6. 如图8,已知AB=8 cm,BD=3 cm,C为AB的中点,则线段CD的长为 cm.

$\boldsymbol{1}$

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先C是AB的中点，根据线段中点的性质可以先求出BC的长度，再观察图形可知CD的长度等于BC减去BD的长度，代入已知BD的数值就能算出CD的长。
【解析】
解：
∵ C为AB的中点，AB=8 cm，
∴ $BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$ cm，
又
∵ BD=3 cm，
∴ $CD = BC - BD = 4 - 3 = 1$ cm。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础的线段长度计算类题目，解题的核心是先利用线段中点的性质求出相关线段的长度，再结合图形中线段的位置关系通过和差运算得到结果，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8

7. 在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1,如图9所示,设点A,B,C所对应数的和是p.
(1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p的值;若以C为原点,p又是多少?
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p.

解：
(1) 以B为原点时：
点A在B左侧，AB=2，点A对应的数是-2；
点C在B右侧，BC=1，点C对应的数是1。
此时$p = -2 + 0 + 1 = -1$。
以C为原点时：
点B在C左侧，BC=1，点B对应的数是-1；
点A在B左侧，AB=2，点A对应的数是$-1-2=-3$。
此时$p = -3 + (-1) + 0 = -4$。
(2) 因为原点O在点C的右边，且$CO=28$，所以点C对应的数是-28。
点B对应的数是$-28 - 1 = -29$，
点A对应的数是$-29 - 2 = -31$，
所以$p = -31 + (-29) + (-28) = -88$。

【分析】
解决本题的核心是掌握数轴的基本性质：数轴上原点左侧的数为负，右侧的数为正，数从左到右逐渐增大，两点间的距离等于右侧点对应的数减去左侧点对应的数。对于(1)，分别将B、C设为原点，结合AB=2、BC=1的长度，按左负右正的规律推算A、B、C三点对应的数，再将三个数相加即可得到p的值；对于(2)，先根据原点在C右侧、CO=28的条件确定C对应的数，再依次向左推算B、A对应的数，最后求和得到p。
【解析】
(1) 以B为原点时：
点A在B左侧，AB长度为2，因此点A对应的数是-2；
点C在B右侧，BC长度为1，因此点C对应的数是1；
此时$p = -2 + 0 + 1 = -1$。
以C为原点时：
点B在C左侧，BC长度为1，因此点B对应的数是-1；
点A在B左侧，AB长度为2，因此点A对应的数是$-1-2=-3$；
此时$p = -3 + (-1) + 0 = -4$。
(2) 已知原点O在点C的右侧，且$CO=28$，说明C在原点左侧28个单位长度，因此点C对应的数是-28；
点B在C左侧1个单位长度，对应的数是$-28 - 1 = -29$；
点A在B左侧2个单位长度，对应的数是$-29 - 2 = -31$；
因此$p = -31 + (-29) + (-28) = -88$。
【答案】
(1) 以B为原点时，点A对应-2，点C对应1，$p=-1$；以C为原点时，$p=-4$
(2) $p=-88$
【知识点】
数轴的概念；数轴上两点距离；有理数加法运算
【点评】
本题考查数轴上点与实数的对应关系，解题关键是结合已知线段长度和原点位置，按照数轴左减右加的计数规律准确求出各点对应的数值，整体考查偏向基础，掌握数轴的性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

1. 如图10，小华认为从A点到B点的三条路线中，②是路程最短的，他做这个判断所依据的是（）

A.线动成面
B.两点之间，线段最短
C.两点确定一条直线
D.连接两点之间的线段的长度叫作两点间的距离

B

【分析】
首先明确题目要求是找到“判断A到B的路线②最短”的依据，我们可以先观察三条路线的特征：路线①和③都是弯曲的线，只有路线②是直接连接A、B两点的线段。接下来回忆相关几何性质：我们学过“两点之间，线段最短”的基本事实，这正是判断路径长短的核心依据，再逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
观察三条路线：①、③均为曲线，②是连接A、B两点的线段。
根据线段的基本性质：两点之间，线段最短，因此路线②是三条路线中路程最短的。
对选项逐一分析：
A. 线动成面是几何图形的形成规律，与路程长短判断无关，排除；
B. 两点之间，线段最短，符合判断依据，当选；
C. 两点确定一条直线是直线的性质，用于确定直线的位置，不涉及长度比较，排除；
D. 该表述是两点间距离的定义，不是判断路径最短的依据，排除。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；线段的性质；两点间距离的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对线段性质的理解与运用，解题时要注意区分线段的性质、直线的性质以及两点间距离的定义，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

2. (1)特例感知:如图11①,已知线段$MN=30\ \mathrm{cm},AB=2\ \mathrm{cm}$,线段AB在线段MN上运动(点A不超过点M,点B不超过点N),C和D分别是AM,BN的中点.
①若$AM=16\ \mathrm{cm}$,则$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
②线段AB运动时,试判断线段CD的长度是否发生变化.如果不变,请求出CD的长度;如果变化,请说明理由.

(2)知识迁移:我们发现角的很多规律和线段一样,如图11②,已知$∠ AOB$在$∠ MON$内部转动,射线OC和射线OD分别平分$∠ AOM$和$∠ BON$.
①若$∠ MON=150°,∠ AOB=30°$,则$∠ COD=$.
②请你猜想$∠ AOB,∠ COD$和$∠ MON$三个角有怎样的数量关系.请说明理由.

