1. 在解方程$(x+2)(x-3)=0$时，可以把$(x+2)(x-3)=0$转化成两个一元一次方程.若一个方程为$x-3=0$,则另一个方程为（）

A.$x+3=0$
B.$x-6=0$
C.$x-2=0$
D.$x+2=0$

1. D

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的核心原理，解题思路依据“若两个数的乘积为0，则这两个数中至少有一个为0”的性质。我们观察方程左边是两个一次因式$(x+2)$和$(x-3)$相乘等于0，因此可以将二次方程降次转化为两个一元一次方程求解，已知其中一个方程是$x-3=0$，另一个方程就是另一个因式等于0。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的依据：若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。
对于方程$(x+2)(x-3)=0$，可得：
$x+2=0$或$x-3=0$
已知其中一个方程为$x-3=0$，因此另一个方程为$x+2=0$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查因式分解法解方程的基本逻辑，熟练掌握零乘积的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9

2. 方程 $ x(x - 2) = 2 - x $ 的解是 （）

A.$ x=-1 $
B.$ x=2 $
C.$ x_1=-1, x_2=2 $
D.$ x_1=1, x_2=2 $

2. C

【分析】
本题是求解一元二次方程的题目，观察方程左右两边的代数式，发现$(x-2)$与$(2-x)$互为相反数，解题时优先选择移项后提取公因式的因式分解法求解，注意不能直接在方程两边同时除以含未知数的整式，否则容易遗漏根。解题步骤为：先将方程右边的项移到左边，再提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后分别解两个一元一次方程得到方程的解。
【解析】
解：原方程为$x(x - 2) = 2 - x$
第一步，移项，将右边的$2-x$移到等号左边，注意变号：
$x(x - 2) - (2 - x) = 0$
变形得：$x(x - 2) + (x - 2) = 0$
第二步，提取公因式$(x-2)$：
$(x - 2)(x + 1) = 0$
第三步，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x - 2 = 0$时，$x_1 = 2$
当$x + 1 = 0$时，$x_2 = -1$
所以方程的解为$x_1=-1, x_2=2$
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的解
【点评】
本题属于解方程类的常考基础题型，解题的关键是避免直接两边除以含未知数的代数式造成漏根，采用移项提取公因式的方法更加严谨，不易出错。
【难度系数】
0.75

3.若多项式$x^2 + mx - n$可以分解为$(x + 3)(x - 7)$，则关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx - n = 0$的两个根$x_1, x_2$分别为（）

A.3和7
B.$-3$和$-7$
C.3和$-7$
D.$-3$和7

3. D

【分析】
解题时首先回忆因式分解法解一元二次方程的原理：若一元二次方程左边能分解为两个一次因式的乘积，右边为0，则令每个因式等于0，所得的解就是原方程的根。本题已经给出二次多项式的因式分解结果，无需计算m、n的取值，直接将方程转化为因式乘积为0的形式求解即可。
【解析】
已知多项式$x^2 + mx - n = (x + 3)(x - 7)$，因此一元二次方程$x^2 + mx - n = 0$可转化为：
$(x + 3)(x - 7) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，可得：
$x + 3 = 0$ 或 $x - 7 = 0$
分别求解：
当$x + 3 = 0$时，$x_1 = -3$；
当$x - 7 = 0$时，$x_2 = 7$。
因此方程的两个根为$-3$和$7$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题，核心考查因式分解与一元二次方程求解的关联，无需计算未知参数m、n即可快速得到答案，解题时注意不要混淆因式中常数的符号。
【难度系数】
0.9

