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6. 先化简,再求值:$(\dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y})÷\dfrac{x}{x^2-y^2}$,其中$x,y$满足$2x+y-3=0$.
答案
6. 解:原式=$\dfrac{2x(2x+y)}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{(x+y)(x-y)}{x}=2(2x+y)=4x+2y∵2x+y-3=0,∴2x+y=3$.当$2x+y=3$时,原式=$4x+2y=2(2x+y)=2×3=6$.
解析
【分析】
本题为分式化简求值题，解题可分两步进行：第一步先化简分式，第二步代入求值。化简时首先处理括号内的分式加法，先确定两个分式的最简公分母为(x+y)(x-y)，通分后合并分子；再将除法运算转化为乘法运算，同时利用平方差公式把x²-y²分解为(x+y)(x-y)，约分后即可得到最简结果。代入求值时，观察已知条件可变形为2x+y=3，而化简后的式子可整理为含2x+y的形式，因此采用整体代入法计算即可，无需单独求解x、y的具体数值。
【解析】
先对原式进行化简：
1. 通分计算括号内的加法：
括号内两个分式的最简公分母为$(x+y)(x-y)$，因此
$\dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{3x(x+y)+x(x-y)}{(x+y)(x-y)}$
展开合并分子：
$3x(x+y)+x(x-y)=3x^2+3xy+x^2-xy=4x^2+2xy=2x(2x+y)$
因此括号内化简为$\dfrac{2x(2x+y)}{(x+y)(x-y)}$
2. 将除法转化为乘法：
除以$\dfrac{x}{x^2-y^2}$等于乘以它的倒数$\dfrac{x^2-y^2}{x}$，同时由平方差公式得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，因此
原式=$\dfrac{2x(2x+y)}{(x+y)(x-y)} × \dfrac{(x+y)(x-y)}{x}$
3. 约分：
约去分子分母共有的$(x+y)(x-y)$和$x$，得
原式=$2(2x+y)=4x+2y$
4. 整体代入求值：
由$2x+y-3=0$，可得$2x+y=3$，代入化简后的式子：
原式=$2×(2x+y)=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
分式的混合运算，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题是典型的分式化简求值类题目，核心考查分式运算的基本法则和整体代入的数学思想，解题时要注意通分、约分的正确性，将除法转化为乘法时需颠倒除式的分子分母，利用整体代入的方法可避免求解单个未知数，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题为分式化简求值题，解题可分两步进行：第一步先化简分式，第二步代入求值。化简时首先处理括号内的分式加法，先确定两个分式的最简公分母为(x+y)(x-y)，通分后合并分子；再将除法运算转化为乘法运算，同时利用平方差公式把x²-y²分解为(x+y)(x-y)，约分后即可得到最简结果。代入求值时，观察已知条件可变形为2x+y=3，而化简后的式子可整理为含2x+y的形式，因此采用整体代入法计算即可，无需单独求解x、y的具体数值。
【解析】
先对原式进行化简：
1. 通分计算括号内的加法：
括号内两个分式的最简公分母为$(x+y)(x-y)$，因此
$\dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{3x(x+y)+x(x-y)}{(x+y)(x-y)}$
展开合并分子：
$3x(x+y)+x(x-y)=3x^2+3xy+x^2-xy=4x^2+2xy=2x(2x+y)$
因此括号内化简为$\dfrac{2x(2x+y)}{(x+y)(x-y)}$
2. 将除法转化为乘法：
除以$\dfrac{x}{x^2-y^2}$等于乘以它的倒数$\dfrac{x^2-y^2}{x}$，同时由平方差公式得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，因此
原式=$\dfrac{2x(2x+y)}{(x+y)(x-y)} × \dfrac{(x+y)(x-y)}{x}$
3. 约分：
约去分子分母共有的$(x+y)(x-y)$和$x$，得
原式=$2(2x+y)=4x+2y$
4. 整体代入求值：
由$2x+y-3=0$，可得$2x+y=3$，代入化简后的式子：
原式=$2×(2x+y)=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
分式的混合运算，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题是典型的分式化简求值类题目，核心考查分式运算的基本法则和整体代入的数学思想，解题时要注意通分、约分的正确性，将除法转化为乘法时需颠倒除式的分子分母，利用整体代入的方法可避免求解单个未知数，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
7.先化简$\frac{k^2 -16}{k^2 -4k} ÷ \frac{k^2 +8k +16}{2k} + \frac{k}{k+4}$，然后从$-2,0,2,4$选择一个合适的数代入求值.
