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1 已知一个函数的函数值$y$与自变量$x$的几组对应值如下表所示，则该函数的表达式可以是（
A.$y=3x$
B.$y=-3x+3$
C.$y=3x-3$
D.$y=3x+3$
D
）A.$y=3x$
B.$y=-3x+3$
C.$y=3x-3$
D.$y=3x+3$
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道求一次函数表达式的选择题，有两种常用解题思路：一是代入验证法，将表格中给出的x的取值分别代入四个选项，计算对应的y值，和表格中的y值对比，全部符合的就是正确选项，这种方法做选择题更高效；二是待定系数法，设一次函数表达式为y=kx+b，选取表格中两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到函数表达式，这是求解一次函数表达式的通用方法。
【解析】
方法一：代入验证法
当x=1时，表格中对应y=6：
选项A：$y=3×1=3≠6$，排除；
选项B：$y=-3×1+3=0≠6$，排除；
选项C：$y=3×1-3=0≠6$，排除；
选项D：$y=3×1+3=6$，符合要求。
再验证其余数值：x=2时，$y=3×2+3=9$，和表格一致；x=3时，$y=3×3+3=12$，也和表格一致，因此D正确。
方法二：待定系数法
设该一次函数的表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将$\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}$和$\begin{cases}x=2\\y=9\end{cases}$代入表达式，得二元一次方程组：
$\begin{cases} k + b = 6 \\ 2k + b = 9 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=3$，
将$k=3$代入$k+b=6$，得$3+b=6$，解得$b=3$，
因此函数表达式为$y=3x+3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求一次函数表达式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数解析式确定的基础题型，既可以通过代入排除法快速得出答案，也可以通过待定系数法规范求解，核心考查对一次函数相关基础概念的掌握，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.9
这是一道求一次函数表达式的选择题，有两种常用解题思路：一是代入验证法，将表格中给出的x的取值分别代入四个选项，计算对应的y值，和表格中的y值对比，全部符合的就是正确选项，这种方法做选择题更高效；二是待定系数法，设一次函数表达式为y=kx+b，选取表格中两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到函数表达式，这是求解一次函数表达式的通用方法。
【解析】
方法一：代入验证法
当x=1时，表格中对应y=6：
选项A：$y=3×1=3≠6$，排除；
选项B：$y=-3×1+3=0≠6$，排除；
选项C：$y=3×1-3=0≠6$，排除；
选项D：$y=3×1+3=6$，符合要求。
再验证其余数值：x=2时，$y=3×2+3=9$，和表格一致；x=3时，$y=3×3+3=12$，也和表格一致，因此D正确。
方法二：待定系数法
设该一次函数的表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将$\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}$和$\begin{cases}x=2\\y=9\end{cases}$代入表达式，得二元一次方程组：
$\begin{cases} k + b = 6 \\ 2k + b = 9 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=3$，
将$k=3$代入$k+b=6$，得$3+b=6$，解得$b=3$，
因此函数表达式为$y=3x+3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求一次函数表达式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数解析式确定的基础题型，既可以通过代入排除法快速得出答案，也可以通过待定系数法规范求解，核心考查对一次函数相关基础概念的掌握，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.9
2 已知一次函数的图象过点$(2,-3)$和点$(-1,3)$，则这个函数的表达式为
$y=-2x+1$
.答案
2. $y=-2x+1$
解析
【分析】
要确定一次函数的表达式，我们采用待定系数法求解：第一步，先写出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，其中$k、b$是待求的未知系数；第二步，由于函数图象上的点的坐标满足函数表达式，因此将题目给出的两个点的坐标分别代入一般式，就能得到关于$k、b$的二元一次方程组；第三步，解方程组求出$k、b$的值；第四步，将求出的$k、b$代回一般式，即可得到所求的一次函数表达式。
【解析】
设这个一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k、b$为常数，且$k≠0$）。
将点$(2,-3)$和$(-1,3)$分别代入表达式，可得：
$\begin{cases}2k + b = -3 \\-k + b = 3\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得：
$2k + b - (-k + b) = -3 - 3$
化简得$3k = -6$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$-k + b = 3$，得：
$2 + b = 3$，解得$b=1$。
将$k=-2$，$b=1$代回$y=kx+b$，得函数表达式为$y=-2x+1$。
【答案】