4. 在解方程$(x-2)^2 -9x^2=0$时，用法较简便，此方程的根为$x_1=$，$x_2=$.$(x_1＜x_2)$

4. 因式分解，$-1$，$\frac{1}{2}$

【分析】
观察方程形式，左边是两个平方项作差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此优先选用因式分解法求解，比展开用公式法、配方法更简便。解题时先利用平方差公式将左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0，解两个一元一次方程即可得到原方程的根，最后按$x_1＜x_2$的要求排序即可。
【解析】
解：原方程可变形为$(x-2)^2 - (3x)^2=0$，
利用平方差公式因式分解，得：
$[(x-2)+3x][(x-2)-3x]=0$
化简后得：
$(4x-2)(-2x-2)=0$
令两个因式分别为0，可得：
$4x-2=0$ 或 $-2x-2=0$
解$4x-2=0$，得$x=\frac{1}{2}$；
解$-2x-2=0$，得$x=-1$。
结合$x_1＜x_2$的要求，得$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
因式分解，$-1$，$\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，当方程的一边能够分解为两个一次因式的乘积、另一边为0时，选用因式分解法求解最为简便，能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8

5.一个三角形的两边长分别为4和6,第三边的长是方程$x(x-5)-2(x-5)=0$的一个根,则这个三角形的周长为.

5. 15

【分析】
要计算三角形的周长，需先确定第三边的长度：首先通过解方程得到第三边的两个可能取值，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）筛选出符合条件的第三边长，最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x(x-5)-2(x-5)=0$提取公因式$(x-5)$，可得：
$(x-5)(x-2)=0$
则$x-5=0$或$x-2=0$，解得$x_1=5$，$x_2=2$。
2. 根据三角形三边关系筛选第三边：
若第三边长为$2$，此时三边长为$2、4、6$，因为$2+4=6$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
若第三边长为$5$，此时三边长为$4、5、6$，满足$4+5＞6$、$4+6＞5$、$5+6＞4$，可构成三角形。
3. 计算周长：
三角形周长为$4+6+5=15$。
【答案】
15
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题是基础综合题，既考查了一元二次方程的解法，也考查了三角形三边关系的实际应用，解题时容易遗漏对根的合理性检验，出现多解错误。
【难度系数】
0.7

6. 用因式分解法解下列方程.
(1)$3y^2 - 6y = 0$.
(2)$x^2 - 8x + 16 = 0$.
(3)$(x - 5)(x - 6) = 30$.
(4)$(x - 4)^2 = (5 - 2x)^2$.

6.【解】(1)左边分解因式,得 $3y(y-2)=0$.
于是 $3y=0$,或 $y-2=0$,
即 $y_1=0,y_2=2$.
(2)左边分解因式,得$(x-4)^2=0$.
于是 $x-4=0$,
即 $x_1=x_2=4$.
(3)移项,得$(x-5)(x-6)-30=0$.
整理,得$x^2-11x=0$.
左边分解因式,得$x(x-11)=0$.
于是 $x=0$,或 $x-11=0$,
即 $x_1=0,x_2=11$.
(4)移项,得$(x-4)^2-(5-2x)^2=0$.
左边分解因式,得$(x-4+5-2x)[x-4-(5-2x)]=0$.
整理,得$(1-x)(3x-9)=0$.
于是 $1-x=0$,或 $3x-9=0$,
即 $x_1=1,x_2=3$.

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“几个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式乘积为0，则至少有一个因式为0”的原理，转化为若干个一元一次方程求解即可。各小题解题思路如下：(1)左边有公因式3y，直接提取公因式分解即可；(2)左边是完全平方式，直接用完全平方公式分解；(3)右边不是0，需要先移项，展开左边后整理为标准形式，再提取公因式分解；(4)把右边的项移到左边，整体用平方差公式分解因式，避免直接开平方漏根。
【解析】
(1)左边分解因式,得 $3y(y-2)=0$.
于是 $3y=0$,或 $y-2=0$,
即 $y_1=0,y_2=2$.
(2)左边分解因式,得$(x-4)^2=0$.
于是 $x-4=0$,
即 $x_1=x_2=4$.
(3)移项,得$(x-5)(x-6)-30=0$.
整理,得$x^2-11x=0$.
左边分解因式,得$x(x-11)=0$.
于是 $x=0$,或 $x-11=0$,
即 $x_1=0,x_2=11$.
(4)移项,得$(x-4)^2-(5-2x)^2=0$.
左边分解因式,得$(x-4+5-2x)[x-4-(5-2x)]=0$.
整理,得$(1-x)(3x-9)=0$.
于是 $1-x=0$,或 $3x-9=0$,
即 $x_1=1,x_2=3$.
【答案】
(1)$y_1=0,y_2=2$；(2)$x_1=x_2=4$；(3)$x_1=0,x_2=11$；(4)$x_1=1,x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解法在一元二次方程求解中的应用，解题时需先将方程变形为右边为0的形式，再灵活选用提公因式、完全平方公式、平方差公式等方法对左边因式分解，注意不要在右边不为0时直接令各因式等于右边的数求解，避免出现错解。
【难度系数】
0.75

