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7. [2026西安经开一中月考]某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元,今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,今年的总收入、总支出各是多少万元?设今年的总收入为x万元,总支出为y万元,可列出方程组为 (
A.$\begin{cases} x - y = 780, \\ \dfrac{x}{1 + 20\%} - \dfrac{y}{1 - 10\%} = 200 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 780, \\ (1 - 20\%)x - (1 + 10\%)y = 200 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x - y = 200, \\ (1 + 20\%)x - (1 - 10\%)y = 780 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 780, \\ (1 + 20\%)x - (1 - 10\%)y = 200 \end{cases}$
A
)A.$\begin{cases} x - y = 780, \\ \dfrac{x}{1 + 20\%} - \dfrac{y}{1 - 10\%} = 200 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 780, \\ (1 - 20\%)x - (1 + 10\%)y = 200 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x - y = 200, \\ (1 + 20\%)x - (1 - 10\%)y = 780 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 780, \\ (1 + 20\%)x - (1 - 10\%)y = 200 \end{cases}$
答案
A
8. ▶教材P127T11变式 甲、乙两人分别以一定的速度在400米的环形跑道上练习跑步，若同时同地反向跑，则32秒后第一次相遇；若同时同地同向跑，甲先跑10米，则乙20秒可第一次追上甲。则甲的速度为
6
米/秒，乙的速度为6.5
米/秒。答案
设甲的速度为x米/秒,乙的速度为y米/秒,由题意,得$\begin{cases} 32x + 32y = 400, \\ 20y - 20x = 10, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 6, \\ y = 6.5, \end{cases}$即甲的速度为6米/秒,乙的速度为6.5米/秒。
9. [2025 福州期中]某市在创建全国卫生文明城市的过程中,对城内的部分河道进行整治。现有一段长 360 米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成。甲工程队每天整治 16 米,乙工程队每天整治 24 米,共用时 20 天。甲、乙两工程队分别整治河道多少米?
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下。
①小明同学:设甲工程队整治河道$x$米,乙工程队整治河道$y$米,
根据题意,得$\begin{cases} x + y = 360, \\ (\_\_\_\_\_\_) + (\_\_\_\_\_\_) = 20。 \end{cases}$
②小华同学:设$m$表示________________,
$n$表示________________,
则可列方程组为$\begin{cases} m + n = 20, \\ 16m + 24n = 360。 \end{cases}$
请你补全小明、小华两位同学的解题思路。
(2)请从①②中任选一个解题思路,写出完整的解答过程。
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下。
①小明同学:设甲工程队整治河道$x$米,乙工程队整治河道$y$米,
根据题意,得$\begin{cases} x + y = 360, \\ (\_\_\_\_\_\_) + (\_\_\_\_\_\_) = 20。 \end{cases}$
②小华同学:设$m$表示________________,
$n$表示________________,
则可列方程组为$\begin{cases} m + n = 20, \\ 16m + 24n = 360。 \end{cases}$
请你补全小明、小华两位同学的解题思路。
(2)请从①②中任选一个解题思路,写出完整的解答过程。
答案
解:(1)$\dfrac{x}{16}$ $\dfrac{y}{24}$ 甲工程队工作的天数 乙工程队工作的天数
(2)选择①。
设甲工程队整治河道x米,乙工程队整治河道y米,
根据题意,得$\begin{cases} x + y = 360, \\ \dfrac{x}{16} + \dfrac{y}{24} = 20, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 240, \\ y = 120。 \end{cases}$
答:甲工程队整治河道240米,乙工程队整治河道120米。
选择②。
设甲工程队工作的天数是m,乙工程队工作的天数是n,
根据题意,得$\begin{cases} m + n = 20, \\ 16m + 24n = 360, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = 15, \\ n = 5, \end{cases}$
所以甲工程队整治河道的长度为15×16=240(米),
乙工程队整治河道的长度为5×24=120(米)。
答:甲工程队整治河道240米,乙工程队整治河道120米。
(2)选择①。
设甲工程队整治河道x米,乙工程队整治河道y米,
根据题意,得$\begin{cases} x + y = 360, \\ \dfrac{x}{16} + \dfrac{y}{24} = 20, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 240, \\ y = 120。 \end{cases}$
