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1. 如果$(m+2)x^{|m|}+mx-1=0$是关于$x$的一元二次方程，那么$m$的值为 （
A.2或－2
B.2
C.－2
D.0
B
）A.2或－2
B.2
C.－2
D.0
答案
1.B
解析
【分析】
要解这道题，首先需明确一元二次方程的核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数要求列出关于m的绝对值方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据一元二次方程的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2：即$\left|m\right|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0：即$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
综合两个条件，可得$m=2$，因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题属于基础易错题，解题时很容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误将$m=-2$也计入结果，牢记一元二次方程定义中二次项系数非0的要求是解题关键。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先需明确一元二次方程的核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数要求列出关于m的绝对值方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据一元二次方程的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2：即$\left|m\right|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0：即$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
综合两个条件，可得$m=2$，因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题属于基础易错题，解题时很容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误将$m=-2$也计入结果，牢记一元二次方程定义中二次项系数非0的要求是解题关键。
【难度系数】
0.7
2. 关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$化为一般形式后不含$x$的一次项，则$m$的值为
-3
。答案
2.$-3$
解析
【分析】
首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），解题思路分为三步：第一步先将给定的方程移项、合并同类项，化为一般形式；第二步根据“不含$x$的一次项”可得一次项系数为0，同时结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到关于$m$的方程和不等式；第三步求解并筛选出符合条件的$m$值即可。
【解析】
第一步：将原方程化为一般形式
将$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$移项，合并同类项得：
$(m-3)x^2 + (m^2 - 9)x - 5 = 0$
第二步：根据条件列关系式
∵ 方程是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$m-3\ne0$，解得$m\ne3$；
又
∵ 方程不含$x$的一次项，
∴ 一次项系数为0，即$m^2 -9=0$，解得$m=\pm3$。
第三步：筛选$m$的取值
结合上述两个条件，$m\ne3$且$m=\pm3$，因此$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 合并同类项
【点评】
本题主要考查一元二次方程的相关概念，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含限制条件，直接由一次项系数为0得到$m=\pm3$，做题时要注意审题，全面考虑题目给出的所有条件（包括隐含条件）。
【难度系数】
0.7
首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），解题思路分为三步：第一步先将给定的方程移项、合并同类项，化为一般形式；第二步根据“不含$x$的一次项”可得一次项系数为0，同时结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到关于$m$的方程和不等式；第三步求解并筛选出符合条件的$m$值即可。
【解析】
第一步：将原方程化为一般形式
将$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$移项，合并同类项得：
$(m-3)x^2 + (m^2 - 9)x - 5 = 0$
第二步：根据条件列关系式
∵ 方程是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$m-3\ne0$，解得$m\ne3$；
又
∵ 方程不含$x$的一次项，
∴ 一次项系数为0，即$m^2 -9=0$，解得$m=\pm3$。
第三步：筛选$m$的取值
结合上述两个条件，$m\ne3$且$m=\pm3$，因此$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 合并同类项
【点评】
本题主要考查一元二次方程的相关概念，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含限制条件，直接由一次项系数为0得到$m=\pm3$，做题时要注意审题，全面考虑题目给出的所有条件（包括隐含条件）。
【难度系数】
0.7
3.(青海中考)若$x=1$是一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个根，则$c$的值为 。
答案
3.3
解析
【分析】
解题思路：根据一元二次方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此我们可以将已知的根x=1代入原方程，得到一个关于c的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出c的值。
【解析】
∵ $x=1$是一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个根
∴ 将$x=1$代入方程，等式成立，即：
$\quad 1^2 -4×1 +c=0$
计算得：$1-4+c=0$
化简得：$-3+c=0$
解得：$c=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的概念的应用，只要理解方程的根一定满足对应的方程，代入计算即可得分，计算量小，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
解题思路：根据一元二次方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此我们可以将已知的根x=1代入原方程，得到一个关于c的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出c的值。
【解析】
∵ $x=1$是一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个根
∴ 将$x=1$代入方程，等式成立，即：
$\quad 1^2 -4×1 +c=0$
计算得：$1-4+c=0$
化简得：$-3+c=0$
解得：$c=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的概念的应用，只要理解方程的根一定满足对应的方程，代入计算即可得分，计算量小，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
4. 用配方法解一元二次方程$x^2 -6x -4=0$，下列变形正确的是（
A.$(x-6)^2=32$
B.$(x-6)^2=40$
C.$(x-3)^2=5$
D.$(x-3)^2=13$
D
）A.$(x-6)^2=32$
B.$(x-6)^2=40$
C.$(x-3)^2=5$
D.$(x-3)^2=13$
