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10.若关于$x$的一元二次方程$x^2+(k+3)x+3k=0$有一个根大于1，则$k$的取值范围是（
A.$-1＜k＜3$
B.$k＜-1$
C.$k＜-1$且$k≠-3$
D.$k≤-1$且$k≠-3$
B
）A.$-1＜k＜3$
B.$k＜-1$
C.$k＜-1$且$k≠-3$
D.$k≤-1$且$k≠-3$
答案
10. B
解析
【分析】
首先观察给定的一元二次方程，左边的二次三项式可通过十字相乘法因式分解，从而快速求出方程的两个根。已知其中一个根是固定值-3，小于1，因此只需让另一个根大于1，即可满足题目要求，据此列出不等式求解即可得到k的取值范围。
【解析】
对一元二次方程$x^2+(k+3)x+3k=0$因式分解，可得：
$(x+3)(x+k)=0$
解得方程的两个根为：$x_1=-3$，$x_2=-k$
$\because x_1=-3＜1$，要使方程有一个根大于1
$\therefore$ 只需$x_2=-k＞1$
解该不等式，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得：$k＜-1$
又$\because$ 原方程二次项系数为$1≠0$，无论k取何值均为一元二次方程，无额外限制条件
因此k的取值范围是$k＜-1$，对应选项B
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式，一元二次方程的根
【点评】
本题考查根据一元二次方程根的范围求解参数取值范围，解题核心是通过因式分解快速得到方程的两个根，将根的限制条件转化为不等式求解，属于基础题型，注意不要错误添加不存在的参数限制条件。
【难度系数】
0.7
首先观察给定的一元二次方程，左边的二次三项式可通过十字相乘法因式分解，从而快速求出方程的两个根。已知其中一个根是固定值-3，小于1，因此只需让另一个根大于1，即可满足题目要求，据此列出不等式求解即可得到k的取值范围。
【解析】
对一元二次方程$x^2+(k+3)x+3k=0$因式分解，可得：
$(x+3)(x+k)=0$
解得方程的两个根为：$x_1=-3$，$x_2=-k$
$\because x_1=-3＜1$，要使方程有一个根大于1
$\therefore$ 只需$x_2=-k＞1$
解该不等式，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得：$k＜-1$
又$\because$ 原方程二次项系数为$1≠0$，无论k取何值均为一元二次方程，无额外限制条件
因此k的取值范围是$k＜-1$，对应选项B
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式，一元二次方程的根
【点评】
本题考查根据一元二次方程根的范围求解参数取值范围，解题核心是通过因式分解快速得到方程的两个根，将根的限制条件转化为不等式求解，属于基础题型，注意不要错误添加不存在的参数限制条件。
【难度系数】
0.7
11.若实数$x,y$满足$(x^2 + y^2)^2 -6(x^2 + y^2)-16=0$,则$x^2 + y^2$的值为
8
.答案
11. 8
解析
【分析】
观察方程的结构，发现式子中多次出现整体$x^2 + y^2$，因此可以采用换元法，将$x^2 + y^2$设为新变量$t$，把原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解。另外要注意，$x$、$y$是实数，因此$x^2≥0$，$y^2≥0$，即$t=x^2 + y^2≥0$，解出$t$后要舍去不符合取值范围的解。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，由实数的平方非负性可得$t≥0$，
则原方程可转化为：$t^2 -6t -16 = 0$，
对左侧因式分解得：$(t - 8)(t + 2) = 0$，
解得$t_1=8$，$t_2=-2$，
因为$t≥0$，所以$t=-2$不符合要求，舍去，
因此$x^2 + y^2 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程；非负数的性质
【点评】
本题考查整体换元的数学思想，解题的关键是将$x^2+y^2$看作整体简化方程，同时要注意结合平方的非负性对解进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
观察方程的结构，发现式子中多次出现整体$x^2 + y^2$，因此可以采用换元法，将$x^2 + y^2$设为新变量$t$，把原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解。另外要注意，$x$、$y$是实数，因此$x^2≥0$，$y^2≥0$，即$t=x^2 + y^2≥0$，解出$t$后要舍去不符合取值范围的解。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，由实数的平方非负性可得$t≥0$，
则原方程可转化为：$t^2 -6t -16 = 0$，
对左侧因式分解得：$(t - 8)(t + 2) = 0$，
解得$t_1=8$，$t_2=-2$，
因为$t≥0$，所以$t=-2$不符合要求，舍去，
因此$x^2 + y^2 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程；非负数的性质
【点评】
本题考查整体换元的数学思想，解题的关键是将$x^2+y^2$看作整体简化方程，同时要注意结合平方的非负性对解进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
12.定义一种新运算：$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$. 若 $\begin{vmatrix} x & -2x-1 \\ 1 & x \end{vmatrix}=0$,则$x$的值为 ______ .