答:甲工程队整治河道240米,乙工程队整治河道120米。
选择②。
设甲工程队工作的天数是m,乙工程队工作的天数是n,
根据题意,得$\begin{cases} m + n = 20, \\ 16m + 24n = 360, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = 15, \\ n = 5, \end{cases}$
所以甲工程队整治河道的长度为15×16=240(米),
乙工程队整治河道的长度为5×24=120(米)。
答:甲工程队整治河道240米,乙工程队整治河道120米。
10. 应用意识 [2025 六安期末] 某商店分两次购进A,B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A,B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%,20%。
(1)第一次购进A,B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A,B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2 800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1 800元。
①A,B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A,B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1 000元，有哪几种购进方案？
(1)第一次购进A,B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A,B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2 800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1 800元。
①A,B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A,B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1 000元，有哪几种购进方案？
答案
(1)解:设第一次购进A型台灯每台进价为x元,B型台灯每台进价为y元,由题意,得
$\begin{cases}10x + 20y = 3\ 000,\\15(1 + 30\%)x + 10(1 + 20\%)y = 4\ 500,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 200,\\y = 50,\end{cases}$
所以第一次购进A型台灯每台进价为200元,B型台灯每台进价为50元。
(2)①设A型台灯每台售价为m元,B型台灯每台售价为n元,由题意,得
$\begin{cases}10(m - 200) + 20(n - 50) = 2\ 800,\\15[m - 200(1 + 30\%)] + 10[n - 50(1 + 20\%)] = 1\ 800,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 340,\\n = 120,\end{cases}$
所以A型台灯每台售价为340元,B型台灯每台售价为120元。
②第二次购进的A型台灯每台进价为$200(1 + 30\%) = 260$(元),B型台灯每台进价为$50(1 + 20\%) = 60$(元),
设购进A型台灯a台,B型台灯b台,
由题意,得$(340 - 260)a + (120 - 60)b = 1\ 000$,
整理,得$4a + 3b = 50$,
因为a,b为自然数,
所以$\begin{cases}a = 2,\\b = 14\end{cases}$或$\begin{cases}a = 5,\\b = 10\end{cases}$或$\begin{cases}a = 8,\\b = 6\end{cases}$或$\begin{cases}a = 11,\\b = 2,\end{cases}$
所以共有4种购进方案:a. 购进A型台灯2台,B型台灯14台;b. 购进A型台灯5台,B型台灯10台;c. 购进A型台灯8台,B型台灯6台;d. 购进A型台灯11台,B型台灯2台。
$\begin{cases}10x + 20y = 3\ 000,\\15(1 + 30\%)x + 10(1 + 20\%)y = 4\ 500,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 200,\\y = 50,\end{cases}$
所以第一次购进A型台灯每台进价为200元,B型台灯每台进价为50元。
(2)①设A型台灯每台售价为m元,B型台灯每台售价为n元,由题意,得
$\begin{cases}10(m - 200) + 20(n - 50) = 2\ 800,\\15[m - 200(1 + 30\%)] + 10[n - 50(1 + 20\%)] = 1\ 800,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 340,\\n = 120,\end{cases}$
所以A型台灯每台售价为340元,B型台灯每台售价为120元。
②第二次购进的A型台灯每台进价为$200(1 + 30\%) = 260$(元),B型台灯每台进价为$50(1 + 20\%) = 60$(元),
设购进A型台灯a台,B型台灯b台,
由题意,得$(340 - 260)a + (120 - 60)b = 1\ 000$,
整理,得$4a + 3b = 50$,
因为a,b为自然数,
所以$\begin{cases}a = 2,\\b = 14\end{cases}$或$\begin{cases}a = 5,\\b = 10\end{cases}$或$\begin{cases}a = 8,\\b = 6\end{cases}$或$\begin{cases}a = 11,\\b = 2,\end{cases}$
所以共有4种购进方案:a. 购进A型台灯2台,B型台灯14台;b. 购进A型台灯5台,B型台灯10台;c. 购进A型台灯8台,B型台灯6台;d. 购进A型台灯11台,B型台灯2台。
