知识储备
1. 三角形的一边与另一边的 组成的角，叫三角形的外角。
2. 三角形的外角等于与它 的两个内角的 。
3. 三角形的外角和是 。

1. 延长线
2. 不相邻 和
3. 360°

【分析】
本题为三角形外角相关的基础概念填空题，解题时可直接回忆对应知识点逐一填写：首先回忆三角形外角的定义匹配第1题，再回忆三角形外角的性质匹配第2题，最后回忆三角形外角和定理匹配第3题即可。
【解析】
1. 根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角，因此第一空填“延长线”。
2. 根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此第二、三空依次填“不相邻”、“和”。
3. 根据三角形外角和定理：任意三角形的外角和为360°，因此第四空填“360°”。
【答案】
1. 延长线
2. 不相邻；和
3. 360°
【知识点】
三角形外角的定义；三角形外角的性质；三角形外角和定理
【点评】
本题属于基础概念考察题，侧重对基础知识点的识记，难度较低，熟练掌握三角形外角相关的基础概念、性质和定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9

1.【概念辨析】如图，$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ 3$中是$△ ABC$外角的是（）

A.$∠ 1$，$∠ 2$
B.$∠ 2$，$∠ 3$
C.$∠ 1$，$∠ 3$
D.$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ 3$

C

【分析】
解题时首先回忆三角形外角的定义：三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角，需满足三个特征：①顶点是三角形的一个顶点；②其中一边是三角形的边；③另一边是三角形相邻边的延长线。接下来按照这三个特征逐个判断∠1、∠2、∠3是否符合即可。
【解析】
根据三角形外角的定义逐一判断：
1. 对于∠1：顶点是△ABC的顶点C，一边是△ABC的边AC，另一边是△ABC的边BC的延长线，满足外角的特征，属于△ABC的外角；
2. 对于∠2：顶点是C，但两边分别是BC的延长线和AC的延长线，没有边属于△ABC的边，不满足外角的特征，不属于△ABC的外角；
3. 对于∠3：顶点是△ABC的顶点C，一边是△ABC的边BC，另一边是△ABC的边AC的延长线，满足外角的特征，属于△ABC的外角。
因此属于△ABC外角的是∠1、∠3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，核心考查对三角形外角定义的理解，只要准确把握外角的三个判断特征，就能快速选出答案，避免仅通过位置在“三角形外”就盲目判断。
【难度系数】
0.8

2. (1)【新中考·跨体育学科】体育课上小华的侧压腿动作(如图①)可抽象为几何图形(如图②),如果$∠ 1=110°$,那么$∠ 2$的度数为 ()
A. $30°$ B. $25°$ C. $20°$ D. $10°$

第2(1)题图 第2(2)题图
(2)【T2(1)变式】如图,$AB// CD$,$∠ A=65°$,$∠ E=38°$,则$∠ C$的度数是.

(1) $\boldsymbol{C}$；(2) $\boldsymbol{27°}$

【分析】
(1) 解题思路：首先观察抽象后的几何图形，∠1和三角形的一个内角互为邻补角，先根据邻补角和为180°求出该内角的度数；再结合图形隐含的直角条件，利用三角形内角和为180°即可计算出∠2的度数。
(2) 解题思路：先设AE与CD的交点为O，根据平行线的性质求出与∠A相等的同位角∠DOE的度数，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，作差即可求出∠C的度数。
【解析】
(1) 解：
∵∠1与三角形的一个内角互为邻补角
∴该内角的度数为$180°-∠1=180°-110°=70°$
结合图形可知该三角形为直角三角形，存在一个90°的内角
根据三角形内角和为180°可得：
$∠2=180°-90°-70°=20°$，故选C。
(2) 解：设AE与CD交于点O
∵$AB// CD$，$∠ A=65°$
∴$∠ DOE=∠ A=65°$（两直线平行，同位角相等）
∵$∠ DOE$是$△ COE$的外角
∴$∠ DOE=∠ C+∠ E$
已知$∠ E=38°$，代入得：
$∠ C=∠ DOE-∠ E=65°-38°=27°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{C}$；(2) $\boldsymbol{27°}$
【知识点】
邻补角性质；三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
两道题分别结合生活场景和基础几何模型出题，侧重考查基础几何定理的实际应用能力，解题核心是准确梳理不同角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8

