1. 作圆的情况:作圆的关键是确定的位置和的大小.
(1)过一个点可以作个圆;
(2)过两个点可以作个圆;(3)经过不在同一条直线上的三个点确定个圆.

1. 圆心 半径
(1) 无数
(2) 无数
(3) 一

【分析】
结合圆的定义思考本题：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，因此作圆的核心是确定这个定点（圆心）和定长（半径）。再逐类分析不同点数下可作圆的数量：①过1个点时，只要圆心不在该点上，任意选圆心、以圆心到该点的距离为半径都能作圆，有无数种选择；②过2个点时，圆心需要满足到两个点的距离相等，即圆心在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，因此也能作无数个圆；③过不在同一直线的3个点时，圆心需要同时在任意两点连线的垂直平分线上，两条直线相交只有1个交点，即圆心唯一，半径也随之唯一，因此只能确定1个圆。
【解析】
根据圆的定义，作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。
(1) 过一个点时，圆心可以是除该点外的任意点，半径为圆心到该点的距离，存在无数种圆心和半径的组合，因此可以作无数个圆。
(2) 过两个点时，圆心必须在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，每个点都可作为圆心，对应不同的半径，因此可以作无数个圆。
(3) 经过不在同一条直线上的三个点时，圆心是任意两点连线的垂直平分线的交点，两条直线相交仅有1个交点，即圆心唯一，半径为圆心到这三个点中任意一点的距离，也是唯一的，因此确定1个圆。
【答案】
圆心 半径
(1) 无数
(2) 无数
(3) 一
【知识点】
圆的定义、确定圆的条件、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对圆的基本性质和确定圆的条件的理解，属于几何部分的基础内容，熟练掌握该知识点是学习三角形外接圆、圆的相关证明的前提。
【难度系数】
0.9

2. 三角形的外心:经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形的,外接圆的圆心是三角形三条边的的交点,叫作这个三角形的,这个三角形叫作这个圆的三角形。

2. 外接圆 垂直平分线 外心 内接

【分析】
这道题考查三角形外心相关的基础概念，我们可以结合线段垂直平分线的性质理解记忆：要作过三角形三个顶点的圆，圆心需要满足到三个顶点距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此该圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，再对应记忆相关的名称对应关系即可填空。
【解析】
1. 第一个空：根据定义，经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆，故填外接圆；
2. 第二个空：外接圆的圆心到三个顶点的距离均等于半径，结合垂直平分线的性质，到三角形三个顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点，故填垂直平分线；
3. 第三个空：根据定义，三角形外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，故填外心；
4. 第四个空：若圆经过三角形的三个顶点，那么这个三角形叫作这个圆的内接三角形，故填内接。
【答案】
外接圆 垂直平分线 外心 内接
【知识点】
三角形外接圆；三角形外心；圆内接三角形
【点评】
本题是基础概念识记题，难度较低，核心考察三角形外心相关的配套定义，学习时可以结合线段垂直平分线的性质理解记忆，注意区分“外接”“内接”的对应关系，以及外心和内心等其他三角形特殊点的定义差异。
【难度系数】
0.9

例 一个圆形零件的部分碎片如图29.1-3所示，试确定该零件的圆心。

作法 如图29.1-4所示，在碎片上任取三点连接成两条线段，再作这两条线段的垂直平分线，相交于一点O，则点O就是所求的圆心。

方法感悟 1. 过不在同一条直线上的三点作圆的关键就是确定这个圆的圆心，而圆心到三点的距离相等，所以圆心在任意两点连线的垂直平分线上。
2. 三角形的外接圆的圆心就是这个三角形三条边的垂直平分线的交点。