答案
7. 解:原式=$\dfrac{(k-4)(k+4)}{k(k-4)} ÷ \dfrac{(k+4)^2}{2k} + \dfrac{k}{k+4}=\dfrac{2+k}{k+4}$要使代数式$\dfrac{k^2-16}{k^2-4k} ÷ \dfrac{k^2+8k+16}{2k} + \dfrac{k}{k+4}$有意义,则$k-4≠0$且$k+4≠0$且$k≠0$,即$k$不能为$4,-4,0$.当$k=2$时,原式=$\dfrac{2+k}{k+4}=\dfrac{2}{3}$;当$k=-2$时,原式=$\dfrac{2+k}{k+4}=\dfrac{-2+2}{-2+4}=0$.
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：①先处理分式的除法运算，根据分式除法法则，将除法转化为乘法，再对各个分式的分子、分母进行因式分解，约分后再计算加法，完成化简；②根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0），排除题目给定的数中不符合要求的取值；③选择合适的数值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
第一步，化简原式：
先对各分式因式分解：
$k^2-16=(k-4)(k+4)$，$k^2-4k=k(k-4)$，$k^2+8k+16=(k+4)^2$，因此：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(k-4)(k+4)}{k(k-4)} ÷ \frac{(k+4)^2}{2k} + \frac{k}{k+4}\\&=\frac{(k-4)(k+4)}{k(k-4)} × \frac{2k}{(k+4)^2} + \frac{k}{k+4}\\&=\frac{2}{k+4} + \frac{k}{k+4}\\&=\frac{k+2}{k+4}\end{aligned}$
第二步，确定可代入的$k$值：
要使原式有意义，则所有分母、除式均不为0，即$k(k-4)≠0$，$2k≠0$，$(k+4)^2≠0$，$k+4≠0$，解得$k≠0$，$k≠4$，$k≠-4$。结合给定的数$-2,0,2,4$，可选择$k=2$或$k=-2$代入。
第三步，代入求值：
当$k=2$时，原式$=\frac{2+2}{2+4}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；
当$k=-2$时，原式$=\frac{-2+2}{-2+4}=\frac{0}{2}=0$。
【答案】
化简结果为$\frac{k+2}{k+4}$；当$k=2$时值为$\frac{2}{3}$，当$k=-2$时值为$0$（任选其一即可）
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题的易错点是忽略分式有意义的条件，直接代入使分母为0的数值，计算过程中要熟练运用因式分解对分式进行约分，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：①先处理分式的除法运算，根据分式除法法则，将除法转化为乘法，再对各个分式的分子、分母进行因式分解，约分后再计算加法，完成化简；②根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0），排除题目给定的数中不符合要求的取值；③选择合适的数值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
第一步，化简原式：
先对各分式因式分解：
$k^2-16=(k-4)(k+4)$，$k^2-4k=k(k-4)$，$k^2+8k+16=(k+4)^2$，因此：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(k-4)(k+4)}{k(k-4)} ÷ \frac{(k+4)^2}{2k} + \frac{k}{k+4}\\&=\frac{(k-4)(k+4)}{k(k-4)} × \frac{2k}{(k+4)^2} + \frac{k}{k+4}\\&=\frac{2}{k+4} + \frac{k}{k+4}\\&=\frac{k+2}{k+4}\end{aligned}$
第二步，确定可代入的$k$值：
要使原式有意义，则所有分母、除式均不为0，即$k(k-4)≠0$，$2k≠0$，$(k+4)^2≠0$，$k+4≠0$，解得$k≠0$，$k≠4$，$k≠-4$。结合给定的数$-2,0,2,4$，可选择$k=2$或$k=-2$代入。
第三步，代入求值：
当$k=2$时，原式$=\frac{2+2}{2+4}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；
当$k=-2$时，原式$=\frac{-2+2}{-2+4}=\frac{0}{2}=0$。
【答案】
化简结果为$\frac{k+2}{k+4}$；当$k=2$时值为$\frac{2}{3}$，当$k=-2$时值为$0$（任选其一即可）
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题的易错点是忽略分式有意义的条件，直接代入使分母为0的数值，计算过程中要熟练运用因式分解对分式进行约分，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
8. 先化简,再求值:$\frac{b^2}{a^2 - ab} ÷ ( \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{a}{b - a} )$,其中$a,b$满足$|a - 2| + (b - 3)^2 = 0$.
