4. 抛物线$y = 2x^{2}+7x+m与x$轴只有一个交点,则$m = $______。

$\frac{49}{8}$

抛物线与x轴只有一个交点，所以判别式$\Delta = 0$。
对于抛物线$y = 2x^{2}+7x+m$，其中$a = 2$，$b = 7$，$c = m$。
判别式$\Delta = b^{2}-4ac = 7^{2}-4×2× m = 49 - 8m$。
令$\Delta = 0$，即$49 - 8m = 0$，解得$m=\frac{49}{8}$。
$\frac{49}{8}$

5. 若二次函数$y = x^{2}-2x+m的图象与x$轴有两个交点,则$m$的取值范围是______。

$m＜1$

二次函数$y = x^{2}-2x + m$的图象与$x$轴有两个交点，即方程$x^{2}-2x + m=0$有两个不相等的实数根。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
在方程$x^{2}-2x + m=0$中，$a = 1$，$b=-2$，$c = m$，则$\Delta=(-2)^{2}-4×1× m=4 - 4m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即$4-4m＞0$，解得$m＜1$。
$m＜1$

6. 如图,二次函数$y = ax^{2}+bx+c(a\neq0)的图象与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于C$点,且对称轴为直线$x = 1$,点$B坐标为(-1,0)$。则下面的四个结论：①$2a + b = 0$；②$4a - 2b + c\lt0$；③$abc\gt0$；④当$y\lt0$时,$x\lt-1或x\gt2$。其中正确的是______。

①②

解：①
∵对称轴为直线$x=1$，$\therefore -\frac{b}{2a}=1$，$\therefore b=-2a$，$\therefore 2a + b=0$，①正确；
②
∵抛物线开口向下，$a\lt0$，$b=-2a\gt0$，点$B(-1,0)$，对称轴$x=1$，$\therefore$点$A(3,0)$，当$x=-2$时，$y=4a-2b + c\lt0$，②正确；
③
∵抛物线与$y$轴交于正半轴，$c\gt0$，$a\lt0$，$b\gt0$，$\therefore abc\lt0$，③错误；
④
∵抛物线与$x$轴交于$A(3,0)$，$B(-1,0)$，开口向下，$\therefore$当$y\lt0$时，$x\lt -1$或$x\gt3$，④错误。
正确的是①②。

问题 已知抛物线$y = x^{2}-(2k - 3)x + k^{2}+1与x轴有两个交点A和B$。
(1)求$k$的取值范围；
(2)证明：点$A和点B在x$轴的负半轴上；
(3)若点$A$,$B到原点的距离分别为OA$,$OB$,且$OA + OB = 2OA\cdot OB - 3$,求$k$的值。
名师指导
抛物线$y = ax^{2}+bx+c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax^{2}+bx+c = 0$的两个解,若设交点的横坐标为$x_{1}$,$x_{2}$,则$OA = |x_{1}|$,$OB = |x_{2}|$,然后利用一元二次方程的根与系数的关系进行求解。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

(1) 抛物线与x轴有两个交点，即方程$x^{2}-(2k - 3)x + k^{2}+1=0$有两个不等实根，判别式$\Delta＞0$。
$\Delta = [-(2k - 3)]^{2}-4×1×(k^{2}+1)=4k^{2}-12k + 9 - 4k^{2}-4=-12k + 5$，
由$-12k + 5＞0$，得$k＜\frac{5}{12}$。
(2) 设方程两根为$x_{1},x_{2}$，由韦达定理：
$x_{1}+x_{2}=2k - 3$，$x_{1}x_{2}=k^{2}+1$。
$x_{1}x_{2}=k^{2}+1＞0$，故两根同号；
由(1)知$k＜\frac{5}{12}$，则$x_{1}+x_{2}=2k - 3＜2×\frac{5}{12}-3=-\frac{13}{6}＜0$，
故两根均为负，即点$A,B$在x轴负半轴上。
(3) 由(2)知$OA=-x_{1},OB=-x_{2}$，则$OA + OB=-(x_{1}+x_{2})$，$OA\cdot OB=x_{1}x_{2}$。
代入$OA + OB=2OA\cdot OB - 3$，得$-(x_{1}+x_{2})=2x_{1}x_{2}-3$。
即$-(2k - 3)=2(k^{2}+1)-3$，化简得$-2k + 3=2k^{2}-1$，
整理：$2k^{2}+2k - 4=0$，即$k^{2}+k - 2=0$，
解得$k_{1}=-2,k_{2}=1$。
由(1)知$k＜\frac{5}{12}$，故$k=1$舍去，$k=-2$。
综上，(1)$k＜\frac{5}{12}$；(2)证明见上；(3)$k=-2$。

1. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,则下列结论成立的是( )

A.$a\gt0$,$bc\gt0$,$\Delta\lt0$
B.$a\lt0$,$bc\gt0$,$\Delta\lt0$
C.$a\gt0$,$bc\lt0$,$\Delta\lt0$
D.$a\lt0$,$bc\lt0$,$\Delta\gt0$

D

解：由抛物线开口向下得$a\lt0$；
对称轴在$y$轴左侧，即$-\frac{b}{2a}\lt0$，$a\lt0$，则$b\lt0$；
抛物线与$y$轴交于正半轴得$c\gt0$，故$bc\lt0$；
抛物线与$x$轴有两个交点得$\Delta\gt0$。
结论：$a\lt0$，$bc\lt0$，$\Delta\gt0$。
D

2. 已知抛物线$y = x^{2}-2x+m$($m$为常数)与$x轴的一个交点为(1,0)$,则关于$x的一元二次方程x^{2}-2x+m = 0$的解是( )

A.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -1$
B.$x_{1}= 1$,$x_{2}= 2$
C.$x_{1}= 1$,$x_{2}= 0$
D.$x_{1}= x_{2}= 1$

D

将点$(1,0)$代入抛物线$y = x^{2}-2x+m$，得$0 = 1^{2}-2×1+m$，解得$m = 1$。
方程为$x^{2}-2x + 1=0$，即$(x - 1)^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=1$。
D

3. 若抛物线$y = kx^{2}-x + 1与x$轴有交点,则$k$的取值范围是______。

$k \leqslant \frac{1}{4}$且$k \neq 0$

抛物线$y = kx^{2}-x + 1$与$x$轴有交点，即方程$kx^{2}-x + 1=0$有实数根。
当$k=0$时，方程化为$-x + 1=0$，解得$x=1$，此时抛物线与$x$轴有交点。
当$k\neq0$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta = (-1)^{2}-4× k×1 = 1 - 4k$。因为方程有实数根，所以$\Delta\geq0$，即$1 - 4k\geq0$，解得$k\leq\frac{1}{4}$。
综上，$k$的取值范围是$k\leq\frac{1}{4}$且$k\neq0$。
$k \leqslant \frac{1}{4}$且$k \neq 0$

4. 如图,抛物线$y = -x^{2}+2x+3与y轴交于点C$,点$D(0,1)$,点$P$是抛物线上的动点。若$\triangle PCD是以CD$为底的等腰三角形,则点$P$的坐标为______。

$(1 \pm \sqrt{2},2)$

解：抛物线$y = -x^{2}+2x+3$与$y$轴交于点$C$，令$x=0$，得$y=3$，则$C(0,3)$。
点$D(0,1)$，$\triangle PCD$以$CD$为底的等腰三角形，则$PC=PD$。
设$P(x,y)$，$y=-x^{2}+2x+3$。
$PC^{2}=x^{2}+(y - 3)^{2}$，$PD^{2}=x^{2}+(y - 1)^{2}$。
由$PC=PD$得$x^{2}+(y - 3)^{2}=x^{2}+(y - 1)^{2}$，化简得$(y - 3)^{2}=(y - 1)^{2}$，解得$y=2$。
令$-x^{2}+2x+3=2$，即$x^{2}-2x - 1=0$，解得$x=1\pm\sqrt{2}$。
点$P$的坐标为$(1 + \sqrt{2},2)$或$(1 - \sqrt{2},2)$。
$(1 \pm \sqrt{2},2)$