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5.如图,已知$AB=CD$,点$E,F$在线段$BD$上,且$AF=CE$.请从①$BF=DE$,②$∠ BAF=∠ DCE$,③$AF=CF$中,选择一个合适的选项作为已知条件,使得$△ ABF≌△ CDE$.
你选择的条件是
你选择的条件是
①(或②)
.添加条件后,求证:$AE// CF$.答案
5. 解:选择①$BF=DE$ 时,$△ ABF≌△ CDE$. 证明:在$△ ABF$ 和 $△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD \\ AF=CE \\ BF=DE \end{cases}$,$\therefore △ ABF ≌ △ CDE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ B=∠ D$. $\because BF=DE,\therefore BF+EF=DE+EF$,即 $BE=DF$. 在$△ ABE$ 和$△ CDF$ 中,$\begin{cases} AB=CD \\ ∠ B=∠ D \\ BE=DF \end{cases}$,$\therefore △ ABE ≌ △ CDF (\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ AEB=∠ CFD,\therefore AE// CF$. 选择②$∠ BAF=∠ DCE$ 时,$△ ABF≌△ CDE$. 证明:在$△ ABF$ 和$△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD \\ ∠ BAF=∠ DCE \\ AF=CE \end{cases}$,$\therefore △ ABF ≌ △ CDE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ B=∠ D,BF=DE$. 同理可证$△ ABE≌△ CDF (\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ AEB = ∠ CFD$,$\therefore AE// CF$. 选择③$AF=CF$ 时,不能判定$△ ABF≌△ CDE$.
6.(2022·新疆中考)如图,在$△ ABC$中,点D,F分别为边AC,AB的中点.延长DF到点E,使$DF=EF$,连接BE.
(1)求证:$△ ADF≌△ BEF$.
(2)求证:四边形BCDE是平行四边形.
(1)求证:$△ ADF≌△ BEF$.
(2)求证:四边形BCDE是平行四边形.
答案
6. (1) 证明:$\because$ 点 F 是 AB 的中点,$\therefore AF=BF$.
在$△ ADF$ 和 $△ BEF$ 中,$\begin{cases} AF=BF \\ ∠ AFD=∠ BFE \\ DF=EF \end{cases}$
$\therefore△ ADF≌△ BEF(\mathrm{SAS})$.
(2) 证明:$\because$ 点 D,F 分别为边 AC,AB 的中点,$\therefore DF// BC,DF=\frac{1}{2}BC$.
$\because EF=DF,\therefore EF=\frac{1}{2}DE,\therefore DF+EF=DE=BC$,$\therefore$ 四边形 BCDE 是平行四边形.
在$△ ADF$ 和 $△ BEF$ 中,$\begin{cases} AF=BF \\ ∠ AFD=∠ BFE \\ DF=EF \end{cases}$
$\therefore△ ADF≌△ BEF(\mathrm{SAS})$.
(2) 证明:$\because$ 点 D,F 分别为边 AC,AB 的中点,$\therefore DF// BC,DF=\frac{1}{2}BC$.
$\because EF=DF,\therefore EF=\frac{1}{2}DE,\therefore DF+EF=DE=BC$,$\therefore$ 四边形 BCDE 是平行四边形.
7. 如图, BE, CF 分别是△ABC 的边 AC, AB 上的高,且 $BP=CA,AB=QC$.
(1)求证:$△ ABP ≌ △ QCA$.
(2)求证:$AP ⊥ AQ$.
(1)求证:$△ ABP ≌ △ QCA$.
(2)求证:$AP ⊥ AQ$.
答案
7. (1) 证明:$\because CF ⊥ AB, BE ⊥ AC, \therefore ∠ AEB = ∠ AFC=90°, \therefore ∠ ABE=∠ ACQ=90°-∠ BAC$.
在 $△ ABP$ 和 $△ QCA$ 中,$\begin{cases} BP=CA \\ ∠ ABP=∠ QCA \\ AB=QC \end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ QCA (\mathrm{SAS})$.
(2) 证明: $\because △ ABP ≌ △ QCA, \therefore ∠ BAP=∠ CQA$. $\because ∠ CQA + ∠ QAF=90°, \therefore ∠ BAP+∠ QAF=90°$,即 $AP⊥ AQ$.
在 $△ ABP$ 和 $△ QCA$ 中,$\begin{cases} BP=CA \\ ∠ ABP=∠ QCA \\ AB=QC \end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ QCA (\mathrm{SAS})$.
(2) 证明: $\because △ ABP ≌ △ QCA, \therefore ∠ BAP=∠ CQA$. $\because ∠ CQA + ∠ QAF=90°, \therefore ∠ BAP+∠ QAF=90°$,即 $AP⊥ AQ$.
8.如图，$△ ABC$与$△ ECD$都是等边三角形，$AB=6$，$CD=2$，连接$AD$，$BE$，$AC$与$BE$交于点$M$.
(1)求证：$BE=AD$.
(2)若$∠ BED=105°$，求$∠ CAD$的度数.
(1)求证：$BE=AD$.
(2)若$∠ BED=105°$，求$∠ CAD$的度数.
答案
8. (1) 证明: $\because △ ABC$ 和 $△ CDE$ 都是等边三角形,$\therefore CA=CB,CD=CE,∠ ACB=∠ DCE=60°$,$\therefore ∠ ACE=180°-60°-60°=60°$,$\therefore ∠ ACD=∠ BCE=60°+60°=120°$. 在$△ BCE$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} CB=CA \\ ∠ BCE=∠ ACD \\ CE=CD \end{cases}$,$\therefore △ BCE ≌ △ ACD (\mathrm{SAS})$,$\therefore BE=AD$.
(2) 解:由(1)可知$△ BCE≌△ ACD$,$\therefore ∠ CBE=∠ CAD$. $\because ∠ BED=105°, ∠ DCE=∠ CED=60°, \therefore ∠ BEC=∠ BED-∠ CED=105°-60°=45°$. $\because ∠ DCE=∠ BEC+∠ CBE=60°, \therefore ∠ CBE=∠ DCE-∠ BEC=60°-45°=15°$,$\therefore ∠ CAD=∠ CBE=15°$.
(2) 解:由(1)可知$△ BCE≌△ ACD$,$\therefore ∠ CBE=∠ CAD$. $\because ∠ BED=105°, ∠ DCE=∠ CED=60°, \therefore ∠ BEC=∠ BED-∠ CED=105°-60°=45°$. $\because ∠ DCE=∠ BEC+∠ CBE=60°, \therefore ∠ CBE=∠ DCE-∠ BEC=60°-45°=15°$,$\therefore ∠ CAD=∠ CBE=15°$.