答案
12. -1
解析
【分析】
首先要理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的运算结果为左上元素与右下元素的乘积，减去左下元素与右上元素的乘积。解题时先将题目行列式中的元素和规则里的$a、b、c、d$一一对应，代入规则列出关于$x$的方程，再解这个一元二次方程即可得到$x$的值，代入时要注意右上元素是$-2x-1$，避免出现符号错误。
【解析】
根据新运算规则$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，本题中$a=x$，$b=1$，$c=-2x-1$，$d=x$，代入运算得：
$x· x - 1×(-2x-1)=0$
整理方程：
$x^2+2x+1=0$
用完全平方公式因式分解：
$(x+1)^2=0$
解得：$x=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义运算、解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解和应用能力，以及一元二次方程的求解能力，解题的关键是准确根据新运算规则列出方程，计算时要注意负号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
首先要理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的运算结果为左上元素与右下元素的乘积，减去左下元素与右上元素的乘积。解题时先将题目行列式中的元素和规则里的$a、b、c、d$一一对应，代入规则列出关于$x$的方程，再解这个一元二次方程即可得到$x$的值，代入时要注意右上元素是$-2x-1$，避免出现符号错误。
【解析】
根据新运算规则$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，本题中$a=x$，$b=1$，$c=-2x-1$，$d=x$，代入运算得：
$x· x - 1×(-2x-1)=0$
整理方程：
$x^2+2x+1=0$
用完全平方公式因式分解：
$(x+1)^2=0$
解得：$x=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义运算、解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解和应用能力，以及一元二次方程的求解能力，解题的关键是准确根据新运算规则列出方程，计算时要注意负号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
13. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $(m - 2)x^2 + 3x + m^2 - 4 = 0$ 有一个根为 0，则该方程的另一个根为
$\frac{3}{4}$
。答案
13. $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解题时首先要注意题目给出的是一元二次方程，因此隐含条件是二次项系数不为0，即$m≠ 2$；其次已知$x=0$是方程的根，将$x=0$代入方程即可求出$m$的可能取值，结合二次项系数不为0的条件筛选出正确的$m$值；最后将$m$代入原方程，通过解方程或利用根与系数的关系求出另一个根即可。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$m-2≠ 0$，即$m≠ 2$
第二步：将$x=0$代入原方程，得：
$(m-2)× 0^2 +3× 0 + m^2 -4 =0$
化简得$m^2 -4=0$，解得$m=2$或$m=-2$
第三步：结合$m≠ 2$的条件，确定$m=-2$
第四步：将$m=-2$代入原方程，得到：
$(-2-2)x^2 +3x + (-2)^2 -4=0$
化简得$-4x^2 +3x=0$，即$4x^2 -3x=0$
因式分解得$x(4x-3)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=\frac{3}{4}$
因此方程的另一个根为$\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免误取$m=2$导致错误，熟练掌握方程根的性质及一元二次方程的解法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要注意题目给出的是一元二次方程，因此隐含条件是二次项系数不为0，即$m≠ 2$；其次已知$x=0$是方程的根，将$x=0$代入方程即可求出$m$的可能取值，结合二次项系数不为0的条件筛选出正确的$m$值；最后将$m$代入原方程，通过解方程或利用根与系数的关系求出另一个根即可。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$m-2≠ 0$，即$m≠ 2$
第二步：将$x=0$代入原方程，得：
$(m-2)× 0^2 +3× 0 + m^2 -4 =0$
化简得$m^2 -4=0$，解得$m=2$或$m=-2$
第三步：结合$m≠ 2$的条件，确定$m=-2$
第四步：将$m=-2$代入原方程，得到：
$(-2-2)x^2 +3x + (-2)^2 -4=0$
化简得$-4x^2 +3x=0$，即$4x^2 -3x=0$
因式分解得$x(4x-3)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=\frac{3}{4}$
因此方程的另一个根为$\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免误取$m=2$导致错误，熟练掌握方程根的性质及一元二次方程的解法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
14. 把小圆形场地的半径增加6 m就是大圆形场地的半径，大圆形场地的面积是小圆形场地面积的2倍，求小圆形场地的半径.