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：①先把常数项移到等号右侧；②本题二次项系数为1，直接在等式两边同时加上一次项系数一半的平方；③将等式左侧整理为完全平方形式，计算右侧结果后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
对原方程$x^2 -6x -4=0$进行配方：
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 -6x = 4$；
第二步：配方，一次项系数为$-6$，它的一半是$-3$，平方为$9$，在等式两边同时加$9$，得：
$x^2 -6x +9 = 4 +9$；
第三步：将左侧写成完全平方形式，得$(x-3)^2=13$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，解题时需注意移项要变号，计算一次项系数一半的平方时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：①先把常数项移到等号右侧；②本题二次项系数为1，直接在等式两边同时加上一次项系数一半的平方；③将等式左侧整理为完全平方形式，计算右侧结果后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
对原方程$x^2 -6x -4=0$进行配方：
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 -6x = 4$；
第二步：配方，一次项系数为$-6$，它的一半是$-3$，平方为$9$，在等式两边同时加$9$，得：
$x^2 -6x +9 = 4 +9$；
第三步：将左侧写成完全平方形式，得$(x-3)^2=13$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，解题时需注意移项要变号，计算一次项系数一半的平方时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 解下列方程：
(1)$(2x-3)^2=x^2$；
(2)$3x^2-5x-2=0$；
(3)$3x(x-1)=2-2x$。
(1)$(2x-3)^2=x^2$；
(2)$3x^2-5x-2=0$；
(3)$3x(x-1)=2-2x$。
答案
5.解:(1)$2x-3=\pm x$,$2x-3=x$,或$2x-3=-x$. $\therefore x_1=3$,$x_2=1$.
(2)$\because a=3,b=-5,c=-2$,$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=49＞0$. 方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$, 即$x_1=2$,$x_2=-\frac{1}{3}$.
(3)整理,得$3x(x-1)+2(x-1)=0$. 左边分解因式,得$(x-1)(3x+2)=0$. 于是得$x-1=0$,或$3x+2=0$,$x_1=1$,$x_2=-\frac{2}{3}$.
(2)$\because a=3,b=-5,c=-2$,$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=49＞0$. 方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$, 即$x_1=2$,$x_2=-\frac{1}{3}$.
(3)整理,得$3x(x-1)+2(x-1)=0$. 左边分解因式,得$(x-1)(3x+2)=0$. 于是得$x-1=0$,或$3x+2=0$,$x_1=1$,$x_2=-\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这三道题均为一元二次方程求解，可根据方程特征选择最简便的解法：
1. 第(1)题左右两边都是完全平方式，可通过直接开平方降次，转化为两个一元一次方程求解；
2. 第(2)题是一元二次方程的一般形式，可先计算判别式判断根的情况，再用求根公式求解；
3. 第(3)题左右两边都含和$(x-1)$相关的项，可先移项提取公因式$(x-1)$，用因式分解法求解，避免展开增大计算量。
【解析】
(1) 对等式两边直接开平方，得$2x-3=\pm x$，
即$2x-3=x$，或$2x-3=-x$，
分别解两个一元一次方程，得$x_1=3$，$x_2=1$。
(2) 该方程为一元二次方程一般形式，其中$a=3$，$b=-5$，$c=-2$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=25+24=49＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得
$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$，
即$x_1=\frac{5+7}{6}=2$，$x_2=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$。
(3) 移项整理得$3x(x-1)+2(x-1)=0$，
对左边提取公因式$(x-1)$分解因式，得$(x-1)(3x+2)=0$，
根据乘积为0的因式性质，得$x-1=0$，或$3x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=1$；(2)$x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{3}$；(3)$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
直接开平方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时可根据方程结构优先选择简便解法，能有效降低计算量、提升正确率，需熟练掌握不同解法的适用场景和运算规则。
【难度系数】
0.8
这三道题均为一元二次方程求解，可根据方程特征选择最简便的解法：
1. 第(1)题左右两边都是完全平方式，可通过直接开平方降次，转化为两个一元一次方程求解；
2. 第(2)题是一元二次方程的一般形式，可先计算判别式判断根的情况，再用求根公式求解；
3. 第(3)题左右两边都含和$(x-1)$相关的项，可先移项提取公因式$(x-1)$，用因式分解法求解，避免展开增大计算量。
【解析】
(1) 对等式两边直接开平方，得$2x-3=\pm x$，
即$2x-3=x$，或$2x-3=-x$，
分别解两个一元一次方程，得$x_1=3$，$x_2=1$。
(2) 该方程为一元二次方程一般形式，其中$a=3$，$b=-5$，$c=-2$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=25+24=49＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得
$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$，
即$x_1=\frac{5+7}{6}=2$，$x_2=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$。
(3) 移项整理得$3x(x-1)+2(x-1)=0$，
对左边提取公因式$(x-1)$分解因式，得$(x-1)(3x+2)=0$，
根据乘积为0的因式性质，得$x-1=0$，或$3x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=1$；(2)$x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{3}$；(3)$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
直接开平方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时可根据方程结构优先选择简便解法，能有效降低计算量、提升正确率，需熟练掌握不同解法的适用场景和运算规则。
【难度系数】
0.8
6.(安徽中考)下列方程中,有两个不相等的实数根的是 (
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
D
)A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
答案
6.D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到根的判别式。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的性质：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。因此我们只需分别计算四个选项中方程的$\Delta$值，选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，根的情况与$\Delta$的关系为：
