登录
9 甲、乙两艘船沿相同路线从A港出发前往B港，如图所示为甲、乙两艘船行驶的路程y(km)与甲船行驶的时间x(h)之间的函数关系。当两船相遇时，乙船行驶的时间为（
A.1.5 h
B.2 h
C.2.5 h
D.4 h
（第9题）（第10题）
B
）A.1.5 h
B.2 h
C.2.5 h
D.4 h
（第9题）（第10题）
答案
9. B
解析
【分析】
要解决两船相遇时乙船的行驶时间问题，首先明确相遇时两船行驶路程相等，对应函数图像中两条直线的交点。解题步骤如下：第一步，利用待定系数法分别求出甲、乙两船的路程y与甲船行驶时间x的一次函数表达式；第二步，联立两个函数表达式得到方程组，求解得到交点的横坐标（即相遇时甲船的行驶时间）；第三步，结合乙船比甲船晚出发2小时，用甲船的行驶时间减去2，即可得到乙船的行驶时间。
【解析】
1. 求甲船的函数解析式：
观察图像可知，甲船的函数图像过点$(0,0)$和$(8,160)$，设甲船的路程表达式为$y_甲=k_1x$，
将$(8,160)$代入得：$160=8k_1$，解得$k_1=20$，
因此$y_甲=20x$。
2. 求乙船的函数解析式：
乙船的函数图像过点$(2,0)$和$(6,160)$，设乙船的路程表达式为$y_乙=k_2x+b$，
将两个点分别代入得：
$\begin{cases}0=2k_2+b\\160=6k_2+b\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$160=4k_2$，解得$k_2=40$，
将$k_2=40$代入$0=2k_2+b$得：$0=80+b$，解得$b=-80$，
因此$y_乙=40x-80$。
3. 求相遇时间：
两船相遇时$y_甲=y_乙$，即$20x=40x-80$，
移项得：$20x=80$，解得$x=4$，即相遇时甲船行驶了4h。
因为乙船在甲船行驶2h后才出发，所以乙船行驶的时间为$4-2=2$（h）。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是理解函数图像的实际意义，掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，明确两个函数图像交点的实际含义就是两船路程相等的时刻，同时要注意审题，区分甲、乙两船的行驶时间，避免错选。
【难度系数】
0.7
要解决两船相遇时乙船的行驶时间问题，首先明确相遇时两船行驶路程相等，对应函数图像中两条直线的交点。解题步骤如下：第一步，利用待定系数法分别求出甲、乙两船的路程y与甲船行驶时间x的一次函数表达式；第二步，联立两个函数表达式得到方程组，求解得到交点的横坐标（即相遇时甲船的行驶时间）；第三步，结合乙船比甲船晚出发2小时，用甲船的行驶时间减去2，即可得到乙船的行驶时间。
【解析】
1. 求甲船的函数解析式：
观察图像可知，甲船的函数图像过点$(0,0)$和$(8,160)$，设甲船的路程表达式为$y_甲=k_1x$，
将$(8,160)$代入得：$160=8k_1$，解得$k_1=20$，
因此$y_甲=20x$。
2. 求乙船的函数解析式：
乙船的函数图像过点$(2,0)$和$(6,160)$，设乙船的路程表达式为$y_乙=k_2x+b$，
将两个点分别代入得：
$\begin{cases}0=2k_2+b\\160=6k_2+b\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$160=4k_2$，解得$k_2=40$，
将$k_2=40$代入$0=2k_2+b$得：$0=80+b$，解得$b=-80$，
因此$y_乙=40x-80$。
3. 求相遇时间：
两船相遇时$y_甲=y_乙$，即$20x=40x-80$，
移项得：$20x=80$，解得$x=4$，即相遇时甲船行驶了4h。
因为乙船在甲船行驶2h后才出发，所以乙船行驶的时间为$4-2=2$（h）。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是理解函数图像的实际意义，掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，明确两个函数图像交点的实际含义就是两船路程相等的时刻，同时要注意审题，区分甲、乙两船的行驶时间，避免错选。
【难度系数】
0.7
10 超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量$ y $(个)与销售单价$ x $(元)之间满足如图所示的一次函数关系。若该玩具某天的销售单价是20元，则当日的销售利润为
300
元。答案
10. 300
解析
【分析】
首先观察图像可知日销售量$y$与销售单价$x$是一次函数关系，解题第一步需要用待定系数法，结合图像给出的两个点$(25,50)$、$(35,30)$求出一次函数的解析式；第二步将$x=20$代入解析式，求出对应日销售量$y$；第三步根据“销售总利润=（销售单价-进价）×日销售量”计算当日的销售利润即可。
【解析】
设日销售量$y$与销售单价$x$的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
由图像可知，函数过点$(25,50)$和$(35,30)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}25k+b=50\\35k+b=30\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$10k=-20$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$25k+b=50$，得$25×(-2)+b=50$，解得$b=100$，
