11. 如图,老李想用长为 70 m 的栅栏,再借助房屋的外墙(阴影部分,外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD,并在边 BC 上留一个 2 m 宽的门(建在 EF 处,另用其他材料).请问:当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为 640 m²的羊圈?

解: 设矩形$ABCD$的边$AB = x\ m，$因为借助房屋外墙，且$BC$上留一个$2\ m$宽的门，所以边$BC=(70 + 2-2x)=(72 - 2x)\ m。$ 根据题意，得$x(72 - 2x)=640，$ 化简得$72x-2x^{2}=640，$两边同时除以$-2$得$x^{2}-36x + 320 = 0。$ 对于一元二次方程$x^{2}-36x + 320 = 0，$其中$a = 1，$$b=-36，$$c = 320，$ 根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，$可得$x=\frac{36\pm\sqrt{(-36)^{2}-4\times1\times320}}{2\times1}=\frac{36\pm\sqrt{1296 - 1280}}{2}=\frac{36\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{36\pm4}{2}。$ 解得$x_{1}=\frac{36 + 4}{2}=20，$$x_{2}=\frac{36 - 4}{2}=16。$ 当$x = 16$时，$72-2x=72-32 = 40；$ 当$x = 20$时，$72-2x=72-40 = 32。$ 答：当羊圈的长为$40\ m$、宽为$16\ m$或长为$32\ m$、宽为$20\ m$时，能围成一个面积为$640\ m^{2}$的羊圈。

12. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.

根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有________人;条形统计图中$ m $的值为________;扇形统计图中“非常了解”部分所对应的扇形圆心角的度数为________.
(2)若该校共有学生800人,根据上述调查结果,可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________.
(3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛,请用画树状图的方法求恰好抽到2名女生的概率.

80
; 16
; $90^{\circ}$ ; 40
; $解:画树状图如下： $由树状图可知，一共有$12$种等可能的结果，其中恰好抽到$2$名女生的结果有$2$种。所以$P$(恰好抽到$2$名女生)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}。$ ;

13. (1)如图 1,已知 A 为线段 BC 外一点,连接 AB、AC,且$∠BAC=45°,BC=6$,求$△ABC$面积的最大值.
(2)如图 2,某城市有一个废旧机车工厂,现在想把这个废旧机车工厂改造为机车主题公园,其中 AP 为原有机车的铁轨,长 500 m,计划保留放置各种年代的机车头作为网红打卡地标. AP 两侧为面积相等的现代与未来两个主题活动区,要求$∠BAC=120°,P$为 BC 的中点,按照设计要求,求符合条件的$△ABC$的最大面积.

解: (1)如图1，以$BC$为一条弦作$\odot O，$且$\angle BAC = 45^{\circ}，$连接$OB$、$OC。$ 因为同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，所以$\angle BOC = 90^{\circ}。$ 已知$BC = 6，$由等腰直角三角形的性质可得$OB = OC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}。$ 当$AD\perp BC$且过点$O$时，$\triangle ABC$的面积最大，此时$OD=\frac{1}{2}BC = 3。$ $AD=AO + OD=3\sqrt{2}+3，$所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times6\times(3\sqrt{2}+3)=9\sqrt{2}+9。$ (2)如图2，延长$AP$到点$M，$使$PM = AP，$以$AM$为弦作$\odot O，$且$\angle MBA = 60^{\circ}。$ 因为$P$为$BC$、$AM$的中点，所以可证$\triangle ABP\cong\triangle MCP(SAS)。$ 当点$B$、$O$、$P$三点共线时，$BP$最大，此时$BP$为边长为$1000\ m$的等边三角形的高，所以$BP = 500\sqrt{3}\ m，$则$BC = 2\times500\sqrt{3}=1000\sqrt{3}\ m。$ 此时$\triangle ABC$的高$AP = 500\ m，$$S_{\triangle ABC最大}=\frac{1}{2}\times1000\sqrt{3}\times500=250000\sqrt{3}\ m^{2}。$ ;