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8.如图,矩形ABCD和矩形AEFG关于点A对称.
(1)判断四边形BDEG是不是菱形,并说明理由.
(2)若矩形ABCD的面积为8,求四边形BDEG的面积.
(1)判断四边形BDEG是不是菱形,并说明理由.
(2)若矩形ABCD的面积为8,求四边形BDEG的面积.
答案
8. (1) 四边形BDEG是菱形.理由如下：
∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A对称，
∴AB=AE,AD=AG,BE⊥DG.
∴四边形BDEG是菱形.
(2)
∵矩形ABCD的面积为8，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=4$.
∴$S_{菱形BDEG}=4S_{△ ABD}=16$.
∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A对称，
∴AB=AE,AD=AG,BE⊥DG.
∴四边形BDEG是菱形.
(2)
∵矩形ABCD的面积为8，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=4$.
∴$S_{菱形BDEG}=4S_{△ ABD}=16$.
解析
【分析】
(1) 判定四边形形状可结合已知条件选择合适的判定定理：首先根据矩形关于点A中心对称的性质，可得AB=AE、AD=AG，即对角线BE、DG互相平分，可先确定四边形BDEG是平行四边形；再结合矩形内角为直角，可得BE⊥DG，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可判定结论。
(2) 求四边形面积可先找它和已知面积的矩形的关联：矩形ABCD中，对角线BD将矩形分成面积相等的两个三角形，因此△ABD的面积是矩形ABCD的一半；观察菱形BDEG，两条对角线将其分为4个和△ABD面积相等的直角三角形，因此用△ABD的面积乘4即可得到菱形的面积。
【解析】
(1) 四边形BDEG是菱形，理由如下：
∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A对称，
∴AB=AE，AD=AG，BE⊥DG，
∴四边形BDEG的对角线互相垂直且平分，
∴四边形BDEG是菱形。
(2)
∵矩形ABCD的面积为8，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2} × 8=4$，
∴$S_{菱形BDEG}=4S_{△ ABD}=4 × 4=16$。
【答案】
(1) 四边形BDEG是菱形；
(2) $\boxed{16}$
【知识点】
中心对称的性质；菱形的判定；图形面积计算
【点评】
本题属于几何基础题，主要考查中心对称的性质、菱形的判定以及面积的换算，解题时注意结合图形分析各部分的位置和数量关系，熟练掌握特殊四边形的性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 判定四边形形状可结合已知条件选择合适的判定定理：首先根据矩形关于点A中心对称的性质，可得AB=AE、AD=AG，即对角线BE、DG互相平分，可先确定四边形BDEG是平行四边形；再结合矩形内角为直角，可得BE⊥DG，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可判定结论。
(2) 求四边形面积可先找它和已知面积的矩形的关联：矩形ABCD中，对角线BD将矩形分成面积相等的两个三角形，因此△ABD的面积是矩形ABCD的一半；观察菱形BDEG，两条对角线将其分为4个和△ABD面积相等的直角三角形，因此用△ABD的面积乘4即可得到菱形的面积。
【解析】
(1) 四边形BDEG是菱形，理由如下：
∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A对称，
∴AB=AE，AD=AG，BE⊥DG，
∴四边形BDEG的对角线互相垂直且平分，
∴四边形BDEG是菱形。
(2)
∵矩形ABCD的面积为8，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2} × 8=4$，
∴$S_{菱形BDEG}=4S_{△ ABD}=4 × 4=16$。
【答案】
(1) 四边形BDEG是菱形；
(2) $\boxed{16}$
【知识点】
中心对称的性质；菱形的判定；图形面积计算
【点评】
本题属于几何基础题，主要考查中心对称的性质、菱形的判定以及面积的换算，解题时注意结合图形分析各部分的位置和数量关系，熟练掌握特殊四边形的性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9.如图，$□ ABCO$ 和$□ A'B'C'O$关于点O对称，$∠ BAO$的平分线交BC于点D.若$BD=3,CD=2$，则$□ A'B'C'O$的周长为
16
.答案
9. 16
解析
【分析】
解题时先利用中心对称的性质，可知关于点O对称的两个平行四边形全等，因此求A'B'C'O的周长可转化为求ABCO的周长。再结合平行四边形对边平行的性质、角平分线的定义推导得到等腰三角形，求出平行四边形的邻边长度，最后代入周长公式计算即可。
【解析】
1. 因为ABCO和A'B'C'O关于点O对称，所以两个平行四边形全等，周长相等，只需求出ABCO的周长即可。
2. 在ABCO中，$AO// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ OAD=∠ ADB$。
3. 已知AD平分$∠ BAO$，则$∠ BAD=∠ OAD$，等量代换得$∠ BAD=∠ ADB$，根据“等角对等边”，得$AB=BD=3$。
4. 由$BD=3$，$CD=2$，可得$BC=BD+CD=3+2=5$。
5. 平行四边形周长公式为$C=2×(邻边之和)$，因此ABCO的周长为$2×(AB+BC)=2×(3+5)=16$，即A'B'C'O的周长为16。
【答案】
16
【知识点】
中心对称的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将中心对称、平行四边形性质、角平分线性质结合考查，解题的核心是通过“平行线+角平分线”的常见模型推导出等腰三角形，得到边长后即可求解，是平面几何的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用中心对称的性质，可知关于点O对称的两个平行四边形全等，因此求A'B'C'O的周长可转化为求ABCO的周长。再结合平行四边形对边平行的性质、角平分线的定义推导得到等腰三角形，求出平行四边形的邻边长度，最后代入周长公式计算即可。
【解析】
1. 因为ABCO和A'B'C'O关于点O对称，所以两个平行四边形全等，周长相等，只需求出ABCO的周长即可。
2. 在ABCO中，$AO// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ OAD=∠ ADB$。
