1. 抛物线 $y=ax^2$ 与 $y=ax^2+k$ 的平移变换
（1）$k ＞ 0$：抛物线 $y = ax^2$
沿 $y$ 轴向上平移 $k$ 个单位长度 $\rightleftharpoons$ 抛物线 $y=ax^2+k$.
沿 $y$ 轴向下平移 $k$ 个单位长度
（2）$k ＜ 0$：抛物线 $y = ax^2$
沿 $y$ 轴向下平移 $|k|$ 个单位长度 $\rightleftharpoons$ 抛物线 $y = ax^2 + k$.
沿 $y$ 轴向上平移 $|k|$ 个单位长度
2. 二次函数 $y=ax^2+k$ 的图象和性质

续 表
| $a$ 的符号 | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向 | 向 |
| 对称轴 | 轴 | |
| 顶点坐标 | | |
| 增减性 | 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而；当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而 | 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而；当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而 |
| 最值 | 当 $x=$时，$y$ 取最小值，最小值为 $k$ | 当 $x=$时，$y$ 取最大值，最大值为 $k$ |

2. 上 下 y (0,k) 减小 增大 增大 减小 0 0

典例1 在平面直角坐标系中，将抛物线$y=2x^2$向上平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为。
规律方法 （1）抛物线$y=ax^2$向上（或下）平移$|m|$个单位长度，即可得到抛物线$y=ax^2\pm m$，即“上加下减”。
（2）对于抛物线$y=a_1x^2 + k_1$与$y=a_2x^2 + k_2$而言，当$a_1=a_2$时，它们的开口方向和形状都相同，可以通过上下平移相互得到。反之，如果两条抛物线的形状完全相同，则必有$|a_1|=|a_2|$。

典例1 答案 $y=2x^2 + 3$

举一反三 将抛物线 $ y=-x^2 $ 平移到与抛物线 $ y=-x^2 -2 $ 重合，下列平移方式正确的是().

A.向上平移2个单位长度
B.向下平移2个单位长度
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度

1. 【举一反三】B