答案
14.【解】设小圆形场地的半径为 $r$ m,则大圆形场地的半径为 $(r+6)$m.
根据题意,得 $π(r+6)^2=2π r^2$.
解得 $r_1=6+6\sqrt{2},r_2=6-6\sqrt{2}$(不合题意,舍去).
故小圆形场地的半径为 $(6+6\sqrt{2})$m.
根据题意,得 $π(r+6)^2=2π r^2$.
解得 $r_1=6+6\sqrt{2},r_2=6-6\sqrt{2}$(不合题意,舍去).
故小圆形场地的半径为 $(6+6\sqrt{2})$m.
解析
【分析】
这是一道结合圆面积公式的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，设小圆形场地的半径为未知数，用该未知数表示出大圆的半径；第二步，回忆圆的面积公式$S=π r^2$，根据“大圆形场地的面积是小圆形场地面积的2倍”这一等量关系列出方程；第三步，求解一元二次方程，结合半径为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根，最终得到小圆半径。
【解析】
解：设小圆形场地的半径为$r$ m，则大圆形场地的半径为$(r+6)$ m。
根据圆的面积公式及题意，列方程得：
$π(r+6)^2=2π r^2$
两边同时除以$π$，得：
$(r+6)^2=2r^2$
展开并整理方程：
$r^2+12r+36=2r^2$
$r^2-12r-36=0$
由一元二次方程求根公式$r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=1,b=-12,c=-36$，代入得：
$\Delta=(-12)^2-4×1×(-36)=144+144=288$
$r=\frac{12\pm\sqrt{288}}{2}=\frac{12\pm12\sqrt{2}}{2}=6\pm6\sqrt{2}$
因为圆形场地的半径为正数，$r_2=6-6\sqrt{2}＜0$，不符合实际意义，故舍去。
所以$r=6+6\sqrt{2}$。
【答案】
小圆形场地的半径为$(6+6\sqrt{2})$ m。
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 一元二次方程的解法
3. 列方程解应用题
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景验证解的合理性，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道结合圆面积公式的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，设小圆形场地的半径为未知数，用该未知数表示出大圆的半径；第二步，回忆圆的面积公式$S=π r^2$，根据“大圆形场地的面积是小圆形场地面积的2倍”这一等量关系列出方程；第三步，求解一元二次方程，结合半径为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根，最终得到小圆半径。
【解析】
解：设小圆形场地的半径为$r$ m，则大圆形场地的半径为$(r+6)$ m。
根据圆的面积公式及题意，列方程得：
$π(r+6)^2=2π r^2$
两边同时除以$π$，得：
$(r+6)^2=2r^2$
展开并整理方程：
$r^2+12r+36=2r^2$
$r^2-12r-36=0$
由一元二次方程求根公式$r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=1,b=-12,c=-36$，代入得：
$\Delta=(-12)^2-4×1×(-36)=144+144=288$
$r=\frac{12\pm\sqrt{288}}{2}=\frac{12\pm12\sqrt{2}}{2}=6\pm6\sqrt{2}$
因为圆形场地的半径为正数，$r_2=6-6\sqrt{2}＜0$，不符合实际意义，故舍去。
所以$r=6+6\sqrt{2}$。
【答案】
小圆形场地的半径为$(6+6\sqrt{2})$ m。
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 一元二次方程的解法
3. 列方程解应用题
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景验证解的合理性，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
15. 阅读材料，解答问题.
解方程$(x+1)^2 -5(x+1)-6=0.$
解:设 $x + 1 = y$, 则原方程可化为
$y^2 -5y -6=0.$
左边分解因式,得$(y-6)(y+1)=0.$
于是 $y-6=0$,或 $y+1=0$,
即 $y_1=6,y_2=-1.$
当 $y=6$ 时,$x+1=6$,解得 $x=5.$
当 $y=-1$ 时,$x+1=-1$,解得 $x=-2.$
所以原方程的解为 $x_1=5,x_2=-2.$
上述解方程的方法,我们称为换元法,利用换元法可以达到简化或降次的目的,运用了转化的思想.