7. 用适当的方法解下列方程.
(1) $4(x-2)^2 -49=0$.
(2) $-x^2 +4x = x^2 -3$.
(3) $x^2 -\sqrt{3}x -\frac{1}{4}=0$.
(4) $x^2 -(\sqrt{2}+1)x +\sqrt{2}=0$.

7.【解】(1)移项,得 $4(x-2)^2=49$.
整理,得$(x-2)^2=\frac{49}{4}$.
由此可得 $x-2=\pm\frac{7}{2}$,
$x-2=\frac{7}{2}$,或 $x-2=-\frac{7}{2}$,
即 $x_1=\frac{11}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(2)移项,得$-2x^2+4x=-3$.
二次项系数化为 1,得 $x^2-2x=\frac{3}{2}$.
配方,得 $x^2-2x+1^2=\frac{3}{2}+1^2$,
即$(x-1)^2=\frac{5}{2}$.
由此可得 $x-1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$,
$x-1=\frac{\sqrt{10}}{2}$,或 $x-1=-\frac{\sqrt{10}}{2}$,
即 $x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$.
(3)因为 $a=1,b=-\sqrt{3},c=-\frac{1}{4}$,
所以 $\Delta=b^2-4ac=(-\sqrt{3})^2-4×1×(-\frac{1}{4})=4＞0$.
方程有两个不相等的实数根 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-\sqrt{3})\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{\sqrt{3}\pm2}{2}$,
即 $x_1=\frac{\sqrt{3}+2}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$.
(4)左边分解因式,得$(x-1)(x-\sqrt{2})=0$.
于是 $x-1=0$,或 $x-\sqrt{2}=0$,
即 $x_1=1,x_2=\sqrt{2}$.

【分析】
解一元二次方程需根据方程的结构特征灵活选择最优解法：(1)该方程为含未知数的平方等于常数的形式，优先选择直接开平方法，先移项整理为$(x-m)^2=n(n≥0)$的形式再开方求解；(2)先移项合并同类项，整理后二次项系数可化为1，且一次项系数为整数，适合用配方法，配方后开方求解；(3)方程系数含根式，不方便配方或因式分解，选择公式法，先确定$a,b,c$的值，计算判别式判断根的情况后，代入求根公式计算；(4)方程左边可分解为两个一次因式的乘积，优先选择因式分解法，令每个因式为0即可快速求解。
【解析】
(1)移项，得 $4(x-2)^2=49$，
整理，得$(x-2)^2=\frac{49}{4}$，
由此可得 $x-2=\pm\frac{7}{2}$，
即$x-2=\frac{7}{2}$，或 $x-2=-\frac{7}{2}$，
解得 $x_1=\frac{11}{2},x_2=-\frac{3}{2}$。
(2)移项，得$-2x^2+4x=-3$，
二次项系数化为 1，得 $x^2-2x=\frac{3}{2}$，
配方，得 $x^2-2x+1^2=\frac{3}{2}+1^2$，
即$(x-1)^2=\frac{5}{2}$，
由此可得 $x-1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$，
即$x-1=\frac{\sqrt{10}}{2}$，或 $x-1=-\frac{\sqrt{10}}{2}$，
解得 $x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$。
(3)这里$a=1,b=-\sqrt{3},c=-\frac{1}{4}$，
所以 $\Delta=b^2-4ac=(-\sqrt{3})^2-4×1×(-\frac{1}{4})=4＞0$，
方程有两个不相等的实数根，代入求根公式得
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-\sqrt{3})\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{\sqrt{3}\pm2}{2}$，
即 $x_1=\frac{\sqrt{3}+2}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$。
(4)左边分解因式，得$(x-1)(x-\sqrt{2})=0$，
于是 $x-1=0$，或 $x-\sqrt{2}=0$，
解得 $x_1=1,x_2=\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{11}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；
(2)$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$；
(3)$x_1=\frac{\sqrt{3}+2}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$；
(4)$x_1=1,x_2=\sqrt{2}$
【知识点】
1.一元二次方程的解法 2.配方法 3.因式分解法
【点评】
本题围绕一元二次方程的解法设置，要求学生能根据不同方程的特征灵活选择最简便的解法，既可以降低计算出错的概率，也能提升解题效率，熟练掌握各类解法的适用场景是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.75

