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1. 用因式分解法解下列方程.
(1)$4x^2 - 4x - 3 = 0$.
(2)$(x + 3)^2 = (2x - 5)^2$.
(3)$(3x - 1)(x - 1) = (4x + 1)(x - 1)$.
(1)$4x^2 - 4x - 3 = 0$.
(2)$(x + 3)^2 = (2x - 5)^2$.
(3)$(3x - 1)(x - 1) = (4x + 1)(x - 1)$.
答案
解：
(1) 因式分解，得
$(2x-3)(2x+1)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $2x+1=0$
解得 $x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(2) 移项，得
$(x+3)^2-(2x-5)^2=0$
由平方差公式因式分解，得
$[(x+3)+(2x-5)][(x+3)-(2x-5)]=0$
化简得
$(3x-2)(-x+8)=0$
$\therefore 3x-2=0$ 或 $-x+8=0$
解得 $x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=8$。
(3) 移项，得
$(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0$
提取公因式$(x-1)$，得
$(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0$
化简得
$(x-1)(-x-2)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $-x-2=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=-2$。
(1) 因式分解，得
$(2x-3)(2x+1)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $2x+1=0$
解得 $x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(2) 移项，得
$(x+3)^2-(2x-5)^2=0$
由平方差公式因式分解，得
$[(x+3)+(2x-5)][(x+3)-(2x-5)]=0$
化简得
$(3x-2)(-x+8)=0$
$\therefore 3x-2=0$ 或 $-x+8=0$
解得 $x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=8$。
(3) 移项，得
$(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0$
提取公因式$(x-1)$，得
$(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0$
化简得
$(x-1)(-x-2)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $-x-2=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=-2$。
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是将方程转化为“两个一次因式乘积为0”的形式，再根据“若ab=0则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解，解题时需结合方程结构选择合适的因式分解方法：
(1) 方程为一元二次方程的一般形式，左边是二次三项式，可通过十字相乘法分解为两个一次因式的乘积；
(2) 方程左右两边均为完全平方形式，先移项凑出平方差的结构，再用平方差公式因式分解，避免直接开平方漏解；
(3) 方程左右两边含有相同的公因式$(x-1)$，注意不能直接两边同时除以$(x-1)$（会丢失$x=1$的根），需先移项再提取公因式化简求解。
【解析】
(1) 因式分解，得
$(2x-3)(2x+1)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $2x+1=0$
解得 $x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(2) 移项，得
$(x+3)^2-(2x-5)^2=0$
由平方差公式因式分解，得
$[(x+3)+(2x-5)][(x+3)-(2x-5)]=0$
化简得
$(3x-2)(-x+8)=0$
$\therefore 3x-2=0$ 或 $-x+8=0$
解得 $x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=8$。
(3) 移项，得
$(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0$
提取公因式$(x-1)$，得
$(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0$
化简得
$(x-1)(-x-2)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $-x-2=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=\frac{2}{3},x_2=8$
(3) $x_1=1,x_2=-2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 十字相乘法因式分解
3. 平方差公式
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的实际应用，需根据方程的结构特征灵活选择十字相乘、公式法、提取公因式等因式分解方法，解题时注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的问题，属于基础运算类题型，熟练掌握因式分解的常用方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是将方程转化为“两个一次因式乘积为0”的形式，再根据“若ab=0则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解，解题时需结合方程结构选择合适的因式分解方法：
(1) 方程为一元二次方程的一般形式，左边是二次三项式，可通过十字相乘法分解为两个一次因式的乘积；
(2) 方程左右两边均为完全平方形式，先移项凑出平方差的结构，再用平方差公式因式分解，避免直接开平方漏解；
(3) 方程左右两边含有相同的公因式$(x-1)$，注意不能直接两边同时除以$(x-1)$（会丢失$x=1$的根），需先移项再提取公因式化简求解。
【解析】
(1) 因式分解，得
$(2x-3)(2x+1)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $2x+1=0$
解得 $x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(2) 移项，得
$(x+3)^2-(2x-5)^2=0$
由平方差公式因式分解，得
$[(x+3)+(2x-5)][(x+3)-(2x-5)]=0$
化简得
$(3x-2)(-x+8)=0$
$\therefore 3x-2=0$ 或 $-x+8=0$
解得 $x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=8$。
(3) 移项，得
$(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0$
提取公因式$(x-1)$，得
$(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0$
化简得
$(x-1)(-x-2)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $-x-2=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=\frac{2}{3},x_2=8$
(3) $x_1=1,x_2=-2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 十字相乘法因式分解
3. 平方差公式
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的实际应用，需根据方程的结构特征灵活选择十字相乘、公式法、提取公因式等因式分解方法，解题时注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的问题，属于基础运算类题型，熟练掌握因式分解的常用方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】用适当的方法解下列方程.
