三、解答题
15.如图14,在△ABC中,O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN//BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F.
(1)求证:EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?请说明理由;
(3)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?请说明理由.

15.(1)证明:$\because MN // BC$,
$\therefore ∠ OEC=∠ BCE,∠ OFC=∠ GCF$.
又$\because CE$平分$∠ BCO$,$CF$平分$∠ GCO$,
$\therefore ∠ OCE=∠ BCE,∠ OCF=∠ GCF$.
$\therefore ∠ OCE=∠ OEC,∠ OCF=∠ OFC$.
$\therefore EO=CO,FO=CO.\therefore EO=FO$.
(2)解:当点$O$运动到$AC$的中点时,四边形$ AECF $是矩形.
理由:当点$ O $运动到$ AC $的中点时,$AO=CO$.
又$\because EO=FO$,
$\therefore$ 四边形$ AECF $是平行四边形.
$\because FO=CO,\therefore AO=CO=EO=FO$.
$\therefore AO+CO=EO+FO$,即$ AC=EF $.
$\therefore$ 平行四边形$ AECF $是矩形.
(3)解:当点$ O $运动到$ AC $的中点,且$△ ABC$是以$∠ ACB$为直角的直角三角形时,四边形$ AECF $是正方形.
理由:由(2)知,当点$ O $运动到$ AC $的中点时,四边形$ AECF $是矩形,
已知$ MN// BC $,当$ ∠ ACB=90° $,
则$ ∠ AOF=∠ COE=∠ COF=∠ AOE=90° $,
$\therefore AC⊥ EF$.
$\therefore$ 矩形$ AECF $是正方形.

16.如图15,已知四边形ABCD为正方形,$AB=3\sqrt{2}$,E为对角线AC上的一个动点,连接DE,过点E作$EF⊥DE$,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形.
(2)探究:$CE+CG$的值是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.

16.(1)证明:如图,作$ EM ⊥ BC $于点$ M $,$ EN⊥ CD $于点$ N $,

$\therefore ∠ MEN=90°$.
$\because E$是正方形$ ABCD $对角线上的点,
$\therefore EM=EN$.
$\because ∠ DEF=90°$,
$\therefore ∠ DEN=∠ FEM$.
$\because ∠ DNE=∠ FME=90°$,
在$△ DEN$和$△ FEM$中,
$\begin{cases}∠ DNE=∠ FME,\\EN=EM,\\∠ DEN=∠ FEM,\end{cases}$
$\therefore △ DEN≌△ FEM(\mathrm{ASA})$.
$\therefore FE=DE$.
$\because$ 四边形$ DEFG $是矩形,
$\therefore$ 矩形$ DEFG $是正方形.
(2)解:$ CE+CG $的值是定值,定值为6,理由如下:
$\because$ 四边形$ DEFG $和四边形$ ABCD $是正方形,
$\therefore DE=DG,AD=DC$.
$\because ∠ CDG+∠ CDE=∠ ADE+∠ CDE=90°$,
$\therefore ∠ CDG=∠ ADE$.
在$△ ADE$和$△ CDG$中,
$\begin{cases}AD=CD,\\∠ ADE=∠ CDG,\\DE=DG,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CDG(\mathrm{SAS})$.
$\therefore AE=CG$.
$\therefore CE+CG=CE+AE=AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$,是定值.