所以一次函数解析式为$y=-2x+100$。
当销售单价$x=20$元时，代入解析式得$y=-2×20+100=60$，即日销售量为60个。
已知进价为每个15元，因此单个玩具的利润为$20-15=5$元，
当日销售总利润为$60×5=300$元。
【答案】
300
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数的应用，需要先从图像提取点坐标求出函数解析式，再结合利润公式计算结果，是一次函数应用的典型题型，注重对基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先观察图像可知日销售量$y$与销售单价$x$是一次函数关系，解题第一步需要用待定系数法，结合图像给出的两个点$(25,50)$、$(35,30)$求出一次函数的解析式；第二步将$x=20$代入解析式，求出对应日销售量$y$；第三步根据“销售总利润=（销售单价-进价）×日销售量”计算当日的销售利润即可。
【解析】
设日销售量$y$与销售单价$x$的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
由图像可知，函数过点$(25,50)$和$(35,30)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}25k+b=50\\35k+b=30\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$10k=-20$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$25k+b=50$，得$25×(-2)+b=50$，解得$b=100$，
所以一次函数解析式为$y=-2x+100$。
当销售单价$x=20$元时，代入解析式得$y=-2×20+100=60$，即日销售量为60个。
已知进价为每个15元，因此单个玩具的利润为$20-15=5$元，
当日销售总利润为$60×5=300$元。
【答案】
300
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数的应用，需要先从图像提取点坐标求出函数解析式，再结合利润公式计算结果，是一次函数应用的典型题型，注重对基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
11 某公司聘请甲、乙两队搬运工来搬运货物，他们都只能连续搬运5 h，甲队于某日开始搬运，过了1 h，乙队也开始搬运，如图，线段OG表示甲队搬运量$y_甲$(kg)与时间x(h)之间的函数关系，线段EF表示乙队搬运量$y_乙$(kg)与时间x(h)之间的函数关系。
（1）求乙队搬运量$y_乙$(kg)与时间x(h)之间的函数表达式；
（2）如果甲、乙两队各连续搬运5 h，那么乙队比甲队多搬运了多少千克？
（1）求乙队搬运量$y_乙$(kg)与时间x(h)之间的函数表达式；
（2）如果甲、乙两队各连续搬运5 h，那么乙队比甲队多搬运了多少千克？
答案
11. (1) 设 $y_{\mathrm{乙}}$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_{\mathrm{乙}}=mx+n$. 把 $(1,0),(3,180)$ 代入, 得 $\begin{cases}m+n=0,\\3m+n=180,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=90,\\n=-90.\end{cases}$ 所以 $y_{\mathrm{乙}}$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_{\mathrm{乙}}=90x-90$ (2) 设 $y_{\mathrm{甲}}$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_{\mathrm{甲}}=kx$. 把 $(3,180)$ 代入, 得 $3k=180$, 解得 $k=60$. 所以 $y_{\mathrm{甲}}$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_{\mathrm{甲}}=60x$. 当 $x=5$ 时, $y_{\mathrm{甲}}=60×5=300$; 当 $x=6$ 时, $y_{\mathrm{乙}}=90×6-90=450$. 所以乙队比甲队多搬运了 $450-300=150(\mathrm{kg})$
解析
【分析】
（1）求乙队搬运量的函数表达式需用待定系数法：首先观察图像可得乙的函数图像经过$(1,0)$和$(3,180)$两个点，设一次函数的一般式，将两点坐标代入即可得到二元一次方程组，解方程组求出系数后就能写出对应的函数表达式。（2）要计算两队各搬运5h的搬运量差值，首先需要求出甲队的函数解析式，甲的图像过原点和$(3,180)$，属于正比例函数，用待定系数法求出甲的解析式后，甲连续搬运5h对应自变量$x=5$，代入可得到甲的总搬运量；乙从$x=1$开始搬运，连续搬5h对应自变量$x=1+5=6$，代入乙的解析式得到乙的总搬运量，两者作差即可得到结果。
【解析】
（1）设乙队搬运量$y_{\mathrm{乙}}$与时间$x$之间的函数表达式为$y_{\mathrm{乙}}=mx+n$。
由图像可知函数图像经过$(1,0)$和$(3,180)$，将两点代入表达式得：
