6. 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
(1)$y=\frac{2}{3}x^2$；(2)$y=-\frac{2}{3}x^2$。

6. 解 分别列表如下.
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{2}{3}x^2$ | $\dots$ | $\frac{8}{3}$ | $\frac{2}{3}$ | $0$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{8}{3}$ | $\dots$ |
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| $y=-\frac{2}{3}x^2$ | $\dots$ | $-\frac{8}{3}$ | $-\frac{2}{3}$ | $0$ | $-\frac{2}{3}$ | $-\frac{8}{3}$ | $\dots$ |
描点、连线,如图所示.

7.已知抛物线$y=ax^2$经过点$(1,2)$。
(1)当$x=\frac{1}{2}$时，$y$的值是多少？
(2)当$y=2$时，$x$的值是多少？
(3)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大如何变化？当$x＜0$时，$y$随$x$的增大如何变化？
(4)当$x$取何值时，$y$有最小值？最小值是多少？

7. 解 把点$(1,2)$的坐标代入$y=ax^2$,得$a=2$,所以$y=2x^2$.
(1)当$x=\frac{1}{2}$时,$y=2×(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$.
(2)当$y=2$时,$2x^2=2$,所以$x=\pm1$.
(3)当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小.
(4)当$x=0$时,$y$有最小值,最小值为0.

8. 抛物线 $y=3x^2, y=-4x^2, y=\frac{1}{2}x^2$ 的共同性质是().

A.开口向上
B.都有最大值
C.对称轴都是 $x$ 轴
D.顶点都是原点

8. D 解析 抛物线$y=3x^2$的开口向上,有最小值,对称轴是$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$;
抛物线$y=-4x^2$的开口向下,有最大值,对称轴是$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$;
抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的开口向上,有最小值,对称轴是$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$.
故选D.

9.若抛物线$y=-x^2$上的一点到$x$轴的距离是9，则该点的坐标是。

9. $(3,-9)$或$(-3,-9)$ 解析 因为抛物线$y=-x^2$的开口向下,所以$y≤0$.
因为该抛物线上的一点到$x$轴的距离是9,所以$y=-9$.由$-9=-x^2$,得$x=\pm3$.
所以该点的坐标是$(3,-9)$或$(-3,-9)$.

10. 已知函数 $ y = ax^2 (a ≠ 0) $ 的图象与 $ y = 2x - 3 $ 的图象交于点 $ (1, b) $。
(1) 试求 $ a, b $ 的值；
(2) 求函数 $ y = ax^2 $ 的解析式，并求其图象的顶点坐标和对称轴；
(3) 当 $ x $ 取何值时，二次函数 $ y = ax^2 $ 中的 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(4) 求该抛物线与过点 $ (0, -2) $ 且与 $ x $ 轴平行的直线的两个交点与顶点构成的三角形的面积。

10. 解 (1)将$x=1,y=b$代入$y=2x-3$,得$b=-1$.
所以交点坐标为$(1,-1)$.
再将$x=1,y=-1$代入$y=ax^2$,得$a=-1$.
所以$a=-1,b=-1$.
(2)由(1)知$a=-1$,所以函数$y=ax^2$的解析式为$y=-x^2$,其图象的顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴.
(3)当$x≤0$时,$y$随$x$的增大而增大.
(4)如图所示,设直线$y=-2$与该抛物线的两个交点为$A,B$,与$y$轴的交点为C.
由$\begin{cases}y=-2,\\y=-x^2,\end{cases}$得$\begin{cases}x=\sqrt{2},\\y=-2,\end{cases}$或$\begin{cases}x=-\sqrt{2},\\y=-2,\end{cases}$
所以点$A$的坐标为$(-\sqrt{2},-2)$,点$B$的坐标为$(\sqrt{2},-2)$.
所以$AB=\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2},OC=2$.
所以$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$.

11. 如图，一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象交于点 $ A(1, m) $，$ B(-2, 4) $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
(1) 求这两个函数的解析式；
(2) 求 $ △ AOB $ 的面积。

11. 解 (1)将点$B(-2,4)$的坐标代入二次函数$y=ax^2$,得$4a=4$,所以$a=1$,
所以二次函数的解析式为$y=x^2$.
将点$A(1,m)$的坐标代入$y=x^2$,得$m=1$.
所以点$A$的坐标为$(1,1)$.
因为一次函数$y=kx+b$的图象过点$A(1,1),B(-2,4)$,
所以$\begin{cases}k+b=1,\\-2k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2,\end{cases}$
故一次函数的解析式为$y=-x+2$.
(2)由(1)知一次函数$y=-x+2$的图象与$y$轴的交点$C$的坐标为$(0,2)$,则$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×2=3$.