$y=-2x+1$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数图象点的坐标特征
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数部分的基础常考题，核心考查对待定系数法的掌握，解题关键是理解函数图象上的点的坐标满足函数解析式，通过列、解二元一次方程组即可求出未知系数，运算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定一次函数的表达式，我们采用待定系数法求解：第一步，先写出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，其中$k、b$是待求的未知系数；第二步，由于函数图象上的点的坐标满足函数表达式，因此将题目给出的两个点的坐标分别代入一般式，就能得到关于$k、b$的二元一次方程组；第三步，解方程组求出$k、b$的值；第四步，将求出的$k、b$代回一般式，即可得到所求的一次函数表达式。
【解析】
设这个一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k、b$为常数，且$k≠0$）。
将点$(2,-3)$和$(-1,3)$分别代入表达式，可得：
$\begin{cases}2k + b = -3 \\-k + b = 3\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得：
$2k + b - (-k + b) = -3 - 3$
化简得$3k = -6$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$-k + b = 3$，得：
$2 + b = 3$，解得$b=1$。
将$k=-2$，$b=1$代回$y=kx+b$，得函数表达式为$y=-2x+1$。
【答案】
$y=-2x+1$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数图象点的坐标特征
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数部分的基础常考题，核心考查对待定系数法的掌握，解题关键是理解函数图象上的点的坐标满足函数解析式，通过列、解二元一次方程组即可求出未知系数，运算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
3 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $y=2x+b$ 的图象分别与 $x$ 轴、$y$ 轴相交于点 $A(\dfrac{1}{2},0),B$,点 $C$ 的坐标是$(3,0)$.求:
(1) 点 $B$ 的坐标;
(2) 直线 $BC$ 对应的函数表达式.
(1) 点 $B$ 的坐标;
(2) 直线 $BC$ 对应的函数表达式.
答案
3. (1) 因为一次函数 $y=2x+b$ 的图象与 $x$ 轴相交于点$A(\dfrac{1}{2},0)$,所以 $2×\dfrac{1}{2}+b=0$,解得 $b=-1$. 所以 $y=2x-1$. 令$x=0$,则 $y=-1$,所以 $B(0,-1)$ (2) 设直线 $BC$ 对应的函数表达式为 $y = kx + b$. 把 $B(0,-1), C(3,0)$ 代入, 得$\begin{cases}b=-1,\\3k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\dfrac{1}{3},\\b=-1.\end{cases}$ 所以直线 $BC$ 对应的函数表达式为$y=\dfrac{1}{3}x-1$
解析
【分析】
（1）求点B坐标的思路：点B是一次函数$y=2x+b$与y轴的交点，首先需要确定该一次函数的完整解析式。已知函数图象过点$A(\frac{1}{2},0)$，将A点坐标代入函数表达式即可求出参数$b$，得到完整函数式；再令$x=0$，计算得到的$y$值就是B点的纵坐标，结合y轴上点的横坐标为0，即可得到B点坐标。
（2）求直线BC函数表达式的思路：使用待定系数法，先设直线BC的表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，已知B、C两点的坐标，将两点坐标分别代入设好的表达式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可得到直线BC的函数表达式。
【解析】
(1) 因为一次函数 $y=2x+b$ 的图象与 $x$ 轴相交于点$A(\dfrac{1}{2},0)$，将点A坐标代入函数式得：
$2×\dfrac{1}{2}+b=0$，解得 $b=-1$。
所以该一次函数的表达式为 $y=2x-1$。
点B是函数与y轴的交点，令$x=0$，则 $y=2×0 -1=-1$，所以点B的坐标为$(0,-1)$。
(2) 设直线 $BC$ 对应的函数表达式为 $y = kx + b\ (k≠0)$。
把 $B(0,-1), C(3,0)$ 分别代入表达式，得：
$\begin{cases}b=-1,\\3k+b=0,\end{cases}$
将$b=-1$代入第二个方程，得$3k -1=0$，解得$k=\dfrac{1}{3}$，
所以方程组的解为 $\begin{cases}k=\dfrac{1}{3},\\b=-1.\end{cases}$
因此直线 $BC$ 对应的函数表达式为$y=\dfrac{1}{3}x-1$。
【答案】
(1) $B(0,-1)$
(2) $y=\dfrac{1}{3}x-1$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，二元一次方程组求解
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是熟练掌握将点坐标代入函数表达式求解未知参数的方法，是后续解决一次函数综合问题的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
（1）求点B坐标的思路：点B是一次函数$y=2x+b$与y轴的交点，首先需要确定该一次函数的完整解析式。已知函数图象过点$A(\frac{1}{2},0)$，将A点坐标代入函数表达式即可求出参数$b$，得到完整函数式；再令$x=0$，计算得到的$y$值就是B点的纵坐标，结合y轴上点的横坐标为0，即可得到B点坐标。
