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11.如图1-1-13，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE=∠CDF.当AB=12，DF=13时，求BE的长.
答案
11. 解：在矩形 ABCD 中，$AB = DC$，
$∠ B = ∠ C = 90°$.
在$△ ABE$ 和$△ DCF$ 中，
$\begin{cases}∠ BAE = ∠ CDF, \\AB = DC, \\∠ B = ∠ C = 90°,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DCF(\mathrm{ASA})$.
$\therefore AE = DF = 13$.
$\therefore BE=\sqrt{AE^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$.
$∠ B = ∠ C = 90°$.
在$△ ABE$ 和$△ DCF$ 中，
$\begin{cases}∠ BAE = ∠ CDF, \\AB = DC, \\∠ B = ∠ C = 90°,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DCF(\mathrm{ASA})$.
$\therefore AE = DF = 13$.
$\therefore BE=\sqrt{AE^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$.
12.如图1-1-14,在菱形ABCD中,AE=CF,连接AF,EC,交点为M.求证:AF=CE. 
图1-1-14
图1-1-14答案
12. 证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD.
∵AE=CF,
∴DE=DF.
在△DAF与△DCE中，
$\begin{cases} DF=DE, \\ ∠D=∠D, \\ DA=DC, \end{cases}$
∴△DAF≌△DCE(SAS).
∴AF=CE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD.
∵AE=CF,
∴DE=DF.
在△DAF与△DCE中，
$\begin{cases} DF=DE, \\ ∠D=∠D, \\ DA=DC, \end{cases}$
∴△DAF≌△DCE(SAS).
∴AF=CE.
菱形的性质：
(1)菱形具有平行四边形的所有性质.
(2)菱形的四条边
(3)菱形的对角线互相
(4)菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半.
(1)菱形具有平行四边形的所有性质.
(2)菱形的四条边
相等
.(3)菱形的对角线互相
垂直
且互相平分
.(4)菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半.
答案
2. 相等
3. 垂直 平分
3. 垂直 平分
