三、解答题
11. 解下列方程：
(1)$(x-1)^2 = 4$；
(2)$3(x-2)^2 = x(x-2)$；
(3)$3x^2 - 6x + 1 = 0$。

解：
$\begin{aligned}(x - 1)^2&=4\\x - 1&=\pm2\end{aligned}$ 当$x - 1 = 2$时，$x = 3；$当$x - 1=-2$时，$x=-1。$ 所以$x_1 = 3，$$x_2=-1。$ ; 解：
$\begin{aligned}3(x - 2)^2&=x(x - 2)\\3(x - 2)^2-x(x - 2)&=0\\(x - 2)[3(x - 2)-x]&=0\\(x - 2)(3x-6 - x)&=0\\(x - 2)(2x - 6)&=0\end{aligned}$ 则$x - 2 = 0$或$2x - 6 = 0。$ 当$x - 2 = 0$时，$x = 2；$当$2x - 6 = 0$时，$2x=6，$$x = 3。$ 所以$x_1 = 3，$$x_2 = 2。$ ; 解：对于方程$3x^2-6x + 1 = 0，$其中$a = 3，$$b=-6，$$c = 1。$ 根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}，$先计算$\Delta=b^2 - 4ac=(-6)^2-4\times3\times1=36 - 12 = 24。$ 则$x=\frac{6\pm\sqrt{24}}{2\times3}=\frac{6\pm2\sqrt{6}}{6}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{3}。$ 所以$x_1 = 1+\frac{\sqrt{6}}{3}，$$x_2 = 1-\frac{\sqrt{6}}{3}。$

12. (2023·泰州)某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌三种类型.
小明、小丽两人积极报名参加，各从三种类型中随机挑选一种类型.求小明、小丽选择不同类型的概率.

$解：画树状图如下： $由树状图可知，共有$9$种等可能的结果，其中小明、小丽选择不同类型的结果有$6$种。 所以小明、小丽选择不同类型的概率是$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}。$ ;
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13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + mx + m - 1 = 0 $。
(1)求证:方程总有两个实数根.
(2)若该方程两个实数根的和为 3,求 $ m $ 的值.

证明: (1)对于方程$x^2+mx + m - 1 = 0，$其中$a = 1，$$b = m，$$c = m - 1。$ $\Delta=b^2 - 4ac=m^2-4\times1\times(m - 1)=m^2-4m + 4=(m - 2)^2\geq0。$$ 所以该方程总有两个实数根。 $ (2)因为该方程两个实数根的和为$3，$根据韦达定理$x_1+x_2=-\frac{b}{a}，$这里$x_1 + x_2=-m。$ 所以$-m = 3，$解得$m=-3。$

14. (2023·辽宁)如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB$是$\odot O$的直径，$CE$平分$∠ ACB$交$\odot O$于点$E$，过点$E$作$EF // AB$，交$CA$的延长线于点$F$.
(1)求证:$EF$与$\odot O$相切.
(2)若$∠ CAB=30°$，$AB=8$，过点$E$作$EG ⊥ AC$交$AC$于点$M$，交$\odot O$于点$G$，交$AB$于点$N$，求$\overset{\frown}{AG}$的长.

(1)证明：如图，连接$OE。$ 因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}。$ 因为$CE$平分$\angle ACB$交$\odot O$于点$E，$所以$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB = 45^{\circ}。$ 所以$\angle AOE = 2\angle ACE = 90^{\circ}，$即$OE\perp AB。$ 又因为$EF// AB，$所以$OE\perp EF。$ 因为$OE$为$\odot O$的半径，所以$EF$与$\odot O$相切。 (2)解：如图，连接$OG$、$OC。$ 因为$\angle CAB = 30^{\circ}，$$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$\angle ABC = 60^{\circ}。$ 因为$OB = OC，$所以$\triangle OBC$为等边三角形，所以$\angle BOC = 60^{\circ}，$则$\angle AOC = 120^{\circ}。$ 因为$\angle ACE = 45^{\circ}，$$EG\perp AC，$所以$\angle MEC = 45^{\circ}，$所以$\angle GOC = 2\angle MEC = 90^{\circ}。$ 所以$\angle AOG=\angle AOC-\angle GOC=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}。$ 因为$AB = 8，$所以$OA = OG = 4。$ 根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角，$r$是半径），可得$\overset{\frown}{AG}$的长为$\frac{30\pi\times4}{180}=\frac{2\pi}{3}。$ ;