（2）求直线BC函数表达式的思路：使用待定系数法，先设直线BC的表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，已知B、C两点的坐标，将两点坐标分别代入设好的表达式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可得到直线BC的函数表达式。
【解析】
(1) 因为一次函数 $y=2x+b$ 的图象与 $x$ 轴相交于点$A(\dfrac{1}{2},0)$，将点A坐标代入函数式得：
$2×\dfrac{1}{2}+b=0$，解得 $b=-1$。
所以该一次函数的表达式为 $y=2x-1$。
点B是函数与y轴的交点，令$x=0$，则 $y=2×0 -1=-1$，所以点B的坐标为$(0,-1)$。
(2) 设直线 $BC$ 对应的函数表达式为 $y = kx + b\ (k≠0)$。
把 $B(0,-1), C(3,0)$ 分别代入表达式，得：
$\begin{cases}b=-1,\\3k+b=0,\end{cases}$
将$b=-1$代入第二个方程，得$3k -1=0$，解得$k=\dfrac{1}{3}$，
所以方程组的解为 $\begin{cases}k=\dfrac{1}{3},\\b=-1.\end{cases}$
因此直线 $BC$ 对应的函数表达式为$y=\dfrac{1}{3}x-1$。
【答案】
(1) $B(0,-1)$
(2) $y=\dfrac{1}{3}x-1$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，二元一次方程组求解
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是熟练掌握将点坐标代入函数表达式求解未知参数的方法，是后续解决一次函数综合问题的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
4 研究表明，某种植物在一定的生长阶段，其躯干的高度$y(\mathrm{cm})$是生长时间$x(\mathrm{月})$的一次函数，部分数据如图所示，则该植物的躯干高度$y$与生长时间$x$之间的函数表达式为（
A.$y=5x+50$
B.$y=5x+45$
C.$y=10x+40$
D.$y=10x+50$
D
）A.$y=5x+50$
B.$y=5x+45$
C.$y=10x+40$
D.$y=10x+50$
答案
4. D
解析
【分析】
题目明确躯干高度$y$是生长时间$x$的一次函数，因此用待定系数法求解即可。首先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再从图中提取两组对应的$x、y$值，代入解析式得到二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值即可得到函数表达式，最后可代入第三组数据验证结果是否正确。
【解析】
设$y$与$x$的函数表达式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
从图中可知：当$x=1$时，$y=60$；当$x=2$时，$y=70$，将两组值代入解析式得：
$\begin{cases}k + b = 60 \\2k + b = 70\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=10$，将$k=10$代入$k + b = 60$，得$10 + b = 60$，解得$b=50$。
验证：当$x=3$时，$y=10×3 + 50 = 80$，与图中生长三个月的高度一致，结果正确。
因此函数表达式为$y=10x+50$。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组求解；一次函数实际应用
【点评】
本题结合实际情境考查一次函数解析式的求解，核心是掌握待定系数法的应用步骤，解题时可通过额外的已知点验证结果，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
题目明确躯干高度$y$是生长时间$x$的一次函数，因此用待定系数法求解即可。首先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再从图中提取两组对应的$x、y$值，代入解析式得到二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值即可得到函数表达式，最后可代入第三组数据验证结果是否正确。
【解析】
设$y$与$x$的函数表达式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
从图中可知：当$x=1$时，$y=60$；当$x=2$时，$y=70$，将两组值代入解析式得：
$\begin{cases}k + b = 60 \\2k + b = 70\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=10$，将$k=10$代入$k + b = 60$，得$10 + b = 60$，解得$b=50$。
验证：当$x=3$时，$y=10×3 + 50 = 80$，与图中生长三个月的高度一致，结果正确。
因此函数表达式为$y=10x+50$。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组求解；一次函数实际应用
【点评】
本题结合实际情境考查一次函数解析式的求解，核心是掌握待定系数法的应用步骤，解题时可通过额外的已知点验证结果，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
5 教材P132习题T5变式 [2024山西]生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长$y$(cm)是尾长$x$(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则$y$与$x$之间的函数表达式为（
A.$y=7.5x+0.5$
B.$y=7.5x-0.5$
C.$y=15x$
D.$y=15x+45.5$
A
）A.$y=7.5x+0.5$
B.$y=7.5x-0.5$
C.$y=15x$
D.$y=15x+45.5$
答案
5. A
解析
【分析】
