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1. 计算:
(1) $\dfrac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 2a} ÷ \dfrac{a^2 - 4}{2a}$；
(2) $\dfrac{2x + 6}{x^2 + 2x} ÷ (x + 3) · \dfrac{x^2 - 2x}{2 - x}$；
(3) $(m + 2 + \dfrac{1}{m}) · \dfrac{m}{m + 1}$；
(4) $\dfrac{2 - x}{x - 1} ÷ (x + 1 - \dfrac{3}{x - 1})$。
(1) $\dfrac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 2a} ÷ \dfrac{a^2 - 4}{2a}$；
(2) $\dfrac{2x + 6}{x^2 + 2x} ÷ (x + 3) · \dfrac{x^2 - 2x}{2 - x}$；
(3) $(m + 2 + \dfrac{1}{m}) · \dfrac{m}{m + 1}$；
(4) $\dfrac{2 - x}{x - 1} ÷ (x + 1 - \dfrac{3}{x - 1})$。
答案
1.(1) 解:原式=$\dfrac{(a-2)^2}{a(a-2)} · \dfrac{2a}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2}{a+2}$ (2) 解:原式=$\dfrac{2(x+3)}{x(x+2)} · \dfrac{1}{x+3} · \dfrac{x(x-2)}{-(x-2)}=-\dfrac{2}{x+2}$. (3) 解:原式=$\dfrac{m^2+2m+1}{m} · \dfrac{m}{m+1}=\dfrac{(m+1)^2}{m} · \dfrac{m}{m+1}=m+1$. (4) 解:原式=$\dfrac{2-x}{x-1} ÷ \dfrac{x^2-4}{x-1}=-\dfrac{x-2}{x-1} · \dfrac{x-1}{(x+2)(x-2)}=-\dfrac{1}{x+2}$.
解析
【分析】
分式乘除及混合运算的解题思路可按以下步骤展开：①运算转换：先将所有除法运算转换为乘法运算，除以一个式子等于乘该式子的倒数；②因式分解：对各分式的分子、分母进行因式分解（常用提公因式法、完全平方公式、平方差公式），若有括号先计算括号内的运算，括号内整式与分式加减时先通分合并；③约分计算：将相同的因式约去，互为相反数的因式可提取负号后再约分；④整理结果：最终得到最简分式或整式。
【解析】
(1) 先对各部分因式分解，再将除法变乘法约分：
原式=$\dfrac{(a-2)^2}{a(a-2)} · \dfrac{2a}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2}{a+2}$
(2) 按从左到右顺序，先变除为乘，再因式分解约分，注意处理符号：
原式=$\dfrac{2(x+3)}{x(x+2)} · \dfrac{1}{x+3} · \dfrac{x(x-2)}{-(x-2)}=-\dfrac{2}{x+2}$
(3) 先计算括号内的分式加法，通分合并后再约分：
原式=$\dfrac{m^2+2m+1}{m} · \dfrac{m}{m+1}=\dfrac{(m+1)^2}{m} · \dfrac{m}{m+1}=m+1$
(4) 先计算括号内的分式减法，通分化简后再变除为乘约分：
原式=$\dfrac{2-x}{x-1} ÷ \dfrac{x^2-4}{x-1}=-\dfrac{x-2}{x-1} · \dfrac{x-1}{(x+2)(x-2)}=-\dfrac{1}{x+2}$
【答案】
(1) $\dfrac{2}{a+2}$；(2) $-\dfrac{2}{x+2}$；(3) $m+1$；(4) $-\dfrac{1}{x+2}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式混合运算
【点评】
这组题目是分式化简的典型基础题型，重点考查分式运算法则的应用、因式分解的熟练度以及运算过程中的符号处理，运算时遵循“先变除为乘、再因式分解、最后约分化简”的顺序，避免跳步可有效减少错误。
【难度系数】
0.7
分式乘除及混合运算的解题思路可按以下步骤展开：①运算转换：先将所有除法运算转换为乘法运算，除以一个式子等于乘该式子的倒数；②因式分解：对各分式的分子、分母进行因式分解（常用提公因式法、完全平方公式、平方差公式），若有括号先计算括号内的运算，括号内整式与分式加减时先通分合并；③约分计算：将相同的因式约去，互为相反数的因式可提取负号后再约分；④整理结果：最终得到最简分式或整式。
【解析】
(1) 先对各部分因式分解，再将除法变乘法约分：
原式=$\dfrac{(a-2)^2}{a(a-2)} · \dfrac{2a}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2}{a+2}$
(2) 按从左到右顺序，先变除为乘，再因式分解约分，注意处理符号：
原式=$\dfrac{2(x+3)}{x(x+2)} · \dfrac{1}{x+3} · \dfrac{x(x-2)}{-(x-2)}=-\dfrac{2}{x+2}$
(3) 先计算括号内的分式加法，通分合并后再约分：
原式=$\dfrac{m^2+2m+1}{m} · \dfrac{m}{m+1}=\dfrac{(m+1)^2}{m} · \dfrac{m}{m+1}=m+1$
(4) 先计算括号内的分式减法，通分化简后再变除为乘约分：
原式=$\dfrac{2-x}{x-1} ÷ \dfrac{x^2-4}{x-1}=-\dfrac{x-2}{x-1} · \dfrac{x-1}{(x+2)(x-2)}=-\dfrac{1}{x+2}$