①$\Delta＞0\iff$方程有两个不相等的实数根；
②$\Delta=0\iff$方程有两个相等的实数根；
③$\Delta＜0\iff$方程没有实数根。
逐个计算各选项的判别式：
A. 方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要牢记判别式与根的个数的对应关系，准确代入系数计算即可得分，是一元二次方程章节的常见考点。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到根的判别式。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的性质：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。因此我们只需分别计算四个选项中方程的$\Delta$值，选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，根的情况与$\Delta$的关系为：
①$\Delta＞0\iff$方程有两个不相等的实数根；
②$\Delta=0\iff$方程有两个相等的实数根；
③$\Delta＜0\iff$方程没有实数根。
逐个计算各选项的判别式：
A. 方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要牢记判别式与根的个数的对应关系，准确代入系数计算即可得分，是一元二次方程章节的常见考点。
【难度系数】
0.8
7.(雅安中考)若关于x的一元二次方程$(m-3)x^2+6x+3=0$有两个实数根，则m的取值范围是（
A.$m＞6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≥6$
D.$m＜6$且$m≠3$
B
）A.$m＞6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≥6$
D.$m＜6$且$m≠3$
答案
7.B
解析
【分析】
本题需要结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件求解m的取值范围。首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，这是隐含前提；其次，方程有两个实数根（包含两个相等实数根和两个不相等实数根两种情况），说明根的判别式Δ≥0，联立两个条件即可得到m的取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$m-3≠0$，解得$m≠3$。
第二步：已知方程有两个实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$，代入得：
$\Delta=6^2 - 4×(m-3)×3≥0$
计算化简：
$36 - 12(m-3)≥0$
$36 -12m +36≥0$
$72 -12m≥0$
移项得$12m≤72$，解得$m≤6$。
第三步：结合两个条件，可得m的取值范围是$m≤6$且$m≠3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的常考基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，只通过判别式求解范围导致错选，解题时要注意结合多个限定条件综合判断。
【难度系数】
0.7
本题需要结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件求解m的取值范围。首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，这是隐含前提；其次，方程有两个实数根（包含两个相等实数根和两个不相等实数根两种情况），说明根的判别式Δ≥0，联立两个条件即可得到m的取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$m-3≠0$，解得$m≠3$。
第二步：已知方程有两个实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$，代入得：
$\Delta=6^2 - 4×(m-3)×3≥0$
计算化简：
$36 - 12(m-3)≥0$
$36 -12m +36≥0$
$72 -12m≥0$
移项得$12m≤72$，解得$m≤6$。
第三步：结合两个条件，可得m的取值范围是$m≤6$且$m≠3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的常考基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，只通过判别式求解范围导致错选，解题时要注意结合多个限定条件综合判断。
【难度系数】
0.7
8.（河南中考）若关于x的方程$\frac{1}{2}x^2 - x + c = 0$有两个相等的实数根，则c的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
8.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，解题核心是运用一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系求解。首先明确：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。接下来先找出题干方程中对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项的值，再代入$\Delta=0$的等式，解关于$c$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - x + c = 0$，其中二次项系数$a=\frac{1}{2}$，一次项系数$b=-1$，常数项为$c$。
因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式$\Delta=0$，即：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×\frac{1}{2}× c = 0$
化简得：
$1 - 2c = 0$
移项解得：
$c=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时需准确识别方程各项系数，代入公式计算即可，要牢记判别式的取值对应根的不同情况，避免记混出错。
【难度系数】
0.85
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，解题核心是运用一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系求解。首先明确：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。接下来先找出题干方程中对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项的值，再代入$\Delta=0$的等式，解关于$c$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - x + c = 0$，其中二次项系数$a=\frac{1}{2}$，一次项系数$b=-1$，常数项为$c$。
因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式$\Delta=0$，即：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×\frac{1}{2}× c = 0$
化简得：
$1 - 2c = 0$
移项解得：
$c=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时需准确识别方程各项系数，代入公式计算即可，要牢记判别式的取值对应根的不同情况，避免记混出错。
【难度系数】
0.85
9.【开放性试题】(驻马店泌阳县期末)若关于$x$的方程$x^2 + 3x + c = 0$没有实数根，则$c$的值可以是
3(答案不唯一)
（写出一个即可）。答案
9.3(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根。解题思路如下：第一步先确定方程$x^2 + 3x + c = 0$的各项系数，第二步代入判别式列出关于c的不等式，第三步解不等式得到c的取值范围，第四步在取值范围内任选一个数值即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 3x + c = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项为$c$。
