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8.「2026上海普陀月考，★☆」某影院七月份的票房为10亿元，第三季度的票房共33.1亿元，若每个月的增长率相同，则这个增长率为（
A.10%
B.20%
C.30%
D.33.1%
A
）A.10%
B.20%
C.30%
D.33.1%
答案
设每个月的增长率为x,
∵第三季度总票房为33.1亿元,
∴$10+10(1+x)+10(1+x)^2=33.1$,
整理得$x^2+3x-0.31=0$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-3.1$(舍去),
∴增长率为10%.故选A.
∵第三季度总票房为33.1亿元,
∴$10+10(1+x)+10(1+x)^2=33.1$,
整理得$x^2+3x-0.31=0$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-3.1$(舍去),
∴增长率为10%.故选A.
解析
【分析】
首先明确第三季度包含7、8、9三个月，已知七月份票房数值，设月增长率为x，根据平均增长率的计算规律，可依次表示出八月份、九月份的票房，再根据三个月总票房为33.1亿元的等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到正确的增长率。
【解析】
设每个月的增长率为x，
由题意得：七月份票房为10亿元，八月份票房为$10(1+x)$亿元，九月份票房为$10(1+x)^2$亿元。
根据第三季度总票房为33.1亿元，列方程：
$10+10(1+x)+10(1+x)^2=33.1$
整理得：$x^2+3x-0.31=0$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-3.1$
由于增长率不能为负数，因此舍去$x_2=-3.1$，即增长率为10%。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；一元二次方程求解
【点评】
本题属于平均增长率类基础应用题，解题核心是正确表示出每个阶段的对应量，求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性，常见易错点是误将第三季度总票房当成仅八九月份的票房和，或者忘记舍去不符合实际的负根。
【难度系数】
0.8
首先明确第三季度包含7、8、9三个月，已知七月份票房数值，设月增长率为x，根据平均增长率的计算规律，可依次表示出八月份、九月份的票房，再根据三个月总票房为33.1亿元的等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到正确的增长率。
【解析】
设每个月的增长率为x，
由题意得：七月份票房为10亿元，八月份票房为$10(1+x)$亿元，九月份票房为$10(1+x)^2$亿元。
根据第三季度总票房为33.1亿元，列方程：
$10+10(1+x)+10(1+x)^2=33.1$
整理得：$x^2+3x-0.31=0$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-3.1$
由于增长率不能为负数，因此舍去$x_2=-3.1$，即增长率为10%。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；一元二次方程求解
【点评】
本题属于平均增长率类基础应用题，解题核心是正确表示出每个阶段的对应量，求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性，常见易错点是误将第三季度总票房当成仅八九月份的票房和，或者忘记舍去不符合实际的负根。
【难度系数】
0.8
9.「2026湖北武汉期末，★☆」为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式进行传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n=
10
。答案
答案 10
解析 由题意,得$1+n+n^2=111$,解得$n_1=-11$(舍去),$n_2=10$.故答案为10.
解析 由题意,得$1+n+n^2=111$,解得$n_1=-11$(舍去),$n_2=10$.故答案为10.
解析
【分析】
这是典型的传播类方程应用题，解题时先梳理各轮传播的参与人数：第一轮传播前，只有小明1人参与；第一轮传播时，小明邀请n个好友转发，此时新增n个参与者，总参与人数为1+n；第二轮传播时，第一轮参与转发的n个好友每人再邀请n个互不相同的好友，新增n×n=n²个参与者，两轮传播后的总参与人数为初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，据此列一元二次方程求解即可，注意人数为正整数，需舍去负根。
【解析】
根据题意，两轮传播后总参与人数为111，可列方程：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n_1 = -11$，$n_2 = 10$
∵n表示邀请的好友人数，不能为负数，
∴舍去$n=-11$
故$n=10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程应用；传播问题模型；一元二次方程求解
【点评】
本题考查实际问题中的一元二次方程应用，核心是理清传播每轮的新增人数，建立正确的等量关系，求解后要结合实际意义检验根的合理性，是传播类问题的典型考法。
【难度系数】
0.8
这是典型的传播类方程应用题，解题时先梳理各轮传播的参与人数：第一轮传播前，只有小明1人参与；第一轮传播时，小明邀请n个好友转发，此时新增n个参与者，总参与人数为1+n；第二轮传播时，第一轮参与转发的n个好友每人再邀请n个互不相同的好友，新增n×n=n²个参与者，两轮传播后的总参与人数为初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，据此列一元二次方程求解即可，注意人数为正整数，需舍去负根。
【解析】
根据题意，两轮传播后总参与人数为111，可列方程：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n_1 = -11$，$n_2 = 10$
∵n表示邀请的好友人数，不能为负数，
∴舍去$n=-11$
故$n=10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程应用；传播问题模型；一元二次方程求解
【点评】
本题考查实际问题中的一元二次方程应用，核心是理清传播每轮的新增人数，建立正确的等量关系，求解后要结合实际意义检验根的合理性，是传播类问题的典型考法。
【难度系数】
0.8
10.「2026安徽阜阳颍泉期中，★☆」读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率.