已知体长y是尾长x的一次函数，我们可以先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），再从表格中选取两组对应的x、y值代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，最后将第三组数据代入验证表达式是否正确，即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
选取表格中两组数据$\begin{cases}x=6\\y=45.5\end{cases}$和$\begin{cases}x=8\\y=60.5\end{cases}$代入表达式，得：
$\begin{cases}6k+b=45.5&①\\8k+b=60.5&②\end{cases}$
用②式减去①式，得：$2k=15$，解得$k=7.5$。
将$k=7.5$代入①式，得：$6×7.5 + b=45.5$，计算得$45+b=45.5$，解得$b=0.5$。
所以函数表达式为$y=7.5x+0.5$。
验证：当$x=10$时，$y=7.5×10+0.5=75.5$，与表格中数据一致，表达式正确。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查一次函数解析式的求解，属于基础题型，解题的核心是掌握待定系数法的应用步骤，求解出系数后注意代入剩余数据验证，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
已知体长y是尾长x的一次函数，我们可以先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），再从表格中选取两组对应的x、y值代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，最后将第三组数据代入验证表达式是否正确，即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
选取表格中两组数据$\begin{cases}x=6\\y=45.5\end{cases}$和$\begin{cases}x=8\\y=60.5\end{cases}$代入表达式，得：
$\begin{cases}6k+b=45.5&①\\8k+b=60.5&②\end{cases}$
用②式减去①式，得：$2k=15$，解得$k=7.5$。
将$k=7.5$代入①式，得：$6×7.5 + b=45.5$，计算得$45+b=45.5$，解得$b=0.5$。
所以函数表达式为$y=7.5x+0.5$。
验证：当$x=10$时，$y=7.5×10+0.5=75.5$，与表格中数据一致，表达式正确。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查一次函数解析式的求解，属于基础题型，解题的核心是掌握待定系数法的应用步骤，求解出系数后注意代入剩余数据验证，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
6 教材P131随堂练习T2变式 某品牌鞋子的长度y(cm)与鞋子的码数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm,44码鞋子的长度为27 cm,则38码鞋子的长度为 (
A.23 cm
B.24 cm
C.25 cm
D.26 cm
B
)A.23 cm
B.24 cm
C.25 cm
D.26 cm
答案
6. B
解析
【分析】
已知鞋子长度y与码数x满足一次函数关系，解题时先回忆一次函数的一般形式，首先设出一次函数解析式，再将题目给出的两组x、y的对应值代入解析式，得到关于系数k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可确定函数解析式，最后将x=38代入解析式计算就能得到38码鞋子的长度。
【解析】
设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$），
根据题意将两组对应值代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}22k + b = 16 ①\\44k + b = 27 ②\end{cases}$
用②式减去①式得：$22k = 11$，解得$k = 0.5$，
将$k=0.5$代入①式：$22×0.5 + b = 16$，解得$b = 5$，
因此一次函数解析式为$y = 0.5x + 5$，
当$x=38$时，$y = 0.5×38 + 5 = 19 + 5 = 24$，即38码鞋子的长度为24cm。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数的实际应用
【点评】
本题是一次函数应用的常规基础题型，核心考查待定系数法的使用，只要熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，准确求解方程组、代入计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
已知鞋子长度y与码数x满足一次函数关系，解题时先回忆一次函数的一般形式，首先设出一次函数解析式，再将题目给出的两组x、y的对应值代入解析式，得到关于系数k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可确定函数解析式，最后将x=38代入解析式计算就能得到38码鞋子的长度。
【解析】
设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$），
根据题意将两组对应值代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}22k + b = 16 ①\\44k + b = 27 ②\end{cases}$
用②式减去①式得：$22k = 11$，解得$k = 0.5$，
将$k=0.5$代入①式：$22×0.5 + b = 16$，解得$b = 5$，
因此一次函数解析式为$y = 0.5x + 5$，
当$x=38$时，$y = 0.5×38 + 5 = 19 + 5 = 24$，即38码鞋子的长度为24cm。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数的实际应用
【点评】
