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8. (教材P77习题T10变式) 一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字比个位上的数字小1，若将这个两位数放到数字3的左边组成一个三位数，则这个三位数可以用含a的式子表示为
$100(a-1)+10a+3$
(不必化简).答案
48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40
48和40的最大公因数是8
48÷8=6（组）
40÷8=5（组）
答：每组最多有8人，这时五(1)班有6组，五(2)班有5组。
40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40
48和40的最大公因数是8
48÷8=6（组）
40÷8=5（组）
答：每组最多有8人，这时五(1)班有6组，五(2)班有5组。
9. (1)(铜仁中考)观察下列各项: $1\frac{1}{2}, 2\frac{1}{4}, 3\frac{1}{8}, 4\frac{1}{16}, ···$,则第n项是
(2)(山西中考)如图是一组有规律的图案,它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片,第2个图案中有6个白色圆片,第3个图案中有8个白色圆片,第4个图案中有10个白色圆片,$···$,依此规律,第n个图案中有
$n+\frac{1}{2^n}$
.(2)(山西中考)如图是一组有规律的图案,它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片,第2个图案中有6个白色圆片,第3个图案中有8个白色圆片,第4个图案中有10个白色圆片,$···$,依此规律,第n个图案中有
$2+2n$
个白色圆片(用含n的代数式表示).答案
9. (1) $n+\frac{1}{2^n}$ 解析:观察可得整数部分后一项比前一项多1,分数部分后一项是前一项的$\frac{1}{2}$,所以第n项是$n+\frac{1}{2^n}$.
(2) $(2+2n)$ 解析:第1个题图中有4个白色圆片,4=2+2×1;第2个题图中有6个白色圆片,6=2+2×2;第3个题图中有8个白色圆片,8=2+2×3;第4个题图中有10个白色圆片,10=2+2×4,…,所以第n个题图中有$(2+2n)$个白色圆片.
(2) $(2+2n)$ 解析:第1个题图中有4个白色圆片,4=2+2×1;第2个题图中有6个白色圆片,6=2+2×2;第3个题图中有8个白色圆片,8=2+2×3;第4个题图中有10个白色圆片,10=2+2×4,…,所以第n个题图中有$(2+2n)$个白色圆片.
解析
【分析】
(1) 解决数列规律题可将每一项拆分研究：先看整数部分，第1项为1、第2项为2、第3项为3……第n项的整数部分就是n；再看分数部分，分母依次是2、4、8、16，即$2^1、2^2、2^3、2^4$，分子恒为1，因此第n项的分数部分为$\frac{1}{2^n}$，两部分相加即可得到结果。
(2) 解决图形规律题可先统计对应数量找数字规律：第1个图案4个白圆片、第2个6个、第3个8个、第4个10个，每往后一个图案白圆片增加2个，将数量改写为含序号的式子：$4=2+2×1$、$6=2+2×2$……以此类推可得到第n个图案的白圆片数量。
【解析】
(1) 拆分数列各项分析：
整数部分规律：第n项整数部分等于n；
分数部分规律：分母为$2^n$，分子为1，即分数部分为$\frac{1}{2^n}$；
因此第n项为$n+\frac{1}{2^n}$。
(2) 列举各图案白圆片数量分析：
第1个：$4=2+2×1$
第2个：$6=2+2×2$
第3个：$8=2+2×3$
第4个：$10=2+2×4$
……
第n个图案的白圆片数量为$2+2n$。
【答案】
(1) $n+\frac{1}{2^n}$；(2) $2n+2$（或$2+2n$）
【知识点】
数列规律探究、图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题型，分别从代数、几何两个维度考查观察归纳能力和列代数式的应用能力，解题时拆分研究对象、列举前几项找共性的方法能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.8
(1) 解决数列规律题可将每一项拆分研究：先看整数部分，第1项为1、第2项为2、第3项为3……第n项的整数部分就是n；再看分数部分，分母依次是2、4、8、16，即$2^1、2^2、2^3、2^4$，分子恒为1，因此第n项的分数部分为$\frac{1}{2^n}$，两部分相加即可得到结果。