3. 已知AD平分$∠ BAO$，则$∠ BAD=∠ OAD$，等量代换得$∠ BAD=∠ ADB$，根据“等角对等边”，得$AB=BD=3$。
4. 由$BD=3$，$CD=2$，可得$BC=BD+CD=3+2=5$。
5. 平行四边形周长公式为$C=2×(邻边之和)$，因此ABCO的周长为$2×(AB+BC)=2×(3+5)=16$，即A'B'C'O的周长为16。
【答案】
16
【知识点】
中心对称的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将中心对称、平行四边形性质、角平分线性质结合考查，解题的核心是通过“平行线+角平分线”的常见模型推导出等腰三角形，得到边长后即可求解，是平面几何的典型题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O。若△BOC和△B'O'C关于点C对称，AC=2，AB'=5，求菱形ABCD的边长。
答案
10.
∵四边形ABCD是菱形，△BOC和△B'O'C关于点C对称，AC=2，
∴OA=OC=O'C=1,OB⊥OC,BC=B'C.
∴O'B'⊥O'C,O'A=AC+O'C=2+1=3.
又AB'=5，
∴$O'B'=\sqrt{AB'^2-O'A^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∴$B'C=\sqrt{O'B'^2+O'C^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$.
∴$BC=B'C=\sqrt{17}$.
故菱形ABCD的边长是$\sqrt{17}$.
∵四边形ABCD是菱形，△BOC和△B'O'C关于点C对称，AC=2，
∴OA=OC=O'C=1,OB⊥OC,BC=B'C.
∴O'B'⊥O'C,O'A=AC+O'C=2+1=3.
又AB'=5，
∴$O'B'=\sqrt{AB'^2-O'A^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∴$B'C=\sqrt{O'B'^2+O'C^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$.
∴$BC=B'C=\sqrt{17}$.
故菱形ABCD的边长是$\sqrt{17}$.
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件联想对应性质：首先菱形的对角线互相垂直且平分，由此可得到OC的长度和OB⊥OC的垂直关系；再根据中心对称的性质，可知对称的两个三角形全等，对应边、对应角相等，进而得到O'C的长度、BC=B'C以及O'B'⊥O'C的垂直关系。接下来先在Rt△AO'B'中用勾股定理求出O'B'的长度，再在Rt△B'O'C中用勾股定理求出B'C的长度，即可得到菱形的边长。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，△BOC和△B'O'C关于点C对称，AC=2，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=1，OB⊥OC，BC=B'C，
∴O'C=OC=1，∠B'O'C=∠BOC=90°，即O'B'⊥O'C，
∴O'A=AC+O'C=2+1=3，
又
∵AB'=5，
∴在Rt△AO'B'中，$O'B'=\sqrt{AB'^2-O'A^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
在Rt△B'O'C中，$B'C=\sqrt{O'B'^2+O'C^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
∴$BC=B'C=\sqrt{17}$，即菱形ABCD的边长为$\sqrt{17}$。
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
菱形的性质；中心对称的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将特殊四边形的性质、图形对称的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是熟练掌握各类性质，快速转化得到直角三角形和对应线段的长度。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件联想对应性质：首先菱形的对角线互相垂直且平分，由此可得到OC的长度和OB⊥OC的垂直关系；再根据中心对称的性质，可知对称的两个三角形全等，对应边、对应角相等，进而得到O'C的长度、BC=B'C以及O'B'⊥O'C的垂直关系。接下来先在Rt△AO'B'中用勾股定理求出O'B'的长度，再在Rt△B'O'C中用勾股定理求出B'C的长度，即可得到菱形的边长。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，△BOC和△B'O'C关于点C对称，AC=2，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=1，OB⊥OC，BC=B'C，
∴O'C=OC=1，∠B'O'C=∠BOC=90°，即O'B'⊥O'C，
∴O'A=AC+O'C=2+1=3，
又
∵AB'=5，
∴在Rt△AO'B'中，$O'B'=\sqrt{AB'^2-O'A^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
在Rt△B'O'C中，$B'C=\sqrt{O'B'^2+O'C^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
∴$BC=B'C=\sqrt{17}$，即菱形ABCD的边长为$\sqrt{17}$。
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
菱形的性质；中心对称的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将特殊四边形的性质、图形对称的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是熟练掌握各类性质，快速转化得到直角三角形和对应线段的长度。
【难度系数】
0.7
11. 如图，先绘制出函数 $y=x^2 -2x +1$（$x≥1$）的图象 $L$，然后作与该图象关于点 $A(1,0)$ 对称的图象 $G$。当 $x=-100$ 时，图象 $G$ 所对应的函数的函数值是（
A.$-12001$
B.$-10201$
C.$-10199$
D.$-9799$
B
）A.$-12001$
B.$-10201$
C.$-10199$
D.$-9799$
答案
11. B 【解析】
∵L与G关于点A对称，
∴L上存在一点与G上横坐标为-100的点关于点A对称.
