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9.【教材P17习题T11改编】一材多题
如图①，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)求证：$∠ E=\dfrac{1}{2}(∠ BAC-∠ B)$；
(2)如图②，若AF平分$∠ BAC$，$∠ ECD=60°$，$∠ E=24°$，则$∠ AFC$的度数是
如图①，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)求证：$∠ E=\dfrac{1}{2}(∠ BAC-∠ B)$；
(2)如图②，若AF平分$∠ BAC$，$∠ ECD=60°$，$∠ E=24°$，则$∠ AFC$的度数是
78°
.答案
9.(1) 证明: $\because CE$平分$∠ACD,∴∠ACE=∠DCE. ∵∠DCE=∠B+∠E,∴∠ACE=∠B+∠E. ∵∠BAC=∠ACE+∠E,∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E. ∴∠E=\frac{1}{2}(∠BAC-∠B).$
9.(2) 78°
9.(2) 78°
解析
【分析】
(1) 要证明∠E与∠BAC、∠B的数量关系，可结合角平分线性质和三角形外角性质推导：首先由CE平分∠ACD得∠ACE=∠DCE；再利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”，分别将∠DCE、∠BAC用含∠B、∠E的式子表示，整理等式即可得到要证的结论。
(2) 求∠AFC的度数时，先根据三角形外角性质，由∠ECD和∠E的度数求出∠B；再结合CE平分∠ACD求出∠ACD的度数，再次利用外角性质求出∠BAC；之后由AF平分∠BAC求出∠BAF的度数，最后将∠AFC看作△ABF的外角，利用外角性质计算即可得到结果，也可直接用第(1)问的结论简化计算。
【解析】
(1) 证明：
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ACE=∠DCE。
∵ ∠DCE是△BCE的外角，
∴ ∠DCE=∠B+∠E，
∴ ∠ACE=∠B+∠E。
∵ ∠BAC是△ACE的外角，
∴ ∠BAC=∠ACE+∠E，
代入∠ACE=∠B+∠E可得：∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E，
整理得：$∠E=\dfrac{1}{2}(∠BAC-∠B)$，得证。
(2) 解：
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD=∠B+∠E，
已知∠ECD=60°，∠E=24°，
∴ ∠B=∠ECD-∠E=60°-24°=36°。
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ACD=2∠ECD=120°。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD=∠B+∠BAC，
∴ ∠BAC=∠ACD-∠B=120°-36°=84°。
∵ AF平分∠BAC，
∴ ∠BAF=$\dfrac{1}{2}∠BAC=42°$。
∵ ∠AFC是△ABF的外角，
∴ ∠AFC=∠B+∠BAF=36°+42°=78°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{78°}$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题是三角形角度运算的典型综合题，考查角平分线性质与三角形外角性质的结合应用，解题的关键是找准外角对应的两个不相邻内角，通过等量代换完成推导，第(2)问可直接应用第(1)问的结论快速求解，简化运算步骤。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明∠E与∠BAC、∠B的数量关系，可结合角平分线性质和三角形外角性质推导：首先由CE平分∠ACD得∠ACE=∠DCE；再利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”，分别将∠DCE、∠BAC用含∠B、∠E的式子表示，整理等式即可得到要证的结论。
(2) 求∠AFC的度数时，先根据三角形外角性质，由∠ECD和∠E的度数求出∠B；再结合CE平分∠ACD求出∠ACD的度数，再次利用外角性质求出∠BAC；之后由AF平分∠BAC求出∠BAF的度数，最后将∠AFC看作△ABF的外角，利用外角性质计算即可得到结果，也可直接用第(1)问的结论简化计算。
【解析】
(1) 证明：
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ACE=∠DCE。
∵ ∠DCE是△BCE的外角，
∴ ∠DCE=∠B+∠E，
∴ ∠ACE=∠B+∠E。
∵ ∠BAC是△ACE的外角，
∴ ∠BAC=∠ACE+∠E，
代入∠ACE=∠B+∠E可得：∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E，
整理得：$∠E=\dfrac{1}{2}(∠BAC-∠B)$，得证。
(2) 解：
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD=∠B+∠E，
已知∠ECD=60°，∠E=24°，
∴ ∠B=∠ECD-∠E=60°-24°=36°。
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ACD=2∠ECD=120°。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD=∠B+∠BAC，
∴ ∠BAC=∠ACD-∠B=120°-36°=84°。
∵ AF平分∠BAC，
∴ ∠BAF=$\dfrac{1}{2}∠BAC=42°$。
∵ ∠AFC是△ABF的外角，
∴ ∠AFC=∠B+∠BAF=36°+42°=78°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{78°}$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题是三角形角度运算的典型综合题，考查角平分线性质与三角形外角性质的结合应用，解题的关键是找准外角对应的两个不相邻内角，通过等量代换完成推导，第(2)问可直接应用第(1)问的结论快速求解，简化运算步骤。
【难度系数】
0.65
1. 如图，AB，CD相交于点O，∠A=43°，∠D=57°，∠C=37°，则∠B=
63°
。答案
1. 63°
解析
【分析】
首先观察图形，AB与CD交于点O，可得对顶角∠AOD与∠COB相等。结合三角形内角和为180°，可知△AOD中∠A+∠D+∠AOD=180°，△COB中∠B+∠C+∠COB=180°，因此可推出∠A+∠D=∠B+∠C，代入已知角度即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ AB、CD相交于点O，