3.【教材P16练习图5变式】如图，在△ABC中，D是AB上一点.连接CD.则∠1，∠2，∠3的大小关系是（）

A.∠1＜∠2＜∠3
B.∠1＜∠3＜∠2
C.∠3＜∠2＜∠1
D.∠2＜∠1＜∠3

D

【分析】
要比较三个角的大小，可利用三角形外角的性质解题：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。首先判断每个角分别是哪个三角形的外角，再依次比较大小即可：第一步先判断∠1是△BCD的外角，推导∠1和∠2的大小关系；第二步判断∠3是△ACD的外角，推导∠3和∠1的大小关系，最后整合三者的大小关系。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
1. ∠1是△BCD的外角，∠2是和∠1不相邻的内角，因此$∠ 1 ＞ ∠ 2$；
2. ∠3是△ACD的外角，∠1是和∠3不相邻的内角，因此$∠ 3 ＞ ∠ 1$；
结合两个结论可得：$∠ 2 ＜ ∠ 1 ＜ ∠ 3$。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题，解题关键是准确识别每个角对应的外角身份，结合性质即可快速比较角的大小。
【难度系数】
0.8

4.如图，D是△ABC边BC延长线上的一点，DF交AC于点E，∠A=35°，∠ACD=83°.
(1)求∠B的度数；
(2)若∠D=42°，则∠AFE的度数是.

$\boldsymbol{90°}$

【分析】
(1) 求∠B的度数时，观察到∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知∠A和∠ACD的度数，直接作差即可求出∠B。
(2) 求∠AFE的度数时，先利用对顶角相等得到∠AEF=∠DEC，再在△DEC中利用三角形内角和为180°求出∠DEC的度数，最后在△AEF中用内角和定理计算∠AFE即可。
【解析】
(1)
∵∠ACD是△ABC的外角，由三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
已知$∠ A=35°$，$∠ ACD=83°$，代入得：
$∠ B = ∠ ACD - ∠ A = 83° - 35° = 48°$
(2) 在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ DEC = 180° - ∠ D - ∠ ACD = 180° - 42° - 83° = 55°$
∵∠AEF与∠DEC是对顶角，
∴$∠ AEF = ∠ DEC = 55°$
在$△ AEF$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AFE = 180° - ∠ A - ∠ AEF = 180° - 35° - 55° = 90°$
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
三角形外角性质、三角形内角和定理、对顶角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，重点考查三角形相关性质的直接应用，解题时要准确识别外角、对顶角等特殊角的关系，熟练运用内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.【性质辨析】下列说法正确的是 （）

A.三角形的外角大于它的内角
B.三角形的外角等于它的两个内角的和
C.三角形的内角小于与它相邻的外角
D.若三角形有一个外角是锐角，则此三角形是钝角三角形
02 综合练 关键能力提升

D

【分析】
本题考查三角形外角性质的辨析，解题时需先回忆三角形外角的定义及相关性质，再对每个选项逐一验证：错误选项可通过举反例排除，正确选项要结合性质推导确认，注意性质里“不相邻”这个关键限定条件，避免概念混淆。
【解析】
结合三角形外角的性质逐个判断选项：
A. 三角形的外角大于与它不相邻的内角，而非所有内角，例如钝角三角形中钝角的外角是锐角，小于该钝角内角，故A错误；
B. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，选项缺少“不相邻”的限定，故B错误；
C. 当三角形的内角为钝角时，与它相邻的外角是锐角，此时内角大于相邻外角；当内角为直角时，与它相邻的外角是直角，二者相等，故C错误；
D. 若三角形有一个外角是锐角，根据邻补角的性质，与该外角相邻的内角度数为$180° - \mathrm{锐角} ＞ 90°$，即该三角形有一个钝角，因此是钝角三角形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质；三角形的分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对三角形外角性质的准确掌握，记忆性质时要特别注意“不相邻”的限定，避免因概念表述疏漏出错。
【难度系数】
0.7

6. 一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（）


A.80°
B.95°
C.100°
D.110°

6. B

【分析】
解题时首先明确三角板的固定角度，本题用到45°和30°两个特殊角。要求∠2的度数，可先利用三角形内角和定理，求出∠1与45°角所在小三角形的第三个内角度数，再结合对顶角相等和三角形内角和定理，即可推导得到∠2的度数。
【解析】
在包含∠1和45°角的小三角形中，根据三角形内角和为180°，可得第三个内角的度数为：
$180° - ∠1 - 45° = 180° - 80° - 45° = 55°$
在包含30°角和上述55°角的小三角形中，再次运用三角形内角和为180°，可得第三个内角的度数为：
$180° - 30° - 55° = 95°$
因为该角与∠2是对顶角，根据对顶角相等，可得$∠2 = 95°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、对顶角的性质
【点评】
本题结合三角板的摆放考查角度计算，解题的核心是理清图形中各个角的位置关系，熟练运用三角形内角和与对顶角的性质即可求解。
【难度系数】
0.7