答案
8. 解:原式=$\dfrac{b^2}{a(a-b)} ÷ (\dfrac{a+b}{a-b}-\dfrac{a}{a-b})=\dfrac{b^2}{a(a-b)} · \dfrac{a-b}{b}=\dfrac{b}{a}.∵|a-2|+(b-3)^2=0,∴a=2,b=3$.当$a=2,b=3$时,原式=$\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
解题分为两大步骤：第一步先化简分式，遵循分式混合运算顺序，先计算括号内的部分：先对括号内分式的分子、分母因式分解，将第二个分式的分母$b-a$变形为$-(a-b)$统一分母，再计算同分母分式的加减；之后将除法运算转化为乘法运算，约分得到最简结果。第二步利用非负数的性质求解参数：绝对值和偶次幂都是非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此求出$a$、$b$的值，代入最简式计算即可得到最终结果。
【解析】
先化简原式：
1. 对各分式的分子、分母因式分解：
原式$=\dfrac{b^2}{a(a-b)} ÷ ( \dfrac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2} + \dfrac{a}{b-a} )$
2. 统一括号内的分母并计算：
第一个分式约分得$\dfrac{a+b}{a-b}$，第二个分式变形为$\dfrac{a}{b-a}=-\dfrac{a}{a-b}$，因此括号内可化简为：
$\dfrac{a+b}{a-b} - \dfrac{a}{a-b} = \dfrac{a+b - a}{a-b} = \dfrac{b}{a-b}$
3. 除法转乘法并约分：
原式$=\dfrac{b^2}{a(a-b)} · \dfrac{a-b}{b} = \dfrac{b}{a}$
4. 求$a$、$b$的值：
$\because |a-2|≥0$，$(b-3)^2≥0$，且$|a - 2| + (b - 3)^2 = 0$
$\therefore a-2=0$，$b-3=0$，解得$a=2$，$b=3$
5. 代入求值：
把$a=2$，$b=3$代入$\dfrac{b}{a}$，得原式$=\dfrac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，非负数的性质，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，综合考查了分式运算规则、因式分解的应用以及非负数的性质，解题时需注意分母变形时的符号变化，约分要彻底，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
解题分为两大步骤：第一步先化简分式，遵循分式混合运算顺序，先计算括号内的部分：先对括号内分式的分子、分母因式分解，将第二个分式的分母$b-a$变形为$-(a-b)$统一分母，再计算同分母分式的加减；之后将除法运算转化为乘法运算，约分得到最简结果。第二步利用非负数的性质求解参数：绝对值和偶次幂都是非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此求出$a$、$b$的值，代入最简式计算即可得到最终结果。
【解析】
先化简原式：
1. 对各分式的分子、分母因式分解：
原式$=\dfrac{b^2}{a(a-b)} ÷ ( \dfrac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2} + \dfrac{a}{b-a} )$
2. 统一括号内的分母并计算：
第一个分式约分得$\dfrac{a+b}{a-b}$，第二个分式变形为$\dfrac{a}{b-a}=-\dfrac{a}{a-b}$，因此括号内可化简为：
$\dfrac{a+b}{a-b} - \dfrac{a}{a-b} = \dfrac{a+b - a}{a-b} = \dfrac{b}{a-b}$
3. 除法转乘法并约分：
原式$=\dfrac{b^2}{a(a-b)} · \dfrac{a-b}{b} = \dfrac{b}{a}$
4. 求$a$、$b$的值：
$\because |a-2|≥0$，$(b-3)^2≥0$，且$|a - 2| + (b - 3)^2 = 0$
$\therefore a-2=0$，$b-3=0$，解得$a=2$，$b=3$
5. 代入求值：
把$a=2$，$b=3$代入$\dfrac{b}{a}$，得原式$=\dfrac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，非负数的性质，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，综合考查了分式运算规则、因式分解的应用以及非负数的性质，解题时需注意分母变形时的符号变化，约分要彻底，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
9.先化简,再求值:$\frac{3a}{a^2 - 4} · (1 - \frac{2}{a}) - \frac{4}{a + 2}$,其中$a$为不等式$3(a+1)-5＜4$的最大整数解.