【分析】要确定圆形零件的圆心，首先回忆圆的核心性质：圆心到圆上任意一点的距离都相等。结合线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此只要找到一个点到圆上三个不共线的点距离相等即可。我们可以先在碎片的圆弧上选取三个不在同一直线上的点，连接得到两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点到三个选定点的距离都相等，该点就是所求的圆心。
【解析】具体作法如下：
1. 在圆形碎片的圆弧上任取三个不共线的点，分别记作A、B、C；
2. 用直尺连接AB、BC，得到圆的两条弦；
3. 分别用尺规作线段AB的垂直平分线$l_1$、线段BC的垂直平分线$l_2$；
4. 记$l_1$与$l_2$的交点为O，点O即为该圆形零件的圆心。
原理说明：O在AB的垂直平分线上，故OA=OB；O在BC的垂直平分线上，故OB=OC，因此OA=OB=OC，符合圆心到圆上各点距离相等的性质。
【答案】在碎片圆弧上任取三个不共线的点，连接得到两条弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆心。
【知识点】1. 圆的基本性质 2. 线段垂直平分线的性质 3. 三点定圆的条件
【点评】本题是圆的相关性质在实际生活中的应用，解题的关键是理解圆心的特征和线段垂直平分线的性质，掌握不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆的原理，即可快速解决这类确定圆心的问题。
【难度系数】0.8

1. 已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为()。

A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个

1. C

【分析】
要确定过A、B两点且半径为8cm的圆的个数，核心是找到满足条件的圆心的个数。首先根据圆的性质，过两点的圆的圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，因此问题可转化为：在AB的垂直平分线上，寻找到A（或B）的距离等于8cm的点的个数。我们可以先求出AB一半的长度，再结合勾股定理判断符合条件的点的数量。
【解析】
步骤1：确定圆心的位置范围
过A、B两点的圆的圆心必在线段AB的垂直平分线上，且圆心到A、B的距离均等于圆的半径8cm。
步骤2：计算AB中点到A的距离
取AB的中点O，则$AO = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6\mathrm{cm}$。
步骤3：用勾股定理判断符合条件的圆心个数
设符合要求的圆心为P，则$PA=8\mathrm{cm}$，因为P在AB的垂直平分线上，所以$PO⊥ AB$，$△ POA$为直角三角形。
由勾股定理得：$PO = \sqrt{PA^2 - AO^2} = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\mathrm{cm} ＞ 0$。
说明在AB的垂直平分线上，AB的上方和下方各存在1个满足条件的点P，因此可以画出2个符合要求的圆。
【答案】
C
【知识点】
1. 垂直平分线的性质 2. 圆的定义 3. 勾股定理的应用
【点评】
本题考查圆的确定条件，结合垂直平分线性质与勾股定理判断圆心个数，属于基础概念应用题，解题时需注意垂直平分线两侧均可能存在符合条件的圆心，避免漏解。
【难度系数】
0.7

2. 有下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内. 其中正确的有().

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2. B

【分析】
本题是圆相关基础概念的辨析题，解题时需逐个对6个说法进行判断：首先回忆确定圆的条件、三角形外接圆、圆的内接三角形、三角形外心的定义及性质，再结合特殊等腰三角形的外心位置逐一排查，最终统计正确说法的数量即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线无法确定圆，故①错误；
② 三角形的三个顶点不共线，因此任意三角形有且只有一个外接圆，故②正确；
③ 圆上任意选取3个不共线的点都可构成一个内接三角形，因此圆有无数个内接三角形，故③错误；
④ 三角形外心的定义就是三角形三边垂直平分线的交点，故④正确；
⑤ 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心，故⑤错误；
⑥ 等腰三角形若为钝角等腰三角形，外心在三角形外部；若为直角等腰三角形，外心在斜边中点处，仅锐角等腰三角形的外心在三角形内部，故⑥错误。
综上，正确的说法是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；三角形外接圆与外心；外心的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点在于忽略三点共线的前提、混淆外心与内心的性质、遗漏钝角/直角等腰三角形外心的特殊位置，解题时紧扣定义逐一判断即可避免出错。
【难度系数】
0.7