25.(本小题10分)数学课上,李老师出示了如下的题目:
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图①,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
【特殊情况,探索结论】
(1)当点E为AB的中点时,如图②,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“＞”“＜”或“=”).
【特例启发,解答题目】
(2)解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE DB(填“＞”“＜”或“=”).
理由如下:如图③,过点E作EF//BC,交AC于点F(请你完成以下解答过程).
【拓展结论,设计新题】
(3)在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).

25. (1) =
(2) =
解答过程如下:
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,又 EF//BC,
∴ ∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴ △AEF是等边三角形,
∴ AE=EF=AF.
∵ ∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,
∴ ∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°.
∵ ED=EC,
∴ ∠D=∠ECD,
∴ ∠BED=∠ECF.在△DEB和△ECF中,$\begin{cases} ∠DBE=∠EFC, \\ ∠DEB=∠ECF, \\ DE=EC, \end{cases}$
∴ △DEB≌△ECF(AAS),
∴ DB=EF=AE,即AE=DB.
(3) CD的长为1或3.
分析:分为两种情况:①如图①,当点E在AB的延长线上,点D在CB的延长线上时,过点A作AM⊥BC于点M,过点E作EN⊥BC于点N,则AM//EN.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=AC=1.
∵ AM⊥BC,
∴ BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$.
∵ DE=CE,EN⊥BC,
∴ CD=2CN.
∵ AB=1,AE=2,
∴ AB=BE=1.
∵ EN⊥DC,AM⊥BC,
∴ ∠AMB=∠ENB=90°.在△ABM和△EBN中,$\begin{cases} ∠AMB=∠ENB, \\ ∠ABM=∠EBN, \\ AB=EB, \end{cases}$
∴ △ABM≌△EBN(AAS),
∴ BN=BM=$\frac{1}{2}$,
∴ CN=BC+BN=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$,
∴ CD=2CN=3.
②如图②,当点E在BA的延长线上,点D在BC的延长线上时,过点E作EN⊥BC于点N.
∵ DE=CE,EN⊥BC,
∴ CD=2CN.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=AC=1,∠B=60°.在Rt△EBN中,
∵ ∠B=60°,
∴ ∠BEN=30°.又
∵ BE=BA+AE=3,
∴ BN=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3}{2}$,
∴ CN=BN−BC=$\frac{1}{2}$,
∴ CD=2CN=1.
综上所述,CD的长为1或3.