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
代入系数得：$3^2 - 4×1× c ＜ 0$，
计算得：$9 - 4c ＜ 0$，
移项得：$-4c ＜ -9$，
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：$c ＞ \frac{9}{4} = 2.25$。
因此只要取大于2.25的数都满足条件，例如取$c=3$。
【答案】
3（答案不唯一，大于$\frac{9}{4}$即可）
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于开放性基础题，考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意解带负系数的不等式时，不等号方向需要改变，只要符合取值范围的答案都正确。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根。解题思路如下：第一步先确定方程$x^2 + 3x + c = 0$的各项系数，第二步代入判别式列出关于c的不等式，第三步解不等式得到c的取值范围，第四步在取值范围内任选一个数值即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 3x + c = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项为$c$。
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
代入系数得：$3^2 - 4×1× c ＜ 0$，
计算得：$9 - 4c ＜ 0$，
移项得：$-4c ＜ -9$，
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：$c ＞ \frac{9}{4} = 2.25$。
因此只要取大于2.25的数都满足条件，例如取$c=3$。
【答案】
3（答案不唯一，大于$\frac{9}{4}$即可）
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于开放性基础题，考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意解带负系数的不等式时，不等号方向需要改变，只要符合取值范围的答案都正确。
【难度系数】
0.8
10.(南充中考)设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
10.解:(1)把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,$\therefore m=\pm\sqrt{6}$. $\therefore (x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$. $\therefore x_1=-1$,$x_2=4$. $\therefore x_2=4$,$m=\pm\sqrt{6}$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$. $\because \Delta=(-3)^2-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根. $\because$方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根为$x_1,x_2$,$\therefore x_1+x_2=3$,$x_1· x_2=2-m^2$. $\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1· x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$. $\because m^2≥0$,$\therefore -m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$. $\because \Delta=(-3)^2-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根. $\because$方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根为$x_1,x_2$,$\therefore x_1+x_2=3$,$x_1· x_2=2-m^2$. $\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1· x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$. $\because m^2≥0$,$\therefore -m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
解析
【分析】
(1) 已知方程的一个根，先将已知根代入原方程即可求出参数$m$的值，再把$m$的值代回原方程，解一元二次方程就能得到另一个根，也可直接用根与系数的关系快速求另一根。
(2) 要证明代数式的取值范围，先把原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将待证明的代数式展开，把两根和、两根积整体代入化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，$\therefore m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程，得$(x-1)(x-2)=6$，整理为一般式：$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般式：$x^2-3x+2-m^2=0$，
$\because x_1,x_2$是该方程的两根，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=3$，$x_1· x_2=2-m^2$，
将待证式展开：$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，
代入两根和与积得：原式$=2-m^2 - 3 +1 = -m^2$，
$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 结论成立，$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，第一问考查方程根的基础应用，运算简单；第二问需要掌握代数式变形技巧，运用整体代入思想结合平方性质证明，是该章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
(1) 已知方程的一个根，先将已知根代入原方程即可求出参数$m$的值，再把$m$的值代回原方程，解一元二次方程就能得到另一个根，也可直接用根与系数的关系快速求另一根。
(2) 要证明代数式的取值范围，先把原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将待证明的代数式展开，把两根和、两根积整体代入化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，$\therefore m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程，得$(x-1)(x-2)=6$，整理为一般式：$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般式：$x^2-3x+2-m^2=0$，
$\because x_1,x_2$是该方程的两根，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=3$，$x_1· x_2=2-m^2$，
将待证式展开：$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，
代入两根和与积得：原式$=2-m^2 - 3 +1 = -m^2$，
$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 结论成立，$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，第一问考查方程根的基础应用，运算简单；第二问需要掌握代数式变形技巧，运用整体代入思想结合平方性质证明，是该章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
