9. (亮点原创)·如图，$△ ABC$为等边三角形，$∠ BAD=105°$，连接$BD$，$CD$.若$AB=CD$，则$∠ ADB$的度数为______.

30°

10.（2024·新疆）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=8$.若点$D$在直线$AB$上（不与$A,B$两点重合），且$∠ BCD=30°$，则$AD$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$.

6或12

11. 已知$△ ABC$为等边三角形，$M$是直线$BC$上任意一点，$N$是直线$CA$上任意一点，且$BM=CN$，直线$BN$与$AM$相交于点$Q$.
（1）如图①，若$M,N$两点分别在线段$BC,CA$上，则$∠ BQM$等于多少度？
（2）如图②，若$M,N$两点分别在线段$BC,CA$的延长线上，（1）中的结果是否仍然成立？请说明理由.

解：​$(1)$​∵​$\triangle ABC$​为等边三角形∴​$AB = BC，$​​$∠ABM = ∠BCN = 60°$​在​$\triangle ABM$​和​$\triangle BCN$​中​$\begin {cases}AB = BC\\∠ABM=∠BCN\\BM = CN\end {cases}$​∴​$\triangle ABM≌\triangle BCN(S AS)$​∴​$∠BAM = ∠CBN$​∵​$∠BQM=∠BAM+∠ABQ$​∴​$∠BQM=∠CBN+∠ABQ=∠ABM = 60°$​​$ (2)$​成立，理由如下：∵​$\triangle ABC$​为等边三角形∴​$BA = BC，$​​$∠ABC = ∠ACB = 60°，$​即​$∠ABM = ∠BCN$​在​$\triangle ABM$​和​$\triangle BCN$​中​$\begin {cases}AB = BC\\∠ABM=∠BCN\\BM = CN\end {cases}$​∴​$\triangle ABM≌\triangle BCN(S AS)$​∴​$∠M = ∠N$​∵​$∠BQM=∠N+∠Q AN，$​​$∠Q AN = ∠CAM，$​​$∠ACB=∠M+∠CAM$​∴​$∠BQM=∠ACB = 60°$​

12. 新趋势 推导探究 已知等边三角形 $ ABC $ 的两边 $ AB,AC $ 所在直线上分别有 $ M,N $ 两点，$ D $ 为 $ △ ABC $ 外部一点，且 $ ∠ MDN = 60°, ∠ BDC = 120°, BD = CD $。探究：当 $ M,N $ 两点分别在直线 $ AB,AC $ 上移动时，$ BM,NC,MN $ 之间的数量关系及 $ △ AMN $ 的周长 $ Q $ 与 $ △ ABC $ 的周长 $ L $ 之间的关系。
（1）如图①，当 $ M,N $ 两点分别在边 $ AB,AC $ 上，且 $ DM = DN $ 时，$ BM,NC,MN $ 之间的数量关系是 ______，此时 $ \frac{Q}{L} = \_\_\_\_\_\_ $；
（2）如图②，当 $ M,N $ 两点分别在边 $ AB,AC $ 上，且 $ DM ≠ DN $ 时，猜想（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请直接写出你的结论；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当 $ M,N $ 两点分别在边 $ AB,CA $ 的延长线上时，探索 $ BM,NC,MN $ 之间的数量关系，并给出证明。

类题精讲

$BM + NC = MN$ ; $\frac{2}{3}$ ;
; 解：​$(2)(1)$​中的两个结论成立，即​$BM + NC = MN，$​​$\frac {Q}{L}=\frac 23$​​$(3)NC - BM = MN，$​证明如下：在​$CN$​上截取​$CM_{2}=BM，$​连接​$DM_{2}$​由​$(1)$​得​$∠ABD=∠ACD = 90°$​又​$∠ABD+∠MBD = 180°$​∴​$∠MBD = 180°-∠ABD = 90°，$​即​$∠MBD=∠M_{2}CD$​在​$\triangle MBD$​和​$\triangle M_{2}CD$​中​$\begin {cases}BM = CM_{2}\\∠MBD=∠M_{2}CD\\BD = CD\end {cases}$​∴​$\triangle MBD≌\triangle M_{2}CD(S AS)$​∴​$∠MDB=∠M_{2}DC，$​​$MD = M_{2}D$​又​$∠MDN = 60°，$​​$∠BDC = 120°$​∴​$∠BDC-∠MDN = 60°$​即​$∠NDC-∠MDB = 60°$​∴​$∠NDC-∠M_{2}DC = 60°，$​即​$∠M_{2}DN = 60°$​∴​$∠MDN=∠M_{2}DN$​在​$\triangle MDN$​和​$\triangle M_{2}DN$​中​$\begin {cases}MD = M_{2}D\\∠MDN=∠M_{2}DN\\DN = DN\end {cases}$​∴​$\triangle MDN≌\triangle M_{2}DN(S AS)$​∴​$MN = M_{2}\ \mathrm {N}$​又​$M_{2}\ \mathrm {N} = NC - CM_{2}$​∴​$M_{2}\ \mathrm {N} = NC - BM，$​即​$MN = NC - BM$​