本题是一次函数应用的常规基础题型，核心考查待定系数法的使用，只要熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，准确求解方程组、代入计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
7[2024上海]某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系.当广告投入10万元时,销售额为1000万元;当广告投入90万元时,销售额为5000万元;当广告投入80万元时,销售额为
4 500
万元.答案
7. 4 500
解析
【分析】
本题已知销售额y与广告投入x成一次函数关系，解题思路如下：第一步，先设出一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0）；第二步，将题目给出的两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组；第三步，解方程组求出k、b的值，确定一次函数的解析式；第四步，将x=80代入已求出的解析式，计算得到对应的销售额y的值即可。
【解析】
设该一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0)}$，
将$x=10,y=1000$和$x=90,y=5000$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}10k + b = 1000 \quad \mathrm{①} \\90k + b = 5000 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用②式减去①式消去b，得：
$80k=4000$，解得$k=50$，
将$k=50$代入①式，得：
$10×50 + b =1000$，解得$b=500$，
所以一次函数解析式为$y=50x+500$。
当$x=80$时，代入解析式得：
$y=50×80 + 500 = 4000 + 500 = 4500$。
【答案】
4500
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、二元一次方程组的解法、一次函数代入求值
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，计算过程难度较低，熟练掌握相关方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题已知销售额y与广告投入x成一次函数关系，解题思路如下：第一步，先设出一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0）；第二步，将题目给出的两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组；第三步，解方程组求出k、b的值，确定一次函数的解析式；第四步，将x=80代入已求出的解析式，计算得到对应的销售额y的值即可。
【解析】
设该一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0)}$，
将$x=10,y=1000$和$x=90,y=5000$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}10k + b = 1000 \quad \mathrm{①} \\90k + b = 5000 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用②式减去①式消去b，得：
$80k=4000$，解得$k=50$，
将$k=50$代入①式，得：
$10×50 + b =1000$，解得$b=500$，
所以一次函数解析式为$y=50x+500$。
当$x=80$时，代入解析式得：
$y=50×80 + 500 = 4000 + 500 = 4500$。
【答案】
4500
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、二元一次方程组的解法、一次函数代入求值
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，计算过程难度较低，熟练掌握相关方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8 A,B两地相距300 km,甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地,其中甲先出发1 h.如图所示为甲、乙两人行驶的路程 $ y_{\mathrm{甲}} $ (km), $ y_{\mathrm{乙}} $ (km)与行驶时间x(h)之间的函数关系.
(1) 甲的速度为
(2) 求出 $ y_{\mathrm{甲}}, y_{\mathrm{乙}} $ 与x之间的函数表达式;
(3) 求出点C的坐标,并写出点C的实际意义.
(1) 甲的速度为
60
km/h;(2) 求出 $ y_{\mathrm{甲}}, y_{\mathrm{乙}} $ 与x之间的函数表达式;
(3) 求出点C的坐标,并写出点C的实际意义.
答案
8. (1) 60 (2) 设 $y_{\mathrm{甲}}$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_{\mathrm{甲}}=ax$. 根据题意, 得 $300=5a$, 解得 $a=60$. 所以 $y_{\mathrm{甲}}=60x(0≤ x≤ 5)$. 设 $y_{\mathrm{乙}}$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_{\mathrm{乙}}=kx+b$. 根据题意, 得$\begin{cases}k+b=0,\\4k+b=300,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=100,\\b=-100.\end{cases}$ 所以 $y_{\mathrm{乙}}=100x-100(1≤ x≤ 4)$ (3) 联立 $\begin{cases}y=60x,\\y=100x-100,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=2.5,\\y=150.\end{cases}$ 所以点 $C$ 的坐标为$(2.5,150)$. 点 $C$ 的实际意义是甲出发 2.5 h 后被乙追上,此时两人各行驶了 150 km
