1[2025浙江嘉兴调研]下列各点在一次函数$y=-x+2$的图象上的是（）

A.$(-1,1)$
B.$(-2,4)$
C.$(1,3)$
D.$(2,4)$

1.B A选项，当$x=-1$时，$y=1+2=3≠1$，故点$(-1,1)$不在一次函数$y=-x+2$的图象上；B选项，当$x=-2$时，$y=2+2=4$，故点$(-2,4)$在一次函数$y=-x+2$的图象上；C选项，当$x=1$时，$y=-1+2=1≠3$，故点$(1,3)$不在一次函数$y=-x+2$的图象上；D选项，当$x=2$时，$y=-2+2=0≠4$，故点$(2,4)$不在一次函数$y=-x+2$的图象上。故选B.

2[2025浙江宁波质检]满足$|y|=|x|-1$的图象的是（）

2.D 由题可知，$x≥1$或$x≤-1$. 当$y≥0$时，函数图象如图(1). 当$y≤0$时，函数图象如图(2). 综上，$|y|=|x|-1$的图象如图(3)，故选D.

3 如图,函数$y=2x$和$y=ax+4$的图象相交于点$A(m,3)$,则不等式$ax+4＞2x$的解集是 ()

A.$x＞\dfrac{3}{2}$
B.$x＜\dfrac{3}{2}$
C.$x＞3$
D.$x＜3$

3.B 因为函数$y=2x$的图象过点$A(m,3)$，所以$2m=3$，解得$m=\frac{3}{2}$，所以$A(\frac{3}{2},3)$，所以函数$y=2x$和$y=ax+4$的图象交于点$A(\frac{3}{2},3)$，所以根据图象可知不等式$ax+4＞2x$的解集为$x＜\frac{3}{2}$. 故选B.

4 如图，直线$y_1=x+3$分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线$y_2=-x+3$分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P(m，2)是$△ ABC$内部(包括边上)的一点，则m的最大值与最小值之差为 ()

A.1
B.2
C.4
D.6

4.B 因为点$P(m,2)$是$△ABC$内部(包括边上)的一点，所以点P在直线$y=2$上。如图所示，当P为直线$y=2$与直线$y_2$的交点时，m取最大值，当P为直线$y=2$与直线$y_1$的交点时，m取最小值。令$y_2=-x+3$中$y=2$，则$x=1$，令$y_1=x+3$中$y=2$，则$x=-1$，所以m的最大值为1，最小值为-1，所以m的最大值与最小值之差为$1-(-1)=2$. 故选B.

5[2025浙江杭州调研]在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点叫作整点,已知直线$y=tx+2t+2(t＞0)$与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点,则t的取值范围是（）

A.$\frac{1}{2}≤t＜2$
B.$\frac{1}{2}＜t≤1$
C.$1＜t≤2$
D.$\frac{1}{2}≤t≤2$且$t≠1$

5.D 因为$y=tx+2t+2=t(x+2)+2(t＞0)$，所以直线$y=tx+2t+2(t＞0)$经过点$(-2,2)$。如图，当直线经过点$(0,3)$时，直线$y=tx+2t+2(t＞0)$与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则$3=2t+2$，解得$t=\frac{1}{2}$；当直线经过点$(0,6)$时，直线$y=tx+2t+2(t＞0)$与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则$6=2t+2$，解得$t=2$；当直线经过点$(0,4)$时，直线$y=tx+2t+2(t＞0)$与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有三个整点，则$4=2t+2$，解得$t=1$，所以直线$y=tx+2t+2(t＞0)$与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点时，t的取值范围是$\frac{1}{2}≤ t≤ 2$且$t≠1$. 故选D.

6[2025河北中考]在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点.若只将正方形EFGH平移，使其内部(不含边界)有且只有A,B,C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为 ()


A.$( \dfrac{7}{5},\dfrac{11}{5} )$
B.$( \dfrac{8}{5},\dfrac{23}{10} )$
C.$( \dfrac{3}{2},2 )$
D.$( \dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4} )$

6.A 设直线FG的表达式为$y=kx+b$. 因为$F(-1,1)$，$G(0,-1)$，所以$\begin{cases}1=-k+b,\\-1=b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-2,\\b=-1,\end{cases}$ 所以直线FG的表达式为$y=-2x-1$. 由题可得$E(1,2)$. A选项，当E平移后的坐标为$(\frac{7}{5},\frac{11}{5})$时，平移方式为向右平移$\frac{2}{5}$个单位，向上平移$\frac{1}{5}$个单位，所以直线FG平移后的表达式为$y=-2(x-\frac{2}{5})-1+\frac{1}{5}=-2x$，此时FG经过原点，FE经过整点$(1,2)$，EH经过整点$(2,1)$，GH经过整点$(2,0)$，结合图形易知此时符合题意. B选项，当E平移后的坐标为$(\frac{8}{5},\frac{23}{10})$时，平移方式为向右平移$\frac{3}{5}$个单位，向上平移$\frac{3}{10}$个单位，所以直线FG平移后的表达式为$y=-2(x-\frac{3}{5})-1+\frac{3}{10}=-2x+\frac{1}{2}$，此时原点在FG下方，EH在整点$(2,1)$上方，结合图形易知此时不符合题意. C选项，当E平移后的坐标为$(\frac{3}{2},2)$时，平移方式为向右平移$\frac{1}{2}$个单位，结合图形易知此时整点$(2,0)$在正方形EFGH内部，不符合题意. D选项，当E平移后的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{9}{4})$时，平移方式为向右平移$\frac{1}{2}$个单位，向上平移$\frac{1}{4}$个单位，所以直线FG平移后的表达式为$y=-2(x-\frac{1}{2})-1+\frac{1}{4}=-2x+\frac{1}{4}$，结合图形易知此时整点$(2,1)$在正方形EFGH内部，不符合题意. 故选A.