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不能超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由.
(1)求进馆人次的月平均增长率.
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不能超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由.
答案
(1)设进馆人次的月平均增长率为x,由题意得$120+120(1+x)+120(1+x)^2=570$,整理得$x^2+3x-1.75=0$,解得$x_1=0.5=50\%$,$x_2=-3.5$(舍去).
答:进馆人次的月平均增长率为50%.
(2)学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次.
理由:由(1)得进馆人次的月平均增长率为50%,
∴10月份的进馆人次为$120×(1+50\%)^2=270$,
∴11月份的进馆人次为$270×(1+50\%)=405$,
∵405＞400,
∴学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次.
答:进馆人次的月平均增长率为50%.
(2)学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次.
理由:由(1)得进馆人次的月平均增长率为50%,
∴10月份的进馆人次为$120×(1+50\%)^2=270$,
∴11月份的进馆人次为$270×(1+50\%)=405$,
∵405＞400,
∴学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次.
解析
【分析】
(1)本题属于平均增长率类的一元二次方程应用题，首先需明确“累计进馆570人次”是8月、9月、10月三个月的进馆人次之和，并非10月单月人次。我们设月平均增长率为x，根据平均增长率公式“增长后量=增长前量×(1+增长率)”，可分别表示出9月进馆人次为120(1+x)、10月进馆人次为120(1+x)²，再结合三个月人次总和为570列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到增长率。
(2)第二问判断是否能接纳11月进馆人次，只需用第一问求出的增长率依次计算10月、11月的进馆人次，再和图书馆每月最大接纳量400比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)设进馆人次的月平均增长率为x，由题意得：
$120+120(1+x)+120(1+x)^2=570$
整理得：$x^2+3x-1.75=0$
解得：$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$
因为增长率不能为负数，故$x_2=-3.5$舍去。
答：进馆人次的月平均增长率为50%。
(2)学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次，理由如下：
由(1)得进馆人次的月平均增长率为50%，
∴10月份的进馆人次为$120×(1+50\%)^2=270$，
∴11月份的进馆人次为$270×(1+50\%)=405$，
∵$405＞400$，超出图书馆每月最大接纳能力，
∴学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次。
【答案】
(1)进馆人次的月平均增长率为50%；
(2)学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次。
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率的典型考题，解题核心是准确理解“累计进馆”的表述，避免误将三个月进馆总和当成单月人次列错方程，求解后要注意结合实际意义舍去不符合的根，整体侧重考查审题能力和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.75
(1)本题属于平均增长率类的一元二次方程应用题，首先需明确“累计进馆570人次”是8月、9月、10月三个月的进馆人次之和，并非10月单月人次。我们设月平均增长率为x，根据平均增长率公式“增长后量=增长前量×(1+增长率)”，可分别表示出9月进馆人次为120(1+x)、10月进馆人次为120(1+x)²，再结合三个月人次总和为570列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到增长率。
(2)第二问判断是否能接纳11月进馆人次，只需用第一问求出的增长率依次计算10月、11月的进馆人次，再和图书馆每月最大接纳量400比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)设进馆人次的月平均增长率为x，由题意得：
$120+120(1+x)+120(1+x)^2=570$
整理得：$x^2+3x-1.75=0$
解得：$x_1=0.5=50\%$，$x_2=-3.5$
因为增长率不能为负数，故$x_2=-3.5$舍去。
答：进馆人次的月平均增长率为50%。
(2)学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次，理由如下：
由(1)得进馆人次的月平均增长率为50%，
∴10月份的进馆人次为$120×(1+50\%)^2=270$，
∴11月份的进馆人次为$270×(1+50\%)=405$，
∵$405＞400$，超出图书馆每月最大接纳能力，
∴学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次。
【答案】
(1)进馆人次的月平均增长率为50%；
(2)学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次。
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率的典型考题，解题核心是准确理解“累计进馆”的表述，避免误将三个月进馆总和当成单月人次列错方程，求解后要注意结合实际意义舍去不符合的根，整体侧重考查审题能力和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.75
11. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量.
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸产量比上月增加$m\%$，5月份每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$，则5月份再生纸项目月利润可达到66万元，求$m$的值.
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%，求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
(1)求4月份再生纸的产量.
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸产量比上月增加$m\%$，5月份每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$，则5月份再生纸项目月利润可达到66万元，求$m$的值.
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%，求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
答案
(1)设3月份再生纸的产量为x吨,则4月份再生纸的产量为(2x-100)吨,
依题意得x+2x-100=800,解得x=300,
∴2x-100=2×300-100=500.
答:4月份再生纸的产量为500吨.
(2)依题意得$1\ 000(1+\frac{m}{2}\%)×500(1+m\%)=660\ 000$,整理得$m^2+300m-6\ 400=0$,
解得$m_1=20$,$m_2=-320$(舍去).
答:m的值为20.
(3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为a吨,
依题意得$1\ 200(1+y)^2 · a(1+y)=(1+25\%)×1\ 200(1+y) · a$,
∴$1\ 200(1+y)^2=1\ 500$.