【答案】
(1) $\dfrac{2}{a+2}$；(2) $-\dfrac{2}{x+2}$；(3) $m+1$；(4) $-\dfrac{1}{x+2}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式混合运算
【点评】
这组题目是分式化简的典型基础题型，重点考查分式运算法则的应用、因式分解的熟练度以及运算过程中的符号处理，运算时遵循“先变除为乘、再因式分解、最后约分化简”的顺序，避免跳步可有效减少错误。
【难度系数】
0.7
2.(2025·信阳模拟)先化简,再求值:$( \dfrac{1}{x-1} + 1 ) ÷ \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$,其中$x=3$.
答案
2. 解:原式=$\dfrac{x}{x-1} · \dfrac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x}{x+1}$当$x=3$时,原式=$\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{3}{3+1}=\dfrac{3}{4}$.
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路可分为三步：第一步先计算括号内的加法，将整数1通分为与前面分式同分母的形式，合并得到最简分式；第二步将分式的除法转化为乘法，同时对分子、分母中的多项式进行因式分解，通过约分得到最简的化简结果；第三步将x=3代入化简后的式子计算出最终值。先化简再求值能大幅降低计算量，也能减少计算错误。
【解析】
解：先计算括号内的加法：
$\dfrac{1}{x-1} + 1 = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{x-1}{x-1} = \dfrac{1 + x - 1}{x-1} = \dfrac{x}{x-1}$
再将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解：
根据平方差公式得$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$，根据完全平方公式得$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$
所以原式$= \dfrac{x}{x-1} ÷ \dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} = \dfrac{x}{x-1} · \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}$
约分后得化简结果：$\dfrac{x}{x+1}$
将$x=3$代入化简后的式子：
原式$= \dfrac{3}{3+1} = \dfrac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
1.分式的混合运算 2.因式分解 3.代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，侧重考察分式运算的规则和因式分解的应用，计算时需注意通分、约分的规范性，先化简后代入求值的方法能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简求值题，解题思路可分为三步：第一步先计算括号内的加法，将整数1通分为与前面分式同分母的形式，合并得到最简分式；第二步将分式的除法转化为乘法，同时对分子、分母中的多项式进行因式分解，通过约分得到最简的化简结果；第三步将x=3代入化简后的式子计算出最终值。先化简再求值能大幅降低计算量，也能减少计算错误。
【解析】
解：先计算括号内的加法：
$\dfrac{1}{x-1} + 1 = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{x-1}{x-1} = \dfrac{1 + x - 1}{x-1} = \dfrac{x}{x-1}$
再将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解：
根据平方差公式得$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$，根据完全平方公式得$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$
所以原式$= \dfrac{x}{x-1} ÷ \dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} = \dfrac{x}{x-1} · \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}$
约分后得化简结果：$\dfrac{x}{x+1}$
将$x=3$代入化简后的式子：
原式$= \dfrac{3}{3+1} = \dfrac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
1.分式的混合运算 2.因式分解 3.代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，侧重考察分式运算的规则和因式分解的应用，计算时需注意通分、约分的规范性，先化简后代入求值的方法能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
3.先化简,再求值:$\frac{x-4}{x+3} ÷ (x - 3 - \frac{7}{x+3})$，其中$x=-1$.