(1)$(x-1)^2 -9=0$.
(2)$3x^2 -4x=2x$.
(3)$(x-2)^2 +10(x-2)+25=0$.
(4)$3x^2 -8x +2=0$.
【解】(1)移项,得$(x-1)^2=9$.
由此可得$x-1=\pm3$,
$x-1=3$,或$x-1=-3$,
即$x_1=4,x_2=-2$.
(2)整理,得$3x^2 -6x=0$.
左边分解因式,得$3x(x-2)=0$.
于是$3x=0$,或$x-2=0$,
即$x_1=0,x_2=2$.
(3)左边分解因式,得$(x-2+5)^2=0$,
即$(x+3)^2=0$.
于是$x+3=0$,
即$x_1=x_2=-3$.
(4)因为$a=3,b=-8,c=2$,
所以$\Delta =b^2 -4ac=(-8)^2 -4×3×2=40＞0$.方程有两个不相等的实数根$x=$
规律方法 解一元二次方程常用的方法.
(1)$(x-1)^2 -9=0$.
(2)$3x^2 -4x=2x$.
(3)$(x-2)^2 +10(x-2)+25=0$.
(4)$3x^2 -8x +2=0$.
【解】(1)移项,得$(x-1)^2=9$.
由此可得$x-1=\pm3$,
$x-1=3$,或$x-1=-3$,
即$x_1=4,x_2=-2$.
(2)整理,得$3x^2 -6x=0$.
左边分解因式,得$3x(x-2)=0$.
于是$3x=0$,或$x-2=0$,
即$x_1=0,x_2=2$.
(3)左边分解因式,得$(x-2+5)^2=0$,
即$(x+3)^2=0$.
于是$x+3=0$,
即$x_1=x_2=-3$.
(4)因为$a=3,b=-8,c=2$,
所以$\Delta =b^2 -4ac=(-8)^2 -4×3×2=40＞0$.方程有两个不相等的实数根$x=$
规律方法 解一元二次方程常用的方法.
答案
(1) 移项,得$(x-1)^2=9$.
由此可得$x-1=\pm3$,
$x-1=3$,或$x-1=-3$,
即$x_1=4,x_2=-2$.
(2) 整理,得$3x^2 -6x=0$.
左边分解因式,得$3x(x-2)=0$.
于是$3x=0$,或$x-2=0$,
即$x_1=0,x_2=2$.
(3) 左边分解因式,得$(x-2+5)^2=0$,
即$(x+3)^2=0$.
于是$x+3=0$,
即$x_1=x_2=-3$.
(4) 因为$a=3,b=-8,c=2$,
所以$\Delta =b^2 -4ac=(-8)^2 -4×3×2=40＞0$.方程有两个不相等的实数根$x=$
规律方法 解一元二次方程常用的方法.
解析
【分析】
解一元二次方程时需先观察方程的结构特征，优先选择简便方法求解：
1. 方程(1)符合$(mx+n)^2=p(p≥0)$的形式，选用直接开平方法，先移项得到平方项等于常数的形式，再开平方降次为一元一次方程求解；
2. 方程(2)整理后无常数项，可提取公因式分解，选用因式分解法，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别令因式为0即可求解；
3. 方程(3)左侧符合完全平方公式结构，将$(x-2)$看作整体因式分解，可快速得到结果；
4. 方程(4)无法直接开方也不易因式分解，选用公式法：先确定$a、b、c$的取值，计算判别式$\Delta$判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 移项，得$(x-1)^2=9$，
开平方得$x-1=\pm3$，即$x-1=3$或$x-1=-3$，
解得$x_1=4,x_2=-2$。
(2) 移项整理，得$3x^2-6x=0$，
分解因式得$3x(x-2)=0$，即$3x=0$或$x-2=0$，
解得$x_1=0,x_2=2$。
(3) 将$(x-2)$看作整体，用完全平方公式分解因式，得$(x-2+5)^2=0$，即$(x+3)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-3$。
(4) 由方程得$a=3,b=-8,c=2$，计算判别式：
$\Delta =b^2-4ac=(-8)^2-4×3×2=40＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式即可得到结果。
【答案】
(1) $x_1=4,x_2=-2$
(2) $x_1=0,x_2=2$
(3) $x_1=x_2=-3$
(4)
规律方法 解一元二次方程常用的方法.
