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5. 已知抛物线$y = x^{2}-2(m + 1)x + 2(m - 1)$。若抛物线与$x轴的一个交点为(3,0)$,试求$m$的值及另一个交点的坐标。
答案
$m=\frac{1}{4}$,抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$\left(-\frac{1}{2},0\right)$
解析
将点$(3,0)$代入抛物线$y = x^{2}-2(m + 1)x + 2(m - 1)$，得：
$\begin{aligned}3^{2}-2(m + 1)×3 + 2(m - 1)&=0\\9 - 6(m + 1) + 2(m - 1)&=0\\9 - 6m - 6 + 2m - 2&=0\\(9 - 6 - 2) + (-6m + 2m)&=0\\1 - 4m&=0\\-4m&=-1\\m&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
抛物线解析式为$y = x^{2}-2\left(\frac{1}{4} + 1\right)x + 2\left(\frac{1}{4} - 1\right)$，化简得：
$\begin{aligned}y&=x^{2}-2×\frac{5}{4}x + 2×\left(-\frac{3}{4}\right)\\&=x^{2}-\frac{5}{2}x - \frac{3}{2}\end{aligned}$
设抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，由韦达定理得：$3x = -\frac{3}{2}$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
$m=\frac{1}{4}$，另一个交点坐标为$\left(-\frac{1}{2},0\right)$
$\begin{aligned}3^{2}-2(m + 1)×3 + 2(m - 1)&=0\\9 - 6(m + 1) + 2(m - 1)&=0\\9 - 6m - 6 + 2m - 2&=0\\(9 - 6 - 2) + (-6m + 2m)&=0\\1 - 4m&=0\\-4m&=-1\\m&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
抛物线解析式为$y = x^{2}-2\left(\frac{1}{4} + 1\right)x + 2\left(\frac{1}{4} - 1\right)$，化简得：
$\begin{aligned}y&=x^{2}-2×\frac{5}{4}x + 2×\left(-\frac{3}{4}\right)\\&=x^{2}-\frac{5}{2}x - \frac{3}{2}\end{aligned}$
设抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，由韦达定理得：$3x = -\frac{3}{2}$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
$m=\frac{1}{4}$，另一个交点坐标为$\left(-\frac{1}{2},0\right)$
6. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+x - m = 0$。
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围；
(2)二次函数$y = x^{2}+x - m$的部分图象如图所示,求一元二次方程$x^{2}+x - m = 0$的解。
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围；
(2)二次函数$y = x^{2}+x - m$的部分图象如图所示,求一元二次方程$x^{2}+x - m = 0$的解。
答案
(1)$m＞-\frac{1}{4}$;
(2)$x_{1}=1,x_{2}=-2$
7. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx+16的图象经过点(-2,40)和(6,-8)$,求一元二次方程$ax^{2}+bx+16 = 0$的根。
答案
$x_{1}=2,x_{2}=8$
解析
将点$(-2,40)$和$(6,-8)$代入$y = ax^{2}+bx+16$，得：
$\begin{cases}a(-2)^{2}+b(-2)+16 = 40 \\a(6)^{2}+b(6)+16 = -8\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}4a - 2b = 24 \\36a + 6b = -24\end{cases}$
即：
$\begin{cases}2a - b = 12 \\6a + b = -4\end{cases}$
两式相加得$8a = 8$，解得$a = 1$。
将$a = 1$代入$2a - b = 12$，得$2 - b = 12$，解得$b = -10$。
所以二次函数为$y = x^{2}-10x + 16$。
方程$x^{2}-10x + 16 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 8)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=8$。
$\begin{cases}a(-2)^{2}+b(-2)+16 = 40 \\a(6)^{2}+b(6)+16 = -8\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}4a - 2b = 24 \\36a + 6b = -24\end{cases}$
即：
$\begin{cases}2a - b = 12 \\6a + b = -4\end{cases}$
两式相加得$8a = 8$，解得$a = 1$。
将$a = 1$代入$2a - b = 12$，得$2 - b = 12$，解得$b = -10$。
所以二次函数为$y = x^{2}-10x + 16$。
方程$x^{2}-10x + 16 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 8)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=8$。
已知抛物线$C_{1}:y = a_{1}x^{2}+b_{1}x+c与抛物线C_{2}:y = a_{2}x^{2}+b_{2}x+c$中,若满足$\frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}$,则称抛物线$C_{1}$,$C_{2}$为“比例”抛物线。
(1)已知$y = x^{2}+3x - 6与y = 3x^{2}+bx - 6$是“比例”抛物线。
①$b$的值为______；②求出它们的交点坐标______。
(2)设抛物线$y = x^{2}+4x - 6$,$y = ax^{2}+4ax - 6$,$y = 3ax^{2}+12ax - 6(a\gt0)的顶点分别为D$,$E$,$F$。
①判断它们______“比例”抛物线(填“是”或“不是”)；
②若$EF = 4DE$,求$a$的值。
(1)已知$y = x^{2}+3x - 6与y = 3x^{2}+bx - 6$是“比例”抛物线。
①$b$的值为______；②求出它们的交点坐标______。
(2)设抛物线$y = x^{2}+4x - 6$,$y = ax^{2}+4ax - 6$,$y = 3ax^{2}+12ax - 6(a\gt0)的顶点分别为D$,$E$,$F$。
①判断它们______“比例”抛物线(填“是”或“不是”)；
②若$EF = 4DE$,求$a$的值。
答案
(1)①$b=9$；②$(0,-6),(-3,-6)$.
(2)①是；②$a=2$或$a=\frac{2}{3}$
1. 抛物线$y = x^{2}+2x+m - 1与x$轴有两个不同的交点,则$m$的取值范围是( )
A.$m\lt2$
B.$m\gt2$
C.$0\lt m\leqslant2$
D.$m\lt-2$
A.$m\lt2$
B.$m\gt2$
C.$0\lt m\leqslant2$
D.$m\lt-2$
答案
A
解析
∵抛物线$y = x^{2}+2x+m - 1$与$x$轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程$x^{2}+2x+m - 1=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = 2^{2}-4×1×(m - 1) \gt 0$，
即$4 - 4(m - 1) \gt 0$，
$4 - 4m + 4 \gt 0$，
$8 - 4m \gt 0$，
$-4m \gt -8$，
解得$m \lt 2$。
A
2. 如果二次函数$y = ax^{2}+bx+c(a\gt0)的顶点在x$轴上方,那么( )
A.$b^{2}-4ac\geqslant0$
B.$b^{2}-4ac\lt0$
C.$b^{2}-4ac\gt0$
D.$b^{2}-4ac = 0$
A.$b^{2}-4ac\geqslant0$
B.$b^{2}-4ac\lt0$
C.$b^{2}-4ac\gt0$
D.$b^{2}-4ac = 0$
答案
B
解析
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a \gt 0$），其顶点在$x$轴上方。因为$a \gt 0$，抛物线开口向上，顶点在$x$轴上方意味着抛物线与$x$轴没有交点，所以一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$无实数根，即判别式$b^2 - 4ac \lt 0$。
B
B