答案
9. 解:原式=$\dfrac{3a}{(a+2)(a-2)} · \dfrac{a-2}{a}-\dfrac{4}{a}=\dfrac{3}{a+2}-\dfrac{4}{a+2}=-\dfrac{1}{a+2}$.解不等式$3(a+1)-5＜4$,得$a＜2.∵a$为不等式的最大整数解,$∴a=1$.当$a=1$时,原式$=-\dfrac{1}{a+2}=-\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题属于分式化简与不等式结合的综合题，解题思路分为两步：①先化简分式：先利用平方差公式对第一个分式的分母因式分解，再计算括号内的减法，接着计算分式乘法，约分后再计算同分母分式的减法得到最简结果；②再解一元一次不等式，找到不等式的最大整数解，验证该整数解使原分式所有分母不为0后，代入最简式计算结果即可。
【解析】
步骤1：化简分式
首先对第一个分式的分母因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，再计算括号内的运算：$1-\frac{2}{a}=\frac{a-2}{a}$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3a}{(a+2)(a-2)} · \frac{a-2}{a} - \frac{4}{a+2}\\&=\frac{3}{a+2} - \frac{4}{a+2}\\&=\frac{3-4}{a+2}\\&=-\frac{1}{a+2}\end{aligned}$
步骤2：求a的取值
解不等式$3(a+1)-5＜4$：
去括号得：$3a+3-5＜4$
移项合并同类项得：$3a＜6$
系数化为1得：$a＜2$
∵a为不等式的最大整数解，且$a=1$时原分式所有分母均不为0，符合分式有意义的条件，
∴$a=1$。
步骤3：代入求值
将$a=1$代入$-\frac{1}{a+2}$得：
$\mathrm{原式}=-\frac{1}{1+2}=-\frac{1}{3}$
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 分式化简求值
2. 解一元一次不等式
3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式运算与不等式的基础综合题，核心考查运算能力，解题时需注意遵循分式运算顺序，约分要准确，同时要确认所求的整数解满足分式分母不为0的隐含要求，避免代入无意义的数值。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简与不等式结合的综合题，解题思路分为两步：①先化简分式：先利用平方差公式对第一个分式的分母因式分解，再计算括号内的减法，接着计算分式乘法，约分后再计算同分母分式的减法得到最简结果；②再解一元一次不等式，找到不等式的最大整数解，验证该整数解使原分式所有分母不为0后，代入最简式计算结果即可。
【解析】
步骤1：化简分式
首先对第一个分式的分母因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，再计算括号内的运算：$1-\frac{2}{a}=\frac{a-2}{a}$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3a}{(a+2)(a-2)} · \frac{a-2}{a} - \frac{4}{a+2}\\&=\frac{3}{a+2} - \frac{4}{a+2}\\&=\frac{3-4}{a+2}\\&=-\frac{1}{a+2}\end{aligned}$
步骤2：求a的取值
解不等式$3(a+1)-5＜4$：
去括号得：$3a+3-5＜4$
移项合并同类项得：$3a＜6$
系数化为1得：$a＜2$
∵a为不等式的最大整数解，且$a=1$时原分式所有分母均不为0，符合分式有意义的条件，
∴$a=1$。
步骤3：代入求值
将$a=1$代入$-\frac{1}{a+2}$得：
$\mathrm{原式}=-\frac{1}{1+2}=-\frac{1}{3}$
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 分式化简求值
2. 解一元一次不等式
3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式运算与不等式的基础综合题，核心考查运算能力，解题时需注意遵循分式运算顺序，约分要准确，同时要确认所求的整数解满足分式分母不为0的隐含要求，避免代入无意义的数值。
【难度系数】
0.7
10. 先化简，再求值：$\frac{x-1}{x-2} · \frac{x^2 -4}{x^2 -1} - \frac{3}{x+1}$，其中$x$是不等式组$\begin{cases} x+1 ＞ -1, \\ 2x -1 ＜ 3 \end{cases}$的整数解。
答案
10. 解:原式=$\dfrac{x-1}{x-2} · \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-1)}-\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{x+2}{x+1}-\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{x-1}{x+1}$.解不等式组$\begin{cases} x+1＞-1, \\ 2x-1＜3. \end{cases}$得$-2＜x＜2$.$∵-2＜x＜2$的整数解有$-1,0,1$,又$∵x≠±1,∴x=0$.当$x=0$时,原式=$\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{0-1}{0+1}=-1$.