解：
(1)① $\boldsymbol{16}$
② 线段CD的长度不发生变化，理由如下：
∵ C是AM的中点，
∴ $CM = \frac{1}{2}AM$，
∵ D是BN的中点，
∴ $DN = \frac{1}{2}BN$，
∴ $CD = MN - CM - DN$
$= MN - \frac{1}{2}AM - \frac{1}{2}BN$
$= MN - \frac{1}{2}(AM + BN)$
又∵ $AM + BN = MN - AB$，
∴ $CD = MN - \frac{1}{2}(MN - AB)$
$= \frac{1}{2}MN + \frac{1}{2}AB$
∵ $MN=30\ \mathrm{cm}$，$AB=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $CD = \frac{1}{2} × 30 + \frac{1}{2} × 2 = 16\ \mathrm{cm}$。
即CD的长度为16 cm，不发生变化。
(2)① $\boldsymbol{90°}$
② 数量关系为：$\boldsymbol{∠COD = \frac{1}{2}(∠MON + ∠AOB)}$，理由如下：
∵ OC平分$∠AOM$，
∴ $∠COM = \frac{1}{2}∠AOM$，
∵ OD平分$∠BON$，
∴ $∠DON = \frac{1}{2}∠BON$，
∴ $∠COD = ∠MON - ∠COM - ∠DON$
$= ∠MON - \frac{1}{2}∠AOM - \frac{1}{2}∠BON$
$= ∠MON - \frac{1}{2}(∠AOM + ∠BON)$
又∵ $∠AOM + ∠BON = ∠MON - ∠AOB$，
∴ $∠COD = ∠MON - \frac{1}{2}(∠MON - ∠AOB)$
$= \frac{1}{2}∠MON + \frac{1}{2}∠AOB$
即 $∠COD = \frac{1}{2}(∠MON + ∠AOB)$。

【分析】
(1)①先根据已知线段长度求出BN的长度，再利用线段中点的性质分别算出CM、DN的长度，最后用MN的长度减去CM、DN的长度即可得到CD的长度。
②要判断CD长度是否变化，可先通过中点性质将CM、DN转化为AM、BN的一半，再把CD表示为MN减去CM、DN，接着将AM+BN替换为MN-AB，化简后可发现CD的长度仅与定值MN、AB有关，因此长度不变，代入数值即可求出结果。
(2)①类比线段的解题思路，利用角平分线的性质将∠COM、∠DON转化为∠AOM、∠BON的一半，再用∠MON减去这两个角，将∠AOM+∠BON替换为∠MON-∠AOB，代入数值计算即可得到∠COD的度数。
②类比线段的推导过程，将具体数值替换为角的符号，化简后即可得到三个角的数量关系。
【解析】
(1)①已知$MN=30\ \mathrm{cm}$，$AM=16\ \mathrm{cm}$，$AB=2\ \mathrm{cm}$，则$BN=MN-AM-AB=30-16-2=12\ \mathrm{cm}$。
∵C是AM的中点，
∴$CM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$，
∵D是BN的中点，
∴$DN=\frac{1}{2}BN=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$，
∴$CD=MN-CM-DN=30-8-6=16\ \mathrm{cm}$。
②线段CD的长度不发生变化，理由如下：
∵ C是AM的中点，
∴ $CM = \frac{1}{2}AM$，
∵ D是BN的中点，
∴ $DN = \frac{1}{2}BN$，
∴ $CD = MN - CM - DN$
$= MN - \frac{1}{2}AM - \frac{1}{2}BN$
$= MN - \frac{1}{2}(AM + BN)$
又
∵ $AM + BN = MN - AB$，
∴ $CD = MN - \frac{1}{2}(MN - AB)$
$= \frac{1}{2}MN + \frac{1}{2}AB$
∵ $MN=30\ \mathrm{cm}$，$AB=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $CD = \frac{1}{2} × 30 + \frac{1}{2} × 2 = 16\ \mathrm{cm}$。
即CD的长度为16 cm，不发生变化。
(2)①
∵ OC平分$∠AOM$，
∴ $∠COM = \frac{1}{2}∠AOM$，
∵ OD平分$∠BON$，
∴ $∠DON = \frac{1}{2}∠BON$，
∴ $∠COD = ∠MON - ∠COM - ∠DON$
$= ∠MON - \frac{1}{2}(∠AOM + ∠BON)$
又
∵ $∠AOM + ∠BON = ∠MON - ∠AOB=150°-30°=120°$，
∴ $∠COD = 150° - \frac{1}{2}×120°=90°$。
②数量关系为：$\boldsymbol{∠COD = \frac{1}{2}(∠MON + ∠AOB)}$，理由如下：
∵ OC平分$∠AOM$，
∴ $∠COM = \frac{1}{2}∠AOM$，
∵ OD平分$∠BON$，
∴ $∠DON = \frac{1}{2}∠BON$，
∴ $∠COD = ∠MON - ∠COM - ∠DON$
$= ∠MON - \frac{1}{2}∠AOM - \frac{1}{2}∠BON$
$= ∠MON - \frac{1}{2}(∠AOM + ∠BON)$
又
∵ $∠AOM + ∠BON = ∠MON - ∠AOB$，
∴ $∠COD = ∠MON - \frac{1}{2}(∠MON - ∠AOB)$
$= \frac{1}{2}∠MON + \frac{1}{2}∠AOB$
即 $∠COD = \frac{1}{2}(∠MON + ∠AOB)$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{16}$；②线段CD的长度不发生变化，$CD=16\ \mathrm{cm}$
(2)①$\boldsymbol{90°}$；②$\boldsymbol{∠COD = \frac{1}{2}(∠MON + ∠AOB)}$
【知识点】
线段中点的定义，角平分线的定义，线段与角的和差计算
【点评】
本题属于类比探究类题目，将线段的动态计算方法迁移到角的动态计算中，解题的关键是熟练掌握线段中点、角平分线的性质，结合和差关系将未知量用已知固定量表示，能帮助学生体会类比思想在数学探究中的应用。
【难度系数】
0.7