$\begin{cases}m+n=0\\3m+n=180\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$2m=180$，解得$m=90$，将$m=90$代入$m+n=0$，得$n=-90$。
所以$y_{\mathrm{乙}}$与$x$之间的函数表达式为$y_{\mathrm{乙}}=90x-90$。
（2）设甲队搬运量$y_{\mathrm{甲}}$与时间$x$之间的函数表达式为$y_{\mathrm{甲}}=kx$。
由图像可知函数经过点$(3,180)$，代入得$3k=180$，解得$k=60$，因此$y_{\mathrm{甲}}=60x$。
甲队连续搬运5h，此时$x=5$，代入得$y_{\mathrm{甲}}=60×5=300\ \mathrm{kg}$；
乙队连续搬运5h，结束时$x=1+5=6$，代入得$y_{\mathrm{乙}}=90×6-90=450\ \mathrm{kg}$；
则乙队比甲队多搬运的质量为$450-300=150\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $y_{\mathrm{乙}}=90x-90$
(2) $150\ \mathrm{kg}$
【知识点】
待定系数法求一次函数表达式,一次函数的实际应用,二元一次方程组的求解
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的相关知识，解题核心是能从函数图像中提取有效的坐标信息，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再代入对应自变量值计算所求量，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）求乙队搬运量的函数表达式需用待定系数法：首先观察图像可得乙的函数图像经过$(1,0)$和$(3,180)$两个点，设一次函数的一般式，将两点坐标代入即可得到二元一次方程组，解方程组求出系数后就能写出对应的函数表达式。（2）要计算两队各搬运5h的搬运量差值，首先需要求出甲队的函数解析式，甲的图像过原点和$(3,180)$，属于正比例函数，用待定系数法求出甲的解析式后，甲连续搬运5h对应自变量$x=5$，代入可得到甲的总搬运量；乙从$x=1$开始搬运，连续搬5h对应自变量$x=1+5=6$，代入乙的解析式得到乙的总搬运量，两者作差即可得到结果。
【解析】
（1）设乙队搬运量$y_{\mathrm{乙}}$与时间$x$之间的函数表达式为$y_{\mathrm{乙}}=mx+n$。
由图像可知函数图像经过$(1,0)$和$(3,180)$，将两点代入表达式得：
$\begin{cases}m+n=0\\3m+n=180\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$2m=180$，解得$m=90$，将$m=90$代入$m+n=0$，得$n=-90$。
所以$y_{\mathrm{乙}}$与$x$之间的函数表达式为$y_{\mathrm{乙}}=90x-90$。
（2）设甲队搬运量$y_{\mathrm{甲}}$与时间$x$之间的函数表达式为$y_{\mathrm{甲}}=kx$。
由图像可知函数经过点$(3,180)$，代入得$3k=180$，解得$k=60$，因此$y_{\mathrm{甲}}=60x$。
甲队连续搬运5h，此时$x=5$，代入得$y_{\mathrm{甲}}=60×5=300\ \mathrm{kg}$；
乙队连续搬运5h，结束时$x=1+5=6$，代入得$y_{\mathrm{乙}}=90×6-90=450\ \mathrm{kg}$；
则乙队比甲队多搬运的质量为$450-300=150\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $y_{\mathrm{乙}}=90x-90$
(2) $150\ \mathrm{kg}$
【知识点】
待定系数法求一次函数表达式,一次函数的实际应用,二元一次方程组的求解
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的相关知识，解题核心是能从函数图像中提取有效的坐标信息，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再代入对应自变量值计算所求量，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
12 越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具.小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆,爸爸先以150 m/min的速度骑行一段时间,休息了5 min,再以m m/min的速度骑行到达图书馆,小军始终以同一速度骑行,两人行驶的路程y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示.请结合图象,解答下列问题:
(1) $a =$
(2) 若小军的速度是120 m/min,求小军在途中与爸爸第二次相遇时,距图书馆的距离;
(3) 在(2)的条件下,爸爸自第二次出发后至到达图书馆前,小军骑行的时间为多少时,爸爸与小军相距100 m?
(1) $a =$
10
, $b =$ 15
, $m =$ 200
;(2) 若小军的速度是120 m/min,求小军在途中与爸爸第二次相遇时,距图书馆的距离;
(3) 在(2)的条件下,爸爸自第二次出发后至到达图书馆前,小军骑行的时间为多少时,爸爸与小军相距100 m?