(2) 解决图形规律题可先统计对应数量找数字规律：第1个图案4个白圆片、第2个6个、第3个8个、第4个10个，每往后一个图案白圆片增加2个，将数量改写为含序号的式子：$4=2+2×1$、$6=2+2×2$……以此类推可得到第n个图案的白圆片数量。
【解析】
(1) 拆分数列各项分析：
整数部分规律：第n项整数部分等于n；
分数部分规律：分母为$2^n$，分子为1，即分数部分为$\frac{1}{2^n}$；
因此第n项为$n+\frac{1}{2^n}$。
(2) 列举各图案白圆片数量分析：
第1个：$4=2+2×1$
第2个：$6=2+2×2$
第3个：$8=2+2×3$
第4个：$10=2+2×4$
……
第n个图案的白圆片数量为$2+2n$。
【答案】
(1) $n+\frac{1}{2^n}$；(2) $2n+2$（或$2+2n$）
【知识点】
数列规律探究、图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题型，分别从代数、几何两个维度考查观察归纳能力和列代数式的应用能力，解题时拆分研究对象、列举前几项找共性的方法能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.8
10. 观察下列等式：
……
按上述规律，回答下列问题：
(1) 用含$n$的式子表示第$n$个等式：
$a_n = \underline{\hspace{15cm}};$
(2) $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 = \underline{\hspace{15cm}};$
(得出最简结果)；
(3) 计算：$a_1+a_2+\dots+a_n.$
……
按上述规律，回答下列问题：
(1) 用含$n$的式子表示第$n$个等式：
$a_n = \underline{\hspace{15cm}};$
(2) $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 = \underline{\hspace{15cm}};$
(得出最简结果)；
(3) 计算：$a_1+a_2+\dots+a_n.$
答案
1200和800的最大公因数是400。
1200÷400 = 3
800÷400 = 2
3 + 2 + 1 = 6（个）
答：至少需要架设6个路灯。
1200÷400 = 3
800÷400 = 2
3 + 2 + 1 = 6（个）
答：至少需要架设6个路灯。
11. 某水果批发市场苹果的价格如下表：
(1)小明第一次购买苹果10千克,需要付费
(2)小强分两次共购买100千克苹果,第二次购买的质量多于第一次购买的质量,且第一次购买的质量为a千克,小强两次购买苹果共需要付费多少元?(用含a的代数式表示,不必化简)
(1)小明第一次购买苹果10千克,需要付费
70
元;小明第二次购买苹果x千克(x超过20千克但不超过40千克),需要付费$[20×7+6(x-20)]$
元(用含x的代数式表示,不必化简).(2)小强分两次共购买100千克苹果,第二次购买的质量多于第一次购买的质量,且第一次购买的质量为a千克,小强两次购买苹果共需要付费多少元?(用含a的代数式表示,不必化简)
答案
11. (1)70 $[20×7+6(x-20)]$ 解析:小明第一次购买苹果10千克,不超过20千克,需要付费7×10=70(元);小明第二次购买苹果x千克(x超过20千克但不超过40千克),不超过20千克的部分需要付费(20×7)元,超过20千克的部分需要付费[6(x-20)]元,共需要付费$[20×7+6(x-20)]$元.
(2)因为两次共购买100千克苹果,第二次购买的质量多于第一次购买的质量,所以a＜50. 当a≤20时,需要付费$[7a+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元;当20＜a≤40时,需要付费$[20×7+6×(a-20)+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元;当40＜a＜50时,需要付费$[20×7+6×20+5×(a-40)+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元.
(2)因为两次共购买100千克苹果,第二次购买的质量多于第一次购买的质量,所以a＜50. 当a≤20时,需要付费$[7a+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元;当20＜a≤40时,需要付费$[20×7+6×(a-20)+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元;当40＜a＜50时,需要付费$[20×7+6×20+5×(a-40)+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元.