7.(1)【教材P15例4变式】如图,在$△ ABC$中,延长AB至点D,延长BC至点E.如果$∠1+∠2=230°$,那么$∠ A=$.

第7(1)题图
(2)【T7(1)变式】如图,$∠3=120°$,则$∠1-∠2=$.

第7(2)题图

7.(1) 50°
7.(2) 60°

【分析】
(1) 解题思路：观察可得∠1、∠2是△ABC的两个外角，可利用三角形外角的性质，将∠1和∠2用△ABC的内角表示，再结合三角形内角和为180°的结论，代入已知的∠1+∠2=230°，即可求出∠A的度数。
(2) 解题思路：先根据邻补角的和为180°求出∠3的邻补角的度数，再利用三角形外角的性质，建立∠1和∠2的等量关系，移项后即可求出∠1-∠2的值。
【解析】
(1) 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ 1 = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ 2 = ∠ A + ∠ ABC$
两式相加得：$∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ A + ∠ ACB + ∠ ABC$
∵ 在$△ ABC$中，由内角和定理得$∠ ACB + ∠ ABC + ∠ A = 180°$，即$∠ ACB + ∠ ABC = 180° - ∠ A$
代入上式化简得：$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ A + 180°$
已知$∠ 1 + ∠ 2 = 230°$，因此$∠ A = 230° - 180° = 50°$
(2) 设$∠ 3$的邻补角为$∠ 4$，由邻补角性质得$∠ 3 + ∠ 4 = 180°$
已知$∠ 3=120°$，因此$∠ 4 = 180° - 120° = 60°$
根据三角形外角的性质，$∠ 1$是对应三角形的外角，可得$∠ 1 = ∠ 2 + ∠ 4$
移项得：$∠ 1 - ∠ 2 = ∠ 4 = 60°$
【答案】
(1) $50°$；(2) $60°$
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
这两道题是三角形角度计算的基础题，解题核心是准确识别外角与不相邻内角的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速求解，也可通过邻补角结合内角和的方法计算，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8

8.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=40°$,$△ ABC$的外角$∠ CBD$的平分线$BE$交$AC$的延长线于点$E$.
(1)则$∠ CBE=$$°$;
(2)过点$D$作$DF// BE$,交$AC$的延长线于点$F$,求$∠ F$的度数.

03 素养练
学科素养培育

8.(1) 65
(2) $\because ∠ACB=90°,∠CBE=65°,∴∠CEB=∠ACB-∠CBE=90°-65°=25°. ∵DF// BE,∴∠F=∠CEB=25°.$

【分析】
(1) 先利用三角形内角和定理求出$△ ABC$的内角$∠ ABC$的度数，再根据邻补角的定义求出外角$∠ CBD$的度数，最后结合角平分线的定义就能算出$∠ CBE$的度数。
(2) 首先在$\mathrm{Rt}△CBE$中，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ CEB$的度数，再根据平行线的性质，即可得出$∠ F$和$∠ CEB$相等，从而求出$∠ F$的度数。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC=180°-∠ ACB-∠ A=180°-90°-40°=50°$
$∠ CBD$是$∠ ABC$的邻补角，因此：
$∠ CBD=180°-∠ ABC=180°-50°=130°$
$\because BE$平分$∠ CBD$
$\therefore ∠ CBE=\frac{1}{2}∠ CBD=\frac{1}{2}×130°=65°$
(2) $\because ∠ ACB=90°$，即$∠ ECB=90°$，在$\mathrm{Rt}△CBE$中：
$∠ CEB=90°-∠ CBE=90°-65°=25°$
$\because DF// BE$，根据“两直线平行，同位角相等”可得：
$\therefore ∠ F=∠ CEB=25°$
【答案】
(1) $\boxed{65}$；(2) $\boxed{25°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，综合考查了三角形角度关系和平行线的性质，解题的核心是理清各个角度之间的和差、位置关系，熟练运用基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8