∴ ∠AOD=∠COB（对顶角相等）。
根据三角形内角和为180°，在△AOD中：
∠A+∠D+∠AOD=180°，
∴ ∠AOD=180°-∠A-∠D=180°-43°-57°=80°，
∴ ∠COB=∠AOD=80°。
在△COB中：
∠B+∠C+∠COB=180°，
∴ ∠B=180°-∠C-∠COB=180°-37°-80°=63°。
【答案】
63°
【知识点】
对顶角相等；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用对顶角相等的性质，结合三角形内角和定理建立角度间的等量关系，计算过程简单，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，AB与CD交于点O，可得对顶角∠AOD与∠COB相等。结合三角形内角和为180°，可知△AOD中∠A+∠D+∠AOD=180°，△COB中∠B+∠C+∠COB=180°，因此可推出∠A+∠D=∠B+∠C，代入已知角度即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ AB、CD相交于点O，
∴ ∠AOD=∠COB（对顶角相等）。
根据三角形内角和为180°，在△AOD中：
∠A+∠D+∠AOD=180°，
∴ ∠AOD=180°-∠A-∠D=180°-43°-57°=80°，
∴ ∠COB=∠AOD=80°。
在△COB中：
∠B+∠C+∠COB=180°，
∴ ∠B=180°-∠C-∠COB=180°-37°-80°=63°。
【答案】
63°
【知识点】
对顶角相等；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用对顶角相等的性质，结合三角形内角和定理建立角度间的等量关系，计算过程简单，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8
2. 如图是由平面上A,B,C,D,E五个点连接而成的，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
180°
.答案
2. 180°
解析
【分析】
求解多个分散角度的和时，通常利用转化思想，将分散的角转移到同一个三角形中，再借助三角形内角和定理计算。本题可先观察到∠D、∠E与△BOC中两个角的关系，通过对顶角相等和三角形内角和，把∠D+∠E转化为∠OBC+∠OCB，即可将所有待求角整合到△ABC中计算。
【解析】
设BD与CE的交点为点O。
在△EOD和△BOC中：
∵ ∠EOD与∠BOC是对顶角，
∴ ∠EOD = ∠BOC。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠E + ∠D + ∠EOD = 180°，∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°，
∴ ∠E + ∠D = ∠OBC + ∠OCB。
在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
其中∠ABC = ∠ABO + ∠OBC，∠ACB = ∠ACO + ∠OCB，
将∠E + ∠D替换为∠OBC + ∠OCB代入得：
∠A + ∠ABO + ∠OBC + ∠ACO + ∠OCB = ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是典型的角度求和转化类题型，核心是运用转化思想把分散的角整合到同一个三角形中，熟练掌握三角形内角和与对顶角性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
求解多个分散角度的和时，通常利用转化思想，将分散的角转移到同一个三角形中，再借助三角形内角和定理计算。本题可先观察到∠D、∠E与△BOC中两个角的关系，通过对顶角相等和三角形内角和，把∠D+∠E转化为∠OBC+∠OCB，即可将所有待求角整合到△ABC中计算。
【解析】
设BD与CE的交点为点O。
在△EOD和△BOC中：
∵ ∠EOD与∠BOC是对顶角，
∴ ∠EOD = ∠BOC。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠E + ∠D + ∠EOD = 180°，∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°，
∴ ∠E + ∠D = ∠OBC + ∠OCB。
在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
其中∠ABC = ∠ABO + ∠OBC，∠ACB = ∠ACO + ∠OCB，
将∠E + ∠D替换为∠OBC + ∠OCB代入得：
∠A + ∠ABO + ∠OBC + ∠ACO + ∠OCB = ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是典型的角度求和转化类题型，核心是运用转化思想把分散的角整合到同一个三角形中，熟练掌握三角形内角和与对顶角性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$∠ C = 42°$，$∠ D = 21°$，$∠ AED = 100°$，则$∠ ABC$的度数为
79°
。答案
3. 79°
解析
【分析】
要求∠ABC的度数，观察图形可知∠ABC是△ABC的内角，已知∠C=42°，因此只需要求出∠A的度数，再利用三角形内角和定理即可计算出∠ABC。∠A同时是△AED的内角，△AED中已知∠AED=100°、∠D=21°，可先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再代入△ABC中计算即可。
【解析】
在△AED中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ AED - ∠ D = 180° - 100° - 21° = 59°$
在△ABC中，再根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 59° - 42° = 79°$
【答案】
$79°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是找到两个三角形的公共角∠A，利用三角形内角和定理逐步推导未知角度，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
要求∠ABC的度数，观察图形可知∠ABC是△ABC的内角，已知∠C=42°，因此只需要求出∠A的度数，再利用三角形内角和定理即可计算出∠ABC。∠A同时是△AED的内角，△AED中已知∠AED=100°、∠D=21°，可先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再代入△ABC中计算即可。