【知识点】
一元二次方程的解法、求根公式、因式分解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查不同解法的灵活应用，根据方程特征选择最优解法可有效减少计算量、降低出错概率，熟练掌握各类解法的适用场景是解决一元二次方程相关问题的基础。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时需先观察方程的结构特征，优先选择简便方法求解：
1. 方程(1)符合$(mx+n)^2=p(p≥0)$的形式，选用直接开平方法，先移项得到平方项等于常数的形式，再开平方降次为一元一次方程求解；
2. 方程(2)整理后无常数项，可提取公因式分解，选用因式分解法，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别令因式为0即可求解；
3. 方程(3)左侧符合完全平方公式结构，将$(x-2)$看作整体因式分解，可快速得到结果；
4. 方程(4)无法直接开方也不易因式分解，选用公式法：先确定$a、b、c$的取值，计算判别式$\Delta$判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 移项，得$(x-1)^2=9$，
开平方得$x-1=\pm3$，即$x-1=3$或$x-1=-3$，
解得$x_1=4,x_2=-2$。
(2) 移项整理，得$3x^2-6x=0$，
分解因式得$3x(x-2)=0$，即$3x=0$或$x-2=0$，
解得$x_1=0,x_2=2$。
(3) 将$(x-2)$看作整体，用完全平方公式分解因式，得$(x-2+5)^2=0$，即$(x+3)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-3$。
(4) 由方程得$a=3,b=-8,c=2$，计算判别式：
$\Delta =b^2-4ac=(-8)^2-4×3×2=40＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式即可得到结果。
【答案】
(1) $x_1=4,x_2=-2$
(2) $x_1=0,x_2=2$
(3) $x_1=x_2=-3$
(4)
规律方法 解一元二次方程常用的方法.
【知识点】
一元二次方程的解法、求根公式、因式分解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查不同解法的灵活应用，根据方程特征选择最优解法可有效减少计算量、降低出错概率，熟练掌握各类解法的适用场景是解决一元二次方程相关问题的基础。
【难度系数】
0.8
2. 用适当的方法解下列方程.
(1)$2x^2 - 8 = 0$.
(2)$x^2 - 2\sqrt{2}x - 4 = 0$.
(3)$2x^2 + 3x - 1 = 0$.
(4)$(2x + 1)^2 = 2x + 1$.
(1)$2x^2 - 8 = 0$.
(2)$x^2 - 2\sqrt{2}x - 4 = 0$.
(3)$2x^2 + 3x - 1 = 0$.
(4)$(2x + 1)^2 = 2x + 1$.
答案
2.【解】(1) 移项,得$2x^2=8$.
二次项系数化为1,得$x^2=4$.
由此可得$x=\pm2$,
即$x_1=2,x_2=-2$.
(2) 移项,得$x^2 - 2\sqrt{2}x=4$.
配方,得$x^2 - 2\sqrt{2}x + (\sqrt{2})^2=4+(\sqrt{2})^2$,
即$(x-\sqrt{2})^2=6$.
由此可得$x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$,
$x-\sqrt{2}=\sqrt{6}$,或$x-\sqrt{2}=-\sqrt{6}$,
即$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$.
(3) 因为$a=2,b=3,c=-1$,
所以$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$.
方程有两个不相等的实数根 $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$,
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
(4) 移项,得$(2x+1)^2-(2x+1)=0$.
左边分解因式,得$(2x+1)(2x+1-1)=0$.
于是$2x+1=0$,或$2x+1-1=0$,
即$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$.
二次项系数化为1,得$x^2=4$.
由此可得$x=\pm2$,
即$x_1=2,x_2=-2$.
(2) 移项,得$x^2 - 2\sqrt{2}x=4$.
配方,得$x^2 - 2\sqrt{2}x + (\sqrt{2})^2=4+(\sqrt{2})^2$,
即$(x-\sqrt{2})^2=6$.
由此可得$x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$,
$x-\sqrt{2}=\sqrt{6}$,或$x-\sqrt{2}=-\sqrt{6}$,
即$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$.
