一、选择题
1. (2023·德阳)在6、7、8、9这四个数字中任意选取两个数字,则这两个数字之和为奇数的概率是（ ）
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{1}{4}$

C

2. 若一组数据2,3,4,5,x的方差比另一组数据5,6,7,8,9的方差大,则x的值可能是（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

D

3. 已知 $ m、n $ 是方程 $ x^2 - 3x - 4 = 0 $ 的两根，则 $ (m^2 - 1)(n^2 - 1) $ 的值是 （ ）
A. 0
B. -6
C. -7
D. 6

A

4. 如图,点 B 在半圆 O 上,直径 $ AC=12 $,$ ∠ BAC=30° $,则图中阴影部分的面积为 （ ）
A. $ 6π $
B. $ 3π $
C. $ \frac{3π}{2} $
D. $ 12π $




（第4题）
（第7题）
（第8题）
（第9题）

A

二、填空题
5. 某校学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分、90分，则小明这学期的数学成绩为________分.

86

6.已知代数式$A=3x^2 - x + 1$，$B=4x^2 + 3x + 7$，则A______B.（填“＞”、“＜”或“=”）

＜

7. 如图,在$4×4$的正方形网格中,黑色部分的图形构成一个轴对称图形,现在任选取一个白色的小正方形并涂黑,使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是______.

$\frac{5}{13}$

8. 如图,在$5×3$的网格图中,每个小正方形的边长均为1,设经过图中格点A、C、B三点的圆弧与AE交于点H,则$\overset{\frown}{AH}$的长为______.

$\frac{\sqrt{13}\pi}{4}$

9. 如图,点A、B在$\odot O$上,且$∠ AOB=30°$,P是射线OB上的动点(不与点O重合),连接AP,将$△ APO$沿AP所在直线折叠得到$△ APO'$,当$△ APO'$的边所在直线与$\odot O$相切时,$∠ OPA$的度数为______.

$105^{\circ}$或$60^{\circ}$

三、解答题
10. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0 $（$ m $ 为常数）.
(1)求证:不论 $ m $ 为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)设该方程的两个实数根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $,且 $ x_1x_2 ＞ 0 $,求 $ m $ 的取值范围.

(1)证明：在方程$x^{2}-2mx + m^{2}-1 = 0$中，$a = 1，$$b=-2m，$$c = m^{2}-1。$ 根据判别式$\Delta=b^{2}-4ac，$可得$\Delta=(-2m)^{2}-4\times1\times(m^{2}-1)=4m^{2}-4m^{2}+4 = 4＞0。$ 所以不论$m$为何值，该方程总有两个不相等的实数根。 (2)解：解方程$x^{2}-2mx + m^{2}-1 = 0，$由完全平方公式可得$(x - m)^{2}=1，$则$x - m=\pm1。$ 解得$x_{1}=m + 1，$$x_{2}=m - 1。$ 因为$x_{1}x_{2}＞0，$所以$(m + 1)(m - 1)＞0，$即$\begin{cases}m + 1＞0 \\ m - 1＞0 \end{cases}$或$\begin{cases}m + 1＜0 \\ m - 1＜0 \end{cases}。$ 解$\begin{cases}m + 1＞0 \\ m - 1＞0 \end{cases}，$得$\begin{cases}m＞-1 \\ m＞1 \end{cases}，$取交集得$m＞1；$ 解$\begin{cases}m + 1＜0 \\ m - 1＜0 \end{cases}，$得$\begin{cases}m＜-1 \\ m＜1 \end{cases}，$取交集得$m＜-1。$ 综上，$m$的取值范围是$m＞1$或$m＜-1。$