种化合物碳原子数依次为1、2、3，每次增加1，因此下一种化合物的碳原子数应为3+1=4；再观察氢原子数，三种化合物氢原子数依次为4、6、8，每次增加2，因此下一种化合物的氢原子数应为8+2=10，将两种原子的数量组合即可得到所求分子式。
【解析】
观察已知的三种化合物：
第1种：碳原子数为1，氢原子数为4，分子式为$\ce{CH_{4}}$；
第2种：碳原子数为2，氢原子数为$4+2=6$，分子式为$\ce{C_{2}H_{6}}$；
第3种：碳原子数为3，氢原子数为$6+2=8$，分子式为$\ce{C_{3}H_{8}}$；
按照上述规律推导第4种化合物：
碳原子数为$3+1=4$，氢原子数为$8+2=10$，因此分子式为$\ce{C_{4}H_{10}}$。
【答案】
$\ce{C_{4}H_{10}}$
【知识点】
规律探究，代数式应用
【点评】
本题属于跨学科题型，将数学规律探究知识与化学化学式相结合，重点考查学生的观察能力、归纳总结能力，解题时只需分别统计两种原子的数量变化规律即可求解，整体思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以分别探究碳原子和氢原子的数量变化规律：首先观察碳原子数，给出的三种化合物碳原子数依次为1、2、3，每次增加1，因此下一种化合物的碳原子数应为3+1=4；再观察氢原子数，三种化合物氢原子数依次为4、6、8，每次增加2，因此下一种化合物的氢原子数应为8+2=10，将两种原子的数量组合即可得到所求分子式。
【解析】
观察已知的三种化合物：
第1种：碳原子数为1，氢原子数为4，分子式为$\ce{CH_{4}}$；
第2种：碳原子数为2，氢原子数为$4+2=6$，分子式为$\ce{C_{2}H_{6}}$；
第3种：碳原子数为3，氢原子数为$6+2=8$，分子式为$\ce{C_{3}H_{8}}$；
按照上述规律推导第4种化合物：
碳原子数为$3+1=4$，氢原子数为$8+2=10$，因此分子式为$\ce{C_{4}H_{10}}$。
【答案】
$\ce{C_{4}H_{10}}$
【知识点】
规律探究，代数式应用
【点评】
本题属于跨学科题型，将数学规律探究知识与化学化学式相结合，重点考查学生的观察能力、归纳总结能力，解题时只需分别统计两种原子的数量变化规律即可求解，整体思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