8.关于方程$(x-2)^2=3(x-2)$，下列说法不正确的是（）

A.该方程是一元二次方程
B.解方程时，两边同时除以$(x-2)$即可
C.该方程适合用因式分解法求解
D.该方程有两个不相等的实数根

8. B

【分析】
本题要求选出关于方程说法不正确的选项，解题思路是先对原方程进行整理求解，再逐一验证每个选项的正确性：首先回忆解含公因式的一元二次方程的注意事项，不能直接除以可能为0的含未知数的整式，避免丢根；再结合一元二次方程的定义、解法、根的情况分别判断四个选项即可。
【解析】
先对原方程进行变形求解：
将原方程移项得：$(x-2)^2 - 3(x-2) = 0$，
提取公因式$(x-2)$因式分解得：$(x-2)(x-2-3) = 0$，即$(x-2)(x-5)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=5$。
逐一分析选项：
A. 将原方程展开整理得$x^2-7x+10=0$，该方程只含1个未知数，未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，说法正确，不符合题意；
B. 若直接在方程两边同时除以$(x-2)$，需满足$x-2≠0$，但$x=2$是原方程的根，直接除以$(x-2)$会丢失$x=2$这个根，做法错误，说法不正确，符合题意；
C. 原方程移项后有公因式$(x-2)$，用因式分解法求解非常简便，说法正确，不符合题意；
D. 方程的两个根为2和5，是两个不相等的实数根，说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题考查一元二次方程的基础概念与解法，易错点是忽略除数不能为0的限制，直接除以含未知数的整式导致丢根，掌握各类解方程方法的适用条件是解题关键。
【难度系数】
0.75

9.若菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是一元二次方程$(x-6)(x-8)=0$的两个根，则菱形ABCD的边长是（）

A.8
B.6
C.5
D.14

9. C

【分析】
首先需要求解给出的一元二次方程，得到菱形两条对角线的长度；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，可知菱形的边长与两条对角线的一半刚好组成直角三角形，最后用勾股定理就能计算出菱形的边长。
【解析】
1. 解一元二次方程$(x-6)(x-8)=0$：
根据因式分解法解方程的规则，可得$x-6=0$或$x-8=0$，解得$x_1=6$，$x_2=8$，即菱形的两条对角线长分别为6和8。
2. 结合菱形性质分析：
菱形的对角线互相垂直且平分，因此两条对角线长度的一半分别为$6÷2=3$，$8÷2=4$。
3. 用勾股定理计算边长：
菱形的边长是直角三角形的斜边，两条直角边为对角线的一半，因此边长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是牢记菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算即可，是常规考点类题目，应当熟练掌握。
【难度系数】
0.8