解析
【分析】
这是分式化简求值结合不等式组整数解的综合题，解题思路可分为三步：第一步先化简分式，先对可因式分解的分子、分母因式分解，再按照分式运算法则先算乘法、约分，再计算减法得到最简结果；第二步解一元一次不等式组，求出x的取值范围，找出范围内的整数解；第三步结合分式有意义（分母不为0）的条件，排除会使原式分母为0的整数解，最后将符合条件的x代入最简式计算结果即可。
【解析】
步骤1：化简分式
对原式中可因式分解的部分变形：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x-1}{x-2} · \frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-1)} - \frac{3}{x+1}\\&=\frac{x+2}{x+1} - \frac{3}{x+1}\\&=\frac{x+2-3}{x+1}\\&=\frac{x-1}{x+1}\end{aligned}$
步骤2：解不等式组求整数解
解不等式$x+1 ＞ -1$，得$x ＞ -2$；
解不等式$2x-1 ＜ 3$，移项得$2x ＜ 4$，解得$x ＜ 2$；
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ＜ 2$，范围内的整数解为$-1,0,1$。
步骤3：确定符合条件的x并代入求值
分式有意义的条件是分母不为0，因此$x-2≠0$，$x+1≠0$，$x^2-1≠0$，即$x≠2$且$x≠±1$，排除$x=-1$、$x=1$，得符合条件的$x=0$。
将$x=0$代入$\frac{x-1}{x+1}$得：$\frac{0-1}{0+1}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式化简求值，一元一次不等式组的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式运算与不等式组的综合题，核心是熟练掌握分式运算法则和不等式组求解方法，易错点是容易忽略分式分母不为0的限制，直接代入不符合条件的整数解导致错误，解题时要先确定未知数的可取值范围再代入计算。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值结合不等式组整数解的综合题，解题思路可分为三步：第一步先化简分式，先对可因式分解的分子、分母因式分解，再按照分式运算法则先算乘法、约分，再计算减法得到最简结果；第二步解一元一次不等式组，求出x的取值范围，找出范围内的整数解；第三步结合分式有意义（分母不为0）的条件，排除会使原式分母为0的整数解，最后将符合条件的x代入最简式计算结果即可。
【解析】
步骤1：化简分式
对原式中可因式分解的部分变形：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x-1}{x-2} · \frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-1)} - \frac{3}{x+1}\\&=\frac{x+2}{x+1} - \frac{3}{x+1}\\&=\frac{x+2-3}{x+1}\\&=\frac{x-1}{x+1}\end{aligned}$
步骤2：解不等式组求整数解
解不等式$x+1 ＞ -1$，得$x ＞ -2$；
解不等式$2x-1 ＜ 3$，移项得$2x ＜ 4$，解得$x ＜ 2$；
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ＜ 2$，范围内的整数解为$-1,0,1$。
步骤3：确定符合条件的x并代入求值
分式有意义的条件是分母不为0，因此$x-2≠0$，$x+1≠0$，$x^2-1≠0$，即$x≠2$且$x≠±1$，排除$x=-1$、$x=1$，得符合条件的$x=0$。
将$x=0$代入$\frac{x-1}{x+1}$得：$\frac{0-1}{0+1}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式化简求值，一元一次不等式组的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式运算与不等式组的综合题，核心是熟练掌握分式运算法则和不等式组求解方法，易错点是容易忽略分式分母不为0的限制，直接代入不符合条件的整数解导致错误，解题时要先确定未知数的可取值范围再代入计算。
【难度系数】
0.7