解析
【分析】
本题属于分段计费类的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 先判断购买量对应的收费档位：①10千克在“不超过20千克”的档位，直接用单价×重量计算费用；②x在20~40千克区间，费用分两部分计算：前20千克按7元/千克收费，超出20千克的(x-20)千克按6元/千克收费，两部分相加即可得到总费用。
(2) 首先根据“两次共100千克，第二次购买质量多于第一次”，可推出第一次购买量a＜50千克；再按a的取值范围分3种情况讨论：①a≤20千克，第一次按第一档计费，第二次购买量超过40千克，按三档分段计费；②20＜a≤40千克，第一次按两档分段计费，第二次仍超过40千克按三档计费；③40＜a＜50千克，第一次按三档分段计费，第二次同样按三档计费，分别将两次费用相加即可得到对应情况的总付费。
【解析】
解：(1) ①第一次购买10千克，未超过20千克，按7元/千克计费：
费用=$7×10=70$（元）
②x超过20千克但不超过40千克时，前20千克费用为$20×7$元，超出20千克的部分为$(x-20)$千克，费用为$6(x-20)$元，总费用为$[20×7+6(x-20)]$元。
(2) 由两次共购买100千克，且第二次购买质量多于第一次，可得$a ＜ 100 - a$，即$a ＜ 50$，分三种情况讨论：
① 当$a ≤ 20$时：
第一次费用为$7a$元；
第二次购买量为$100-a ≥ 80$千克，超过40千克，费用为$20×7 + 20×6 + 5×(100-a-40)$元；
总付费为$[7a + 20×7 + 20×6 + 5×(100-a-40)]$元。
② 当$20 ＜ a ≤ 40$时：
第一次购买量在20~40千克区间，费用为$20×7 + 6×(a-20)$元；
第二次购买量$100-a ≥ 60$千克，超过40千克，费用同①的第二次费用；
总付费为$[20×7 + 6×(a-20) + 20×7 + 20×6 + 5×(100-a-40)]$元。
③ 当$40 ＜ a ＜ 50$时：
第一次购买量超过40千克，费用为$20×7 + 6×20 + 5×(a-40)$元；
第二次购买量$100-a$在50~60千克之间，超过40千克，费用同①的第二次费用；
总付费为$[20×7 + 6×20 + 5×(a-40) + 20×7 + 20×6 + 5×(100-a-40)]$元。
【答案】
(1) $70$；$20×7+6(x-20)$
(2) 当$a≤20$时，付费$[7a+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元；当$20＜a≤40$时，付费$[20×7+6×(a-20)+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元；当$40＜a＜50$时，付费$[20×7+6×20+5×(a-40)+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元。
【知识点】
分段计费，列代数式，分类讨论
【点评】
本题以生活中的商品采购计价为背景，考查分段收费规则的应用，解题的核心是明确不同重量区间对应的单价，根据购买量所在区间正确拆分计算费用，第二问需注意结合两次购买量的大小关系确定分类标准，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题属于分段计费类的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 先判断购买量对应的收费档位：①10千克在“不超过20千克”的档位，直接用单价×重量计算费用；②x在20~40千克区间，费用分两部分计算：前20千克按7元/千克收费，超出20千克的(x-20)千克按6元/千克收费，两部分相加即可得到总费用。
(2) 首先根据“两次共100千克，第二次购买质量多于第一次”，可推出第一次购买量a＜50千克；再按a的取值范围分3种情况讨论：①a≤20千克，第一次按第一档计费，第二次购买量超过40千克，按三档分段计费；②20＜a≤40千克，第一次按两档分段计费，第二次仍超过40千克按三档计费；③40＜a＜50千克，第一次按三档分段计费，第二次同样按三档计费，分别将两次费用相加即可得到对应情况的总付费。
【解析】
解：(1) ①第一次购买10千克，未超过20千克，按7元/千克计费：
费用=$7×10=70$（元）
②x超过20千克但不超过40千克时，前20千克费用为$20×7$元，超出20千克的部分为$(x-20)$千克，费用为$6(x-20)$元，总费用为$[20×7+6(x-20)]$元。
(2) 由两次共购买100千克，且第二次购买质量多于第一次，可得$a ＜ 100 - a$，即$a ＜ 50$，分三种情况讨论：
① 当$a ≤ 20$时：
第一次费用为$7a$元；
第二次购买量为$100-a ≥ 80$千克，超过40千克，费用为$20×7 + 20×6 + 5×(100-a-40)$元；
总付费为$[7a + 20×7 + 20×6 + 5×(100-a-40)]$元。
② 当$20 ＜ a ≤ 40$时：
第一次购买量在20~40千克区间，费用为$20×7 + 6×(a-20)$元；
第二次购买量$100-a ≥ 60$千克，超过40千克，费用同①的第二次费用；
总付费为$[20×7 + 6×(a-20) + 20×7 + 20×6 + 5×(100-a-40)]$元。
③ 当$40 ＜ a ＜ 50$时：
第一次购买量超过40千克，费用为$20×7 + 6×20 + 5×(a-40)$元；
第二次购买量$100-a$在50~60千克之间，超过40千克，费用同①的第二次费用；
总付费为$[20×7 + 6×20 + 5×(a-40) + 20×7 + 20×6 + 5×(100-a-40)]$元。
【答案】
(1) $70$；$20×7+6(x-20)$
(2) 当$a≤20$时，付费$[7a+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元；当$20＜a≤40$时，付费$[20×7+6×(a-20)+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元；当$40＜a＜50$时，付费$[20×7+6×20+5×(a-40)+20×7+20×6+5×(100-a-40)]$元。
【知识点】
分段计费，列代数式，分类讨论
【点评】
本题以生活中的商品采购计价为背景，考查分段收费规则的应用，解题的核心是明确不同重量区间对应的单价，根据购买量所在区间正确拆分计算费用，第二问需注意结合两次购买量的大小关系确定分类标准，避免漏解。
【难度系数】
0.6