解析
【分析】
（1）求甲的速度时，观察图像可知甲行驶300km总用时5h，根据速度=路程÷时间的公式直接计算即可；
（2）求两个一次函数表达式均使用待定系数法：$y_甲$是过原点的正比例函数，设为$y_甲=ax$，代入点$(5,300)$即可求出系数$a$；$y_乙$是普通一次函数，图像过$(1,0)$和$(4,300)$两个点，设为$y_乙=kx+b$，将两点坐标代入得到二元一次方程组，解出$k、b$即可，同时要标注自变量的取值范围；
（3）点C是两个函数的交点，代表此时两人行驶路程相等，即乙追上甲，联立两个函数解析式组成方程组，求解得到的$x、y$就是点C的横纵坐标，再结合行程场景说明实际意义即可。
【解析】
(1) 由图像可知甲5h行驶了300km，甲的速度为$300÷5=60(\mathrm{km/h})$。
(2) 设$y_{\mathrm{甲}}$与$x$之间的函数表达式为$y_{\mathrm{甲}}=ax$，
将$x=5,y=300$代入得：$300=5a$，解得$a=60$，
因此$y_{\mathrm{甲}}=60x\quad(0≤ x≤ 5)$。
设$y_{\mathrm{乙}}$与$x$之间的函数表达式为$y_{\mathrm{乙}}=kx+b$，
由图像可知函数过点$(1,0)$和$(4,300)$，代入得：
$\begin{cases}k+b=0\\4k+b=300\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$3k=300$，解得$k=100$，
将$k=100$代入$k+b=0$，得$b=-100$，
因此$y_{\mathrm{乙}}=100x-100\quad(1≤ x≤ 4)$。
(3) 联立两个函数解析式得：
$\begin{cases}y=60x\\y=100x-100\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子得$60x=100x-100$，
移项化简得$40x=100$，解得$x=2.5$，
代入$y=60x$得$y=60×2.5=150$，
所以点C的坐标为$(2.5,150)$，实际意义为：甲出发2.5h后被乙追上，此时两人都行驶了150km。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$
(2) $y_{\mathrm{甲}}=60x(0≤ x≤5)$；$y_{\mathrm{乙}}=100x-100(1≤ x≤4)$
(3) 点C坐标为$\boldsymbol{(2.5,150)}$，实际意义是甲出发2.5h后被乙追上，此时两人各行驶了150km
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一次函数交点的意义
【点评】
本题是一次函数与行程问题结合的典型基础题，解题核心是能从函数图像中提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，同时理解函数交点对应的实际场景，是一次函数实际应用模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）求甲的速度时，观察图像可知甲行驶300km总用时5h，根据速度=路程÷时间的公式直接计算即可；
（2）求两个一次函数表达式均使用待定系数法：$y_甲$是过原点的正比例函数，设为$y_甲=ax$，代入点$(5,300)$即可求出系数$a$；$y_乙$是普通一次函数，图像过$(1,0)$和$(4,300)$两个点，设为$y_乙=kx+b$，将两点坐标代入得到二元一次方程组，解出$k、b$即可，同时要标注自变量的取值范围；
（3）点C是两个函数的交点，代表此时两人行驶路程相等，即乙追上甲，联立两个函数解析式组成方程组，求解得到的$x、y$就是点C的横纵坐标，再结合行程场景说明实际意义即可。
【解析】
(1) 由图像可知甲5h行驶了300km，甲的速度为$300÷5=60(\mathrm{km/h})$。
(2) 设$y_{\mathrm{甲}}$与$x$之间的函数表达式为$y_{\mathrm{甲}}=ax$，
将$x=5,y=300$代入得：$300=5a$，解得$a=60$，
因此$y_{\mathrm{甲}}=60x\quad(0≤ x≤ 5)$。
设$y_{\mathrm{乙}}$与$x$之间的函数表达式为$y_{\mathrm{乙}}=kx+b$，
由图像可知函数过点$(1,0)$和$(4,300)$，代入得：
$\begin{cases}k+b=0\\4k+b=300\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$3k=300$，解得$k=100$，
将$k=100$代入$k+b=0$，得$b=-100$，
因此$y_{\mathrm{乙}}=100x-100\quad(1≤ x≤ 4)$。
(3) 联立两个函数解析式得：
$\begin{cases}y=60x\\y=100x-100\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子得$60x=100x-100$，
移项化简得$40x=100$，解得$x=2.5$，
代入$y=60x$得$y=60×2.5=150$，
所以点C的坐标为$(2.5,150)$，实际意义为：甲出发2.5h后被乙追上，此时两人都行驶了150km。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$
(2) $y_{\mathrm{甲}}=60x(0≤ x≤5)$；$y_{\mathrm{乙}}=100x-100(1≤ x≤4)$
(3) 点C坐标为$\boldsymbol{(2.5,150)}$，实际意义是甲出发2.5h后被乙追上，此时两人各行驶了150km
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一次函数交点的意义
【点评】
本题是一次函数与行程问题结合的典型基础题，解题核心是能从函数图像中提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，同时理解函数交点对应的实际场景，是一次函数实际应用模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
