综合与实践

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计算圆周率的近似值
魏晋时期的数学家刘徽于公元263年撰写了《九章算术注》，在圆的面积公式后面写了一篇长约1800字的注记——“割圆术”。他用圆内接正多边形的面积来无限逼近圆的面积，从而证明了圆的面积公式，得到圆周率π的近似值。
刘徽是如何计算圆的面积的呢？他从圆内接正六边形开始计算，圆的内接正六边形把圆周等分为六条弧，将每段弧进行两等分，得到圆内接正十二边形。按这样的方法，如果将圆周继续分割，可以得到圆内接正二十四边形，当圆内接正多边形的边数无穷多时，圆内接正多边形的面积就无限逼近圆的面积了（圆内接正n边形相邻两端点与圆心形成以圆心为顶点的角的度数为$\frac{360°}{n}$）。
（1）如图①，设内接于$\odot O$的正六边形的半径$OA=1$，求正六边形的面积$S_6$（注：等边三角形的面积公式：$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，$a$为边长）；
（2）连接$AD$，$BD$。已知正十二边形的面积可以看作图①中正六边形的面积与六个$△ ABD$的面积之和，求内接于$\odot O$的正十二边形的面积$S_{12}$；
（3）设圆的面积为$S$，显然$S＞S_{12}$，为了准确确定$S$的范围，刘徽提出了“差幂”的概念，“差幂”是后一次与前一次割圆形成的正多边形面积的差值，如图②中阴影部分的面积。刘徽指出，在圆内接正多边形边数加倍的过程中，圆半径在正多边形的边与圆之间有一段余径$(CD)$，易知以余径乘正多边形的周长，即2倍的“差幂”，再加这个正多边形的面积，将这个值记为$S'_n$（$n$为正多边形的边数），显然$S＜S'_n$，按照上述方法，求$S'_6$，并写出π的取值范围（精确到0.1）。

解：​$ (1)$​由题意，得​$∠AOB=\frac {360°}6 = 60°$​∵​$OA = OB，$​∴​$\triangle AOB$​是等边三角形 又∵​$OA = 1，$​∴​$OB = AB=OA = 1$​∴​$S_{\triangle AOB}=\frac {\sqrt 3}4×1^2=\frac {\sqrt 3}4$​∴​$S_{6}=6S_{\triangle AOB}=6×\frac {\sqrt 3}4=\frac {3\sqrt 3}2$​​$ (2)$​由​$(1)，$​得​$S_{\triangle AOB}=\frac {\sqrt 3}4，$​​$AB = 1，$​​$S_{6}=\frac {3\sqrt 3}2$​∵​$S_{\triangle AOB}=\frac 12\ \mathrm {A}B·OC$​∴​$OC = \frac {2S_{\triangle AOB}}{AB}=\frac {2×\frac {\sqrt 3}4}1=\frac {\sqrt 3}2$​ 又∵​$OD = OA = 1，$​∴​$CD=OD - OC=1-\frac {\sqrt 3}2$​​$ $​则​$S_{\triangle ABD}=\frac 12\ \mathrm {A}B·CD=\frac 12×1×(1 - \frac {\sqrt 3}2)=\frac 12-\frac {\sqrt 3}4$​∴​$S_{12}=S_{6}+6S_{\triangle ABD}=\frac {3\sqrt 3}2+6×(\frac 12-\frac {\sqrt 3}4)=3$​​$ (3)$​由​$ (1) (2)，$​得​$S_{6}=\frac {3\sqrt 3}2，$​​$S_{12}=3，$​​$CD = 1-\frac {\sqrt 3}2，$​​$AB = 1，$​​$n = 6$​∴​$S_{6}'=6\ \mathrm {A}B·CD+S_{6}=6×1×(1 - \frac {\sqrt 3}2)+\frac {3\sqrt 3}2=6-\frac {3\sqrt 3}2≈3.4$​ 又∵​$S=πr^2=\pi ，$​且​$S_{12}＜S＜S_{6}'，$​∴​$3＜\pi ＜3.4$​