【解析】
在△AED中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ AED - ∠ D = 180° - 100° - 21° = 59°$
在△ABC中，再根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 59° - 42° = 79°$
【答案】
$79°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是找到两个三角形的公共角∠A，利用三角形内角和定理逐步推导未知角度，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
4. (1)如图，$∠ A = 60°$，$∠ BDC = 120°$，$∠ C = 37°$，则$∠ B =$
第4(1)题图
(2)【新情境·躺椅】如图所示的是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且$∠ CAB$，$∠ CBA$，$∠ E$保持不变.为了舒适，需调整$∠ D$的大小，使$∠ EFD = 110°$，则图中$∠ D$应
第4(2)题图
23°
.第4(1)题图
(2)【新情境·躺椅】如图所示的是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且$∠ CAB$，$∠ CBA$，$∠ E$保持不变.为了舒适，需调整$∠ D$的大小，使$∠ EFD = 110°$，则图中$∠ D$应
减少
（填“增加”或“减少”）10
°.第4(2)题图
答案
4.(1) 23°
4.(2) 减少 10
4.(2) 减少 10
解析
【分析】
(1) 本题可利用三角形外角的性质推导角度关系求解。我们可以通过延长AD构造三角形外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，推导得出∠BDC=∠A+∠B+∠C，代入已知角度即可算出∠B的度数。
(2) 先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，利用对顶角相等得到∠DCE的度数，再通过构造外角，建立∠EFD与∠D、∠E、∠DCE的等量关系，算出满足∠EFD=110°时∠D的度数，和原∠D的度数比较即可得到调整方向和变化的度数。
【解析】
(1) 延长AD至点E：
∵ ∠BDE是△ABD的外角，
∴ ∠BDE=∠BAD+∠B，
∵ ∠CDE是△ACD的外角，
∴ ∠CDE=∠CAD+∠C，
两式相加得：∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，
即∠BDC=∠BAC + ∠B + ∠C。
代入已知∠BDC=120°，∠BAC=60°，∠C=37°，
得$120°=60°+∠B+37°$，
解得$∠B=120°-60°-37°=23°$。
(2) 由题图可知∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠E=30°，原∠D=20°：
在△ABC中，根据三角形内角和定理，$∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-50°-60°=70°$，
∵ ∠DCE与∠ACB是对顶角，
∴ ∠DCE=∠ACB=70°。
延长EF交CD于点G：
∵ ∠EGF是△CEG的外角，
∴ $∠EGF=∠DCE+∠E=70°+30°=100°$，
∵ ∠EFD是△DFG的外角，
∴ $∠EFD=∠D+∠EGF$。
当∠EFD=110°时，代入得$110°=∠D+100°$，解得$∠D=10°$。
原∠D为20°，$20°-10°=10°$，故∠D应减少10°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{23°}$
(2) $\boldsymbol{减少}$；$\boldsymbol{10}$
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查三角形角度相关性质的灵活应用，第(1)问需要掌握构造外角推导凹四边形角度关系的方法，第(2)问结合生活情境，要求能把实际问题转化为几何角度计算问题，注重对基础性质的理解和迁移运用。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可利用三角形外角的性质推导角度关系求解。我们可以通过延长AD构造三角形外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，推导得出∠BDC=∠A+∠B+∠C，代入已知角度即可算出∠B的度数。
(2) 先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，利用对顶角相等得到∠DCE的度数，再通过构造外角，建立∠EFD与∠D、∠E、∠DCE的等量关系，算出满足∠EFD=110°时∠D的度数，和原∠D的度数比较即可得到调整方向和变化的度数。
【解析】
(1) 延长AD至点E：
∵ ∠BDE是△ABD的外角，
∴ ∠BDE=∠BAD+∠B，
∵ ∠CDE是△ACD的外角，
∴ ∠CDE=∠CAD+∠C，
两式相加得：∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，
即∠BDC=∠BAC + ∠B + ∠C。
代入已知∠BDC=120°，∠BAC=60°，∠C=37°，
得$120°=60°+∠B+37°$，
解得$∠B=120°-60°-37°=23°$。
(2) 由题图可知∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠E=30°，原∠D=20°：
在△ABC中，根据三角形内角和定理，$∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-50°-60°=70°$，
∵ ∠DCE与∠ACB是对顶角，
∴ ∠DCE=∠ACB=70°。
延长EF交CD于点G：
∵ ∠EGF是△CEG的外角，
∴ $∠EGF=∠DCE+∠E=70°+30°=100°$，
∵ ∠EFD是△DFG的外角，
∴ $∠EFD=∠D+∠EGF$。
当∠EFD=110°时，代入得$110°=∠D+100°$，解得$∠D=10°$。
原∠D为20°，$20°-10°=10°$，故∠D应减少10°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{23°}$
(2) $\boldsymbol{减少}$；$\boldsymbol{10}$
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查三角形角度相关性质的灵活应用，第(1)问需要掌握构造外角推导凹四边形角度关系的方法，第(2)问结合生活情境，要求能把实际问题转化为几何角度计算问题，注重对基础性质的理解和迁移运用。
【难度系数】
0.7