答:6月份每吨再生纸的利润是1 500元.
依题意得x+2x-100=800,解得x=300,
∴2x-100=2×300-100=500.
答:4月份再生纸的产量为500吨.
(2)依题意得$1\ 000(1+\frac{m}{2}\%)×500(1+m\%)=660\ 000$,整理得$m^2+300m-6\ 400=0$,
解得$m_1=20$,$m_2=-320$(舍去).
答:m的值为20.
(3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为a吨,
依题意得$1\ 200(1+y)^2 · a(1+y)=(1+25\%)×1\ 200(1+y) · a$,
∴$1\ 200(1+y)^2=1\ 500$.
答:6月份每吨再生纸的利润是1 500元.
解析
【分析】
(1) 本题属于和差倍分类实际应用问题，可通过建立一元一次方程求解。先设3月份再生纸产量为x吨，根据“4月份产量是3月份的2倍少100吨”表示出4月份产量，再结合3、4月总产量为800吨的等量关系列方程，求出3月产量后代入表达式即可得4月产量。
(2) 本题属于利润类一元二次方程应用问题，核心等量关系为“总利润=每吨利润×总产量”。先明确4月份的产量和每吨利润，再根据5月份产量、每吨利润的增长率分别表示出5月对应量，结合5月总利润为66万元列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到m的值。
(3) 本题属于平均变化率综合应用问题，可设两个参数：4-6月每吨利润的月平均增长率为y，5月份再生纸产量为a吨，分别表示出5月、6月的总利润，根据“6月总利润比5月增加25%”列方程，方程两边非零的相同参数可直接约去，无需单独求解y即可得到6月份每吨再生纸的利润。
【解析】
(1) 设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为$(2x-100)$吨，
依题意得：$x+2x-100=800$，
解得：$x=300$，
∴4月份再生纸产量为$2x-100=2×300-100=500$吨。
(2) 依题意可列方程：
$1000(1+\frac{m}{2}\%)×500(1+m\%)=660000$，
整理得：$m^2+300m-6400=0$，
解得：$m_1=20$，$m_2=-320$（增长率不能为负，舍去）。
(3) 设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得：$1200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)×1200(1+y)· a$，
∵$a≠0$，$1+y≠0$，方程两边同时除以$1200a(1+y)$，可得$1200(1+y)^2=1500$，即6月份每吨再生纸的利润为1500元。
【答案】
(1) 4月份再生纸的产量为500吨；(2) m的值为20；(3) 6月份每吨再生纸的利润是1500元
【知识点】
一元一次方程应用，一元二次方程应用，平均变化率问题
【点评】
本题结合绿色生产的实际背景考查方程的实际应用，三个小问层层递进，既考查了基础的和差倍分关系建模，也考查了利润、平均变化率类问题的等量关系运用，解题时需注意舍去不符合实际意义的解，第三问可通过约去无关参数直接得到结果，能有效锻炼学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于和差倍分类实际应用问题，可通过建立一元一次方程求解。先设3月份再生纸产量为x吨，根据“4月份产量是3月份的2倍少100吨”表示出4月份产量，再结合3、4月总产量为800吨的等量关系列方程，求出3月产量后代入表达式即可得4月产量。
(2) 本题属于利润类一元二次方程应用问题，核心等量关系为“总利润=每吨利润×总产量”。先明确4月份的产量和每吨利润，再根据5月份产量、每吨利润的增长率分别表示出5月对应量，结合5月总利润为66万元列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到m的值。
(3) 本题属于平均变化率综合应用问题，可设两个参数：4-6月每吨利润的月平均增长率为y，5月份再生纸产量为a吨，分别表示出5月、6月的总利润，根据“6月总利润比5月增加25%”列方程，方程两边非零的相同参数可直接约去，无需单独求解y即可得到6月份每吨再生纸的利润。
【解析】
(1) 设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为$(2x-100)$吨，
依题意得：$x+2x-100=800$，
解得：$x=300$，
∴4月份再生纸产量为$2x-100=2×300-100=500$吨。
(2) 依题意可列方程：
$1000(1+\frac{m}{2}\%)×500(1+m\%)=660000$，
整理得：$m^2+300m-6400=0$，
解得：$m_1=20$，$m_2=-320$（增长率不能为负，舍去）。
(3) 设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得：$1200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)×1200(1+y)· a$，
∵$a≠0$，$1+y≠0$，方程两边同时除以$1200a(1+y)$，可得$1200(1+y)^2=1500$，即6月份每吨再生纸的利润为1500元。
【答案】
(1) 4月份再生纸的产量为500吨；(2) m的值为20；(3) 6月份每吨再生纸的利润是1500元
【知识点】
一元一次方程应用，一元二次方程应用，平均变化率问题
【点评】
本题结合绿色生产的实际背景考查方程的实际应用，三个小问层层递进，既考查了基础的和差倍分关系建模，也考查了利润、平均变化率类问题的等量关系运用，解题时需注意舍去不符合实际意义的解，第三问可通过约去无关参数直接得到结果，能有效锻炼学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