点(-100,0)与点(1,0)相距1-(-100)=101(个)单位长度.
∵1+101=102,当x=102时,y=10 201,
∴当x=-100时,在图象G中对应的函数值是-10 201.
∵L与G关于点A对称，
∴L上存在一点与G上横坐标为-100的点关于点A对称.
点(-100,0)与点(1,0)相距1-(-100)=101(个)单位长度.
∵1+101=102,当x=102时,y=10 201,
∴当x=-100时,在图象G中对应的函数值是-10 201.
解析
【分析】
遇到两个图象关于某点中心对称的问题，首先回忆中心对称的坐标性质：若两点关于点(a,b)中心对称，则两点的横、纵坐标的平均数分别等于a、b。本题要求x=-100时图象G的函数值，只需先找到该点关于A(1,0)的对称点，该对称点在图象L上，代入L的解析式求出对称点的纵坐标，再利用对称关系反推G上对应点的纵坐标即可。
【解析】
设图象G上横坐标为-100的点为P(-100, y)，点P关于A(1,0)的对称点为P'(x₀, y₀)，由题意可知P'在图象L上。
根据中心对称的中点坐标公式：
横坐标：$\frac{-100 + x₀}{2} = 1$，解得$x₀ = 2×1 + 100 = 102$
纵坐标：$\frac{y + y₀}{2} = 0$，即$y = -y₀$
将$x₀=102$代入图象L的解析式$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，得：
$y₀=(102-1)^2=101^2=10201$
因此$y=-y₀=-10201$，即x=-100时图象G对应的函数值为-10201。
【答案】
B
【知识点】
1.中心对称的坐标特征
2.二次函数求值
3.中点坐标公式
【点评】
本题重点考查中心对称的坐标变换规律与二次函数的函数值计算，解题核心是利用中心对称的性质找到待求点在原函数图象上的对应点，解题时也可先推导G的解析式再代入求值，两种方法都能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
遇到两个图象关于某点中心对称的问题，首先回忆中心对称的坐标性质：若两点关于点(a,b)中心对称，则两点的横、纵坐标的平均数分别等于a、b。本题要求x=-100时图象G的函数值，只需先找到该点关于A(1,0)的对称点，该对称点在图象L上，代入L的解析式求出对称点的纵坐标，再利用对称关系反推G上对应点的纵坐标即可。
【解析】
设图象G上横坐标为-100的点为P(-100, y)，点P关于A(1,0)的对称点为P'(x₀, y₀)，由题意可知P'在图象L上。
根据中心对称的中点坐标公式：
横坐标：$\frac{-100 + x₀}{2} = 1$，解得$x₀ = 2×1 + 100 = 102$
纵坐标：$\frac{y + y₀}{2} = 0$，即$y = -y₀$
将$x₀=102$代入图象L的解析式$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，得：
$y₀=(102-1)^2=101^2=10201$
因此$y=-y₀=-10201$，即x=-100时图象G对应的函数值为-10201。
【答案】
B
【知识点】
1.中心对称的坐标特征
2.二次函数求值
3.中点坐标公式
【点评】
本题重点考查中心对称的坐标变换规律与二次函数的函数值计算，解题核心是利用中心对称的性质找到待求点在原函数图象上的对应点，解题时也可先推导G的解析式再代入求值，两种方法都能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