请利用换元法解方程:$(2m - \sqrt{2})^2 -4(2m - \sqrt{2}) +3=0.$
解方程$(x+1)^2 -5(x+1)-6=0.$
解:设 $x + 1 = y$, 则原方程可化为
$y^2 -5y -6=0.$
左边分解因式,得$(y-6)(y+1)=0.$
于是 $y-6=0$,或 $y+1=0$,
即 $y_1=6,y_2=-1.$
当 $y=6$ 时,$x+1=6$,解得 $x=5.$
当 $y=-1$ 时,$x+1=-1$,解得 $x=-2.$
所以原方程的解为 $x_1=5,x_2=-2.$
上述解方程的方法,我们称为换元法,利用换元法可以达到简化或降次的目的,运用了转化的思想.
请利用换元法解方程:$(2m - \sqrt{2})^2 -4(2m - \sqrt{2}) +3=0.$
答案
15.【解】设 $2m-\sqrt{2}=n$,则原方程可化为 $n^2-4n+3=0$.
左边分解因式,得$(n-3)(n-1)=0$.
于是 $n-3=0$,或 $n-1=0$,
即 $n_1=3,n_2=1$.
当 $n=3$ 时,$2m-\sqrt{2}=3$,解得 $m=\frac{\sqrt{3}+3}{2}$.
当 $n=1$ 时,$2m-\sqrt{2}=1$,解得 $m=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.
所以原方程的解为 $m_1=\frac{\sqrt{2}+3}{2},m_2=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.
左边分解因式,得$(n-3)(n-1)=0$.
于是 $n-3=0$,或 $n-1=0$,
即 $n_1=3,n_2=1$.
当 $n=3$ 时,$2m-\sqrt{2}=3$,解得 $m=\frac{\sqrt{3}+3}{2}$.
当 $n=1$ 时,$2m-\sqrt{2}=1$,解得 $m=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.
所以原方程的解为 $m_1=\frac{\sqrt{2}+3}{2},m_2=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.
解析
【分析】
观察待解方程的结构，发现式子中$(2m - \sqrt{2})$作为整体重复出现，和例题的方程结构一致，因此可以采用换元法简化计算：第一步，将重复的整体$(2m - \sqrt{2})$设为新的未知数$n$，把原方程转化为关于$n$的一元二次方程，达到降次简化的目的；第二步，用因式分解法解关于$n$的一元二次方程，求出$n$的两个解；第三步，将$n$的解分别代回换元的式子，求出原未知数$m$的值，即可得到原方程的解。
【解析】
设 $2m-\sqrt{2}=n$，则原方程可化为 $n^2-4n+3=0$。
对左边分解因式，得$(n-3)(n-1)=0$。
于是 $n-3=0$，或 $n-1=0$，
解得 $n_1=3,n_2=1$。
当 $n=3$ 时，$2m-\sqrt{2}=3$，移项得$2m=3+\sqrt{2}$，解得 $m=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$。
当 $n=1$ 时，$2m-\sqrt{2}=1$，移项得$2m=1+\sqrt{2}$，解得 $m=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$m_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2},m_2=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程；整体思想
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，解题核心是识别出方程中重复出现的整体结构，通过换元将陌生的复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解，很好地体现了转化的数学思想，掌握换元法的基本步骤即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
观察待解方程的结构，发现式子中$(2m - \sqrt{2})$作为整体重复出现，和例题的方程结构一致，因此可以采用换元法简化计算：第一步，将重复的整体$(2m - \sqrt{2})$设为新的未知数$n$，把原方程转化为关于$n$的一元二次方程，达到降次简化的目的；第二步，用因式分解法解关于$n$的一元二次方程，求出$n$的两个解；第三步，将$n$的解分别代回换元的式子，求出原未知数$m$的值，即可得到原方程的解。
【解析】
设 $2m-\sqrt{2}=n$，则原方程可化为 $n^2-4n+3=0$。
对左边分解因式，得$(n-3)(n-1)=0$。
于是 $n-3=0$，或 $n-1=0$，
解得 $n_1=3,n_2=1$。
当 $n=3$ 时，$2m-\sqrt{2}=3$，移项得$2m=3+\sqrt{2}$，解得 $m=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$。
当 $n=1$ 时，$2m-\sqrt{2}=1$，移项得$2m=1+\sqrt{2}$，解得 $m=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$m_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2},m_2=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程；整体思想
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，解题核心是识别出方程中重复出现的整体结构，通过换元将陌生的复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解，很好地体现了转化的数学思想，掌握换元法的基本步骤即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