答案
12. (1) 10 15 200 (2) 线段 $BC$ 所在直线对应的函数表达式为 $y=1\,500+200(x-15)=200x-1\,500$,线段 $OD$ 所在直线对应的函数表达式为 $y = 120x$, 联立方程组, 得$\begin{cases}y=200x-1\,500,\\y=120x,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\dfrac{75}{4},\\y=2\,250.\end{cases}$ 所以 $3\,000-2\,250=750(\mathrm{m})$. 所以小军在途中与爸爸第二次相遇时,距图书馆的距离是 750 m (3) 根据题意, 得 $|200x-1\,500-120x|=100$, 解得 $x=17.5$ 或 $x=20$. 所以爸爸自第二次出发至到达图书馆前,小军骑行的时间为 17.5 min 或 20 min 时,爸爸与小军相距 100 m
解析
【分析】
(1) 求$a$时，根据“时间=路程÷速度”，用爸爸第一段骑行的路程1500m除以速度150m/min即可得到$a$的值；爸爸中途休息5分钟，因此$b=a+5$；求$m$时，先计算爸爸第二段骑行的路程和对应时间，再根据速度公式计算即可。
(2) 第二次相遇是爸爸休息后骑行的BC段与小军骑行的OD段的交点，先分别求出线段BC、OD对应的函数表达式，联立两个表达式得到二元一次方程组，解出相遇时的路程后，用总路程3000m减去相遇路程，即可得到距图书馆的距离。
(3) 爸爸与小军相距100m，即两个函数的函数值之差的绝对值为100，列绝对值方程求解，注意$x$的取值范围为爸爸第二次出发到到达图书馆之间（$15＜x＜22.5$）即可。
【解析】
(1) 爸爸以150m/min的速度骑行1500m，所需时间$a=\frac{1500}{150}=10$；
中途休息5min，因此$b=10+5=15$；
爸爸第二段骑行的路程为$3000-1500=1500\mathrm{m}$，所用时间为$22.5-15=7.5\mathrm{min}$，因此速度$m=\frac{1500}{7.5}=200$。
(2) 线段BC对应的函数表达式为$y=1500+200(x-15)=200x-1500$；
小军速度为120m/min，因此线段OD对应的函数表达式为$y=120x$。
联立两个表达式得$\begin{cases}y=200x-1500\\y=120x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{75}{4}\\y=2250\end{cases}$。
此时距图书馆的距离为$3000-2250=750(\mathrm{m})$。
(3) 由题意得$|200x-1500-120x|=100$，化简得$|80x-1500|=100$，
即$80x-1500=100$或$80x-1500=-100$，
解得$x=20$或$x=17.5$，两个值均符合$15＜x＜22.5$的范围。
【答案】
(1) $\boxed{10}$，$\boxed{15}$，$\boxed{200}$
(2) $\boxed{750\mathrm{m}}$
(3) $\boxed{17.5\mathrm{min}}$或$\boxed{20\mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题关键是读懂函数图象各段代表的实际意义，结合行程公式、方程思想求解，需注意相距问题存在两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求$a$时，根据“时间=路程÷速度”，用爸爸第一段骑行的路程1500m除以速度150m/min即可得到$a$的值；爸爸中途休息5分钟，因此$b=a+5$；求$m$时，先计算爸爸第二段骑行的路程和对应时间，再根据速度公式计算即可。
(2) 第二次相遇是爸爸休息后骑行的BC段与小军骑行的OD段的交点，先分别求出线段BC、OD对应的函数表达式，联立两个表达式得到二元一次方程组，解出相遇时的路程后，用总路程3000m减去相遇路程，即可得到距图书馆的距离。
(3) 爸爸与小军相距100m，即两个函数的函数值之差的绝对值为100，列绝对值方程求解，注意$x$的取值范围为爸爸第二次出发到到达图书馆之间（$15＜x＜22.5$）即可。
【解析】
(1) 爸爸以150m/min的速度骑行1500m，所需时间$a=\frac{1500}{150}=10$；
中途休息5min，因此$b=10+5=15$；
爸爸第二段骑行的路程为$3000-1500=1500\mathrm{m}$，所用时间为$22.5-15=7.5\mathrm{min}$，因此速度$m=\frac{1500}{7.5}=200$。
(2) 线段BC对应的函数表达式为$y=1500+200(x-15)=200x-1500$；
小军速度为120m/min，因此线段OD对应的函数表达式为$y=120x$。
联立两个表达式得$\begin{cases}y=200x-1500\\y=120x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{75}{4}\\y=2250\end{cases}$。
此时距图书馆的距离为$3000-2250=750(\mathrm{m})$。
(3) 由题意得$|200x-1500-120x|=100$，化简得$|80x-1500|=100$，
即$80x-1500=100$或$80x-1500=-100$，
解得$x=20$或$x=17.5$，两个值均符合$15＜x＜22.5$的范围。
【答案】
(1) $\boxed{10}$，$\boxed{15}$，$\boxed{200}$
(2) $\boxed{750\mathrm{m}}$
(3) $\boxed{17.5\mathrm{min}}$或$\boxed{20\mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题关键是读懂函数图象各段代表的实际意义，结合行程公式、方程思想求解，需注意相距问题存在两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