二、填空题(每小题5分,共20分)
7[2025江苏南京期末]已知y是x的一次函数,函数y与自变量x的部分对应值如下表所示.

比较大小:m n.(填“＞”“＜”或“=”)

7.＞ 由表知，当$x=-3$时，$y=5$；当$x=-1$时，$y=3$. 因为$-3＜-1$，$5＞3$，所以y随x的增大而减小. 又因为$1＜3$，所以$m＞n$. 故答案为＞.

8[2026浙江杭州质检]与直线$y=2x-1$关于y轴对称的直线的函数表达式为.

8.$y=-2x-1$ 设与直线$y=2x-1$关于y轴对称的直线的函数表达式为$y=kx+b$. 在$y=2x-1$中，令$x=1$，则$y=1$；令$y=0$，则$x=\frac{1}{2}$，所以点$(1,1),(\frac{1}{2},0)$在直线$y=2x-1$上. 因为这两个点关于y轴的对称点是$(-1,1),(-\frac{1}{2},0)$，所以点$(-1,1),(-\frac{1}{2},0)$在直线$y=kx+b$上，则$\begin{cases}1=-k+b,\\0=-\frac{1}{2}k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-2,\\b=-1,\end{cases}$ 所以$y=-2x-1$. 故答案为$y=-2x-1$.
一题多解
设直线AB,AC和BC的表达式，用待定系数法分别求出各表达式中k,b的值，代入k+b比较大小即可求解.
刷有所得
直线$y=kx+b$（k，b为常数，$k≠0$）关于y轴对称的直线的表达式为$y=-kx+b$.

9 在“探索一次函数$y=kx+b$的系数$k,b$与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：$A(0,2),B(2,3),C(3,1)$。同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式$y_1=k_1x+b_1,y_2=k_2x+b_2,y_3=k_3x+b_3$。分别计算$k_1+b_1,k_2+b_2,k_3+b_3$的值，其中最大的值等于。

9.5 如图，作直线AB，AC，BC，直线$x=1$. 设直线AB的表达式为$y_1=k_1x+b_1$，直线AC的表达式为$y_2=k_2x+b_2$，直线BC的表达式为$y_3=k_3x+b_3$. 由图可知，直线$x=1$与直线BC的交点所在位置最高，即当$x=1$时，$y_1=k_1+b_1$，$y_2=k_2+b_2$，$y_3=k_3+b_3$中，$y_3=k_3+b_3$的值最大. 将点$B(2,3)$，$C(3,1)$代入$y_3=k_3x+b_3$，得$\begin{cases}2k_3+b_3=3,\\3k_3+b_3=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_3=-2,\\b_3=7,\end{cases}$ 所以$k_3+b_3=5$，即$k_1+b_1$，$k_2+b_2$，$k_3+b_3$中最大的值为$k_3+b_3=5$. 故答案为5.

10 新考向传统文化 《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如图，直线$l_1:y=\frac{1}{2}x+1$与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线$l_2:y=x$于点$O_1$，过点$O_1$作y轴的平行线交直线$l_1$于点$A_1$，以此类推，令$OA=a_1$，$O_1A_1=a_2$，…，$O_{n-1}A_{n-1}=a_n$，若$a_1+a_2+\dots+a_n ≤ S$对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为。

10.2 把$x=0$代入$y=\frac{1}{2}x+1$，得$y=1$，所以$A(0,1)$，所以$OA=a_1=1$；把$y=1$代入$y=x$，得$x=1$，所以$O_1(1,1)$；把$x=1$代入$y=\frac{1}{2}x+1$，得$y=\frac{1}{2}×1+1=\frac{3}{2}$，所以$A_1(1,\frac{3}{2})$，所以$O_1A_1=a_2=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$；把$y=\frac{3}{2}$代入$y=x$，得$x=\frac{3}{2}$，所以$O_2(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$；把$x=\frac{3}{2}$代入$y=\frac{1}{2}x+1$，得$y=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}+1=\frac{7}{4}$，所以$A_2(\frac{3}{2},\frac{7}{4})$，所以$O_2A_2=a_3=\frac{7}{4}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}$；…，所以$O_{n-1}A_{n-1}=a_n=(\frac{1}{2})^{n-1}$. 因为$a_1+a_2+…+a_n ≤ S$对任意大于1的整数n恒成立，即$S≥ a_1+a_2+…+a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$，所以S的最小值为2，故答案为2.