答案
3. 解:原式=$\dfrac{x-4}{x+3} ÷ (\dfrac{x^2-9}{x+3}-\dfrac{7}{x+3})=\dfrac{x-4}{x+3} ÷ \dfrac{x^2-16}{x+3}=\dfrac{x-4}{x+3} · \dfrac{x+3}{(x+4)(x-4)}=\dfrac{1}{x+4}$.当$x=-1$时,原式=$\dfrac{1}{x+4}=\dfrac{1}{-1+4}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再代值”的解题原则，思考步骤如下：①先计算括号内的运算：括号内为整式减分式，需将整式通分转化为同分母分式，再做减法运算；②将除法运算转化为乘法运算：除以一个分式等于乘以该分式的倒数；③对分子、分母因式分解后约分，得到最简分式；④将给定的x值代入最简分式计算结果，注意代值时要保证原分式所有分母不为0。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{x-4}{x+3} ÷ (\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}-\dfrac{7}{x+3})\\&=\dfrac{x-4}{x+3} ÷ \dfrac{x^2-9-7}{x+3}\\&=\dfrac{x-4}{x+3} ÷ \dfrac{x^2-16}{x+3}\\&=\dfrac{x-4}{x+3} · \dfrac{x+3}{(x+4)(x-4)}\\&=\dfrac{1}{x+4}\end{aligned}$
再代入$x=-1$求值：
当$x=-1$时，$原式=\dfrac{1}{-1+4}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时要严格遵循分式运算顺序，通分时注意找准最简公分母，约分时要先对多项式正确因式分解，避免符号、因式分解错误，代入数值后计算要仔细。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再代值”的解题原则，思考步骤如下：①先计算括号内的运算：括号内为整式减分式，需将整式通分转化为同分母分式，再做减法运算；②将除法运算转化为乘法运算：除以一个分式等于乘以该分式的倒数；③对分子、分母因式分解后约分，得到最简分式；④将给定的x值代入最简分式计算结果，注意代值时要保证原分式所有分母不为0。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{x-4}{x+3} ÷ (\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}-\dfrac{7}{x+3})\\&=\dfrac{x-4}{x+3} ÷ \dfrac{x^2-9-7}{x+3}\\&=\dfrac{x-4}{x+3} ÷ \dfrac{x^2-16}{x+3}\\&=\dfrac{x-4}{x+3} · \dfrac{x+3}{(x+4)(x-4)}\\&=\dfrac{1}{x+4}\end{aligned}$
再代入$x=-1$求值：
当$x=-1$时，$原式=\dfrac{1}{-1+4}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时要严格遵循分式运算顺序，通分时注意找准最简公分母，约分时要先对多项式正确因式分解，避免符号、因式分解错误，代入数值后计算要仔细。
【难度系数】
0.7
4.先化简,再求值:$\dfrac{a^2 - b^2}{a} ÷ (a - \dfrac{2ab - b^2}{a})$,其中$a=2,b=1.$
答案
4. 解:原式=$\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ \dfrac{a^2-2ab+b^2}{a}=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} · \dfrac{a}{(a-b)^2}=\dfrac{a+b}{a-b}$.当$a=2,b=1$时,原式=$\dfrac{2+1}{2-1}=3$.