(3) 因为$a=2,b=3,c=-1$,
所以$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$.
方程有两个不相等的实数根 $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$,
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
(4) 移项,得$(2x+1)^2-(2x+1)=0$.
左边分解因式,得$(2x+1)(2x+1-1)=0$.
于是$2x+1=0$,或$2x+1-1=0$,
即$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的解法，需根据每个方程的特征选择最简便的方法求解：
（1）方程无一次项，适合用直接开平方法：先移项将常数项移到等号右侧，再把二次项系数化为1，最后开平方即可得解；
（2）方程二次项系数为1，一次项系数是$2\sqrt{2}$，适合用配方法：先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开平方求解；
（3）方程各项系数没有特殊特征，不适合直接开平方或因式分解，选用公式法：先确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，计算判别式$\Delta$判断根的情况，再代入求根公式计算即可；
（4）方程左右两边含有相同的因式$(2x+1)$，适合用因式分解法：先移项将右侧项移到左侧，再提取公因式将左侧分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0分别求解即可，注意不可直接两边除以$(2x+1)$，避免漏解。
【解析】
(1) 移项，得$2x^2=8$，
二次项系数化为1，得$x^2=4$，
由此可得$x=\pm2$，
即$x_1=2,x_2=-2$。
(2) 移项，得$x^2 - 2\sqrt{2}x=4$，
配方，得$x^2 - 2\sqrt{2}x + (\sqrt{2})^2=4+(\sqrt{2})^2$，
即$(x-\sqrt{2})^2=6$，
由此可得$x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$，
$x-\sqrt{2}=\sqrt{6}$，或$x-\sqrt{2}=-\sqrt{6}$，
即$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$。
(3) 因为$a=2,b=3,c=-1$，
所以$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$，
方程有两个不相等的实数根 $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$。
(4) 移项，得$(2x+1)^2-(2x+1)=0$，
左边分解因式，得$(2x+1)(2x+1-1)=0$，
于是$2x+1=0$，或$2x+1-1=0$，
即$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$。
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-2$；(2)$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$；(3)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$；(4)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$
【知识点】
一元二次方程的解法；配方法；因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，核心是根据方程的形式灵活选用简便解法，解题时要注意避免第(4)题直接除以公因式导致漏解的错误，同时计算时要保证判别式、配方的准确性。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的解法，需根据每个方程的特征选择最简便的方法求解：
（1）方程无一次项，适合用直接开平方法：先移项将常数项移到等号右侧，再把二次项系数化为1，最后开平方即可得解；
（2）方程二次项系数为1，一次项系数是$2\sqrt{2}$，适合用配方法：先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开平方求解；
（3）方程各项系数没有特殊特征，不适合直接开平方或因式分解，选用公式法：先确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，计算判别式$\Delta$判断根的情况，再代入求根公式计算即可；
（4）方程左右两边含有相同的因式$(2x+1)$，适合用因式分解法：先移项将右侧项移到左侧，再提取公因式将左侧分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0分别求解即可，注意不可直接两边除以$(2x+1)$，避免漏解。
【解析】
(1) 移项，得$2x^2=8$，
二次项系数化为1，得$x^2=4$，
由此可得$x=\pm2$，
即$x_1=2,x_2=-2$。
(2) 移项，得$x^2 - 2\sqrt{2}x=4$，
配方，得$x^2 - 2\sqrt{2}x + (\sqrt{2})^2=4+(\sqrt{2})^2$，
即$(x-\sqrt{2})^2=6$，
由此可得$x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$，
$x-\sqrt{2}=\sqrt{6}$，或$x-\sqrt{2}=-\sqrt{6}$，
即$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$。
(3) 因为$a=2,b=3,c=-1$，
所以$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$，
方程有两个不相等的实数根 $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$。
(4) 移项，得$(2x+1)^2-(2x+1)=0$，
左边分解因式，得$(2x+1)(2x+1-1)=0$，
于是$2x+1=0$，或$2x+1-1=0$，
即$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$。
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-2$；(2)$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$；(3)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$；(4)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$
【知识点】
一元二次方程的解法；配方法；因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，核心是根据方程的形式灵活选用简便解法，解题时要注意避免第(4)题直接除以公因式导致漏解的错误，同时计算时要保证判别式、配方的准确性。
【难度系数】
0.8
