8 (2024 盐城射阳月考)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若$\odot O$的半径为 2，则这个圆内接正十二边形的面积为 （ ）
A. 3
B. 12
C. $4π$
D. $12π$




（第8题）
（第9题）
（第10题）
（第11题）

B

9 如图，$P_1$～$P_8$是$\odot O$的八等分点.若$△ P_1P_3P_7$，四边形$P_3P_4P_6P_7$的周长分别为$a,b$，则下列说法中正确的是 （ ）
A. $a ＜ b$
B. $a = b$
C. $a ＞ b$
D. $a,b$大小无法比较

A

10 如图,在平面直角坐标系中,正六边形OABCDE的边长是4,则它的内切圆圆心M的坐标是$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.

$(2,2\sqrt{3})$

11（易错题）如图,在正六边形ABCDEF中,AB=6,点M在边AF上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形的面积平分,则直线l被正六边形所截的线段长是________.

$4\sqrt{7}$

12 (1) 如图1，$△ ABC$是$\odot O$的内接正三角形，$P$为弧$BC$上一动点，请探究$PA$，$PB$，$PC$三者之间有何数量关系，并给予证明；
(2) 如图2，四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，$P$为弧$BC$上一动点，请探究$PA$，$PB$，$PC$三者之间有何数量关系，并给予证明；
(3) 如图3，六边形$ABCDEF$是$\odot O$的内接正六边形，$P$为弧$BC$上一动点，请探究$PA$，$PB$，$PC$三者之间有何数量关系，直接写出结论不需证明。

解：​$(1) $​如图​$1，$​延长​$BP $​至点​$E，$​使​$PE = P C$​连接​$CE$​∵​$A，$​​$B，$​​$P，$​​$C$​四点共圆∴​$∠BAC+∠BP C = 180°$​∵​$∠BP C+∠EP C = 180°$​∴​$∠BAC=∠CPE = 60°$​又​$PE = P C$​∴​$\triangle P CE$​是等边三角形∴​$CE = P C，$​​$∠E = 60°$​ 又∵​$∠BCE = 60°+∠BCP，$​​$∠ACP = 60°+∠BCP$​∴​$∠BCE=∠ACP$​∵​$\triangle ABC，$​​$\triangle ECP $​为等边三角形∴​$CE = P C，$​​$AC = BC$​​$ $​在​$\triangle BEC$​和​$\triangle AP C$​中​$\begin {cases}EC = P C\\∠BCE=∠ACP\\BC = AC\end {cases}$​∴​$\triangle BEC≌\triangle AP C(S AS)$​∴​$P A = EB = P B + P C$​
​$ (2) $​如图​$2，$​过点​$B$​作​$BE\perp P B$​交​$P A$​于点​$E$​∵​$∠1+∠2=∠2+∠3 = 90°$​∴​$∠1=∠3$​​$ $​易得​$∠AP B = 45°$​∴​$BP = BE$​∴​$PE=\sqrt 2P B$​​$ $​在​$\triangle ABE$​和​$\triangle CBP $​中​$\begin {cases}BE = BP\\∠1=∠3\\AB = CB\end {cases}$​∴​$\triangle ABE≌\triangle CBP(S AS)$​∴​$P C = AE$​∴​$P A = AE + PE = P C+\sqrt 2P B$​​$ (3)\ \mathrm {P} A = P C+\sqrt 3P B，$​证明如下：​$ $​如图​$3，$​过点​$B$​作​$BM\perp AP $​于点​$M，$​在​$AP $​上截取​$AQ = P C，$​连接​$BQ$​∵​$∠BAP=∠BCP，$​​$AB = BC$​​$ $​在​$\triangle ABQ $​和​$\triangle CBP $​中​$\begin {cases}AQ = CP\\∠BAP=∠BCP\\AB = CB\end {cases}$​∴​$\triangle ABQ≌\triangle CBP(S AS)$​∴​$BQ = BP$​∴​$MP = QM$​​$ $​在​$Rt\triangle P BM$​中，又∵​$∠AP B = 30°$​∴​$BM=\frac 12\ \mathrm {P} B$​∴​$PM=\sqrt {P B^2-BM^2}=\frac {\sqrt 3}2\ \mathrm {P} B$​∴​$PQ=\sqrt 3P B$​∴​$P A = PQ + AQ = P C+\sqrt 3P B$​