1.(2026·新疆中考)如图,在$□ ABCD$中,点E,F在对角线BD上,BE=DF.
(1)求证:$△ ABE≌△ CDF$.
(2)求证:四边形AECF是平行四边形.

1. (1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠ABE=∠CDF.又
∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)
∵△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD.
∵∠AEB+∠AEF=∠CFD+∠CFE=180°,
∴∠AEF=∠CFE,
∴AE//CF,
∴四边形AECF是平行四边形.

2.(2023·新疆中考)如图,AD和BC交于点O,∠ABO=∠DCO=90°,OB=OC,点E,F分别是AO,DO的中点.
(1)求证:$OE=OF$.
(2)当$∠A=30°$时,求证:四边形BECF是矩形.

2. (1)证明:
∵∠ABO=∠DCO=90°,
∴AB//CD,
∴∠A = ∠D. 在△AOB 与 △DOC 中,
$\begin{cases}∠A=∠D \\∠ABO=∠DCO,∴△AOB≌△DOC(AAS),\\OB=OC\end{cases}$
∴AO=DO.
∵点E,F分别是AO,DO的中点,
∴$OE=\frac{1}{2}AO$,$OF=\frac{1}{2}DO$,
∴OE=OF.
(2)
∵OB=OC,OE=OF,
∴四边形BECF是平行四边形.
∵∠A=30°,
∴$OB=\frac{1}{2}OA=OE$.
∵OE=OF,
∴$OB=\frac{1}{2}EF$,易知∠EBF=90°,
∴四边形BECF是矩形.

3.(乌鲁木齐模拟)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,延长AB到点E,使BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED=AD.
(1)求证:四边形BECD是矩形.
(2)连接AC,若AD=6,CD=3,求AC的长.

3. (1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD.
∵BE=AB,
∴BE=CD,
∴四边形BECD是平行四边形.
∵AD=BC,AD=DE,
∴BC=DE,
∴四边形BECD是矩形.
(2)解:
∵CD=3,
∴AB=BE=3.
∵AD=6,∠ABD=90°,
∴$BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,
∴$CE=3\sqrt{3}$,
∴$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{(3+3)^2+(3\sqrt{3})^2}=3\sqrt{7}$.

4.(乌鲁木齐模拟)如图,在$△ ABC$中,$AB=2AC$,$CE$是中线,$AD$是角平分线,过点$B$作$BD// CE$交$AD$于点$D$,连接$DE$,交$BC$于点$G$.
(1)求证:$△ CEG≌△ BDG$.
(2)当$∠ ACB$满足什么条件时,四边形$BDCE$是菱形? 证明你的结论.

4. (1)证明:
∵CE是中线,AB=2AC,
∴AE=BE=AC.又
∵AD是角平分线,
∴EC=2EF.
∵BD//CE,
∴∠GEC=∠GDB,∠GCE=∠GBD,△AEF∽△ABD,
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴BD=2EF=EC,
∴△CEG≌△BDG(ASA).
(2)解:当∠ACB=90°时,四边形BDCE是菱形.证明:
∵CE是中线,
∴$CE=\frac{1}{2}AB=EB$.
∵BD=EC,BD//EC,
∴四边形BDCE是菱形.