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，遵循“先化简、后代值”的解题原则：①先算括号内的运算，将整式a通分为分母为a的分式，与括号内的分式作差，差的分子可利用完全平方公式因式分解；②将分式除法转化为乘法运算，同时把被除数的分子用平方差公式因式分解；③约去分子、分母的公因式得到最简分式；④最后代入a、b的取值计算结果即可，代值前需确认最简分式分母不为0。
【解析】
解：原式=$\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ ( \dfrac{a^2}{a} - \dfrac{2ab - b^2}{a} )$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ \dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a}$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} · \dfrac{a}{(a-b)^2}$
$=\dfrac{a+b}{a-b}$
当$a=2,b=1$时，
原式=$\dfrac{2+1}{2-1}=3$
【答案】
3
【知识点】
1.分式的混合运算 2.因式分解 3.代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题，主要考察分式运算规则和因式分解的熟练程度，计算时要注意通分、约分的规范，避免符号错误，代入数值前需验证分母不为0，本题给出的参数符合要求可直接代入。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值类题目，遵循“先化简、后代值”的解题原则：①先算括号内的运算，将整式a通分为分母为a的分式，与括号内的分式作差，差的分子可利用完全平方公式因式分解；②将分式除法转化为乘法运算，同时把被除数的分子用平方差公式因式分解；③约去分子、分母的公因式得到最简分式；④最后代入a、b的取值计算结果即可，代值前需确认最简分式分母不为0。
【解析】
解：原式=$\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ ( \dfrac{a^2}{a} - \dfrac{2ab - b^2}{a} )$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ \dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a}$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} · \dfrac{a}{(a-b)^2}$
$=\dfrac{a+b}{a-b}$
当$a=2,b=1$时，
原式=$\dfrac{2+1}{2-1}=3$
【答案】
3
【知识点】
1.分式的混合运算 2.因式分解 3.代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题，主要考察分式运算规则和因式分解的熟练程度，计算时要注意通分、约分的规范，避免符号错误，代入数值前需验证分母不为0，本题给出的参数符合要求可直接代入。
【难度系数】
0.8
5. 化简求值：$\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \frac{1}{a^2 -1}$，其中$a^2 -a=0.$
答案
5. 解:原式=$\dfrac{a-1}{a+2} · \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)=(a-2)(a+1)=a^2-a-2$.当$a^2-a=0$时,原式=$0-2=-2$.
解析
【分析】
解决分式化简求值类问题，步骤如下：①先将分式的乘除混合运算统一为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数；②对分子、分母中的多项式利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解；③约去分子分母的公因式，得到最简结果；④观察已知条件的形式，选择整体代入的方法计算结果，同时要注意验证a的取值需保证所有分式的分母不为0。
【解析】
解：先将除法转化为乘法：
原式=$\dfrac{a-1}{a+2} · \dfrac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} · (a^2 -1)$
对各多项式因式分解：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入得：
=$\dfrac{a-1}{a+2} · \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a+2$、$a-1$，得：
=$(a-2)(a+1)$
展开化简为：
=$a^2 -a -2$
根据分式有意义的条件可得：$a+2≠0$，$a-1≠0$，$a+1≠0$，即$a≠-2,±1$。
由$a^2 -a=0$解得$a=0$或$a=1$，故符合条件的$a$满足$a^2 -a=0$，代入化简结果得：
原式=$0-2=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心是掌握分式的运算法则和因式分解的常用公式，利用整体代入的思想可以简化计算过程，解题时需注意隐含的分式有意义的条件，避免代入使分母为0的取值。
【难度系数】
0.7
解决分式化简求值类问题，步骤如下：①先将分式的乘除混合运算统一为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数；②对分子、分母中的多项式利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解；③约去分子分母的公因式，得到最简结果；④观察已知条件的形式，选择整体代入的方法计算结果，同时要注意验证a的取值需保证所有分式的分母不为0。
【解析】
解：先将除法转化为乘法：
原式=$\dfrac{a-1}{a+2} · \dfrac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} · (a^2 -1)$
对各多项式因式分解：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入得：
=$\dfrac{a-1}{a+2} · \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a+2$、$a-1$，得：
=$(a-2)(a+1)$
展开化简为：
=$a^2 -a -2$
根据分式有意义的条件可得：$a+2≠0$，$a-1≠0$，$a+1≠0$，即$a≠-2,±1$。
由$a^2 -a=0$解得$a=0$或$a=1$，故符合条件的$a$满足$a^2 -a=0$，代入化简结果得：
原式=$0-2=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心是掌握分式的运算法则和因式分解的常用公式，利用整体代入的思想可以简化计算过程，解题时需注意隐含的分式有意义的条件，避免代入使分母为0的取值。
【难度系数】
0.7
