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1.如图，$△ ABC$的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD。若$AC=8$，$CD=5$，则BD的长度为
3
。答案
1. 3
解析
【分析】
解题时首先提取题目关键条件：点D在AB的垂直平分线上，由此联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BD=AD，接下来只需计算AD的长度即可得到BD的长，AD可通过AC与CD的长度差直接求出。
【解析】
∵点D在AB的垂直平分线上
∴根据线段垂直平分线的性质，得BD=AD
又
∵AC=8，CD=5
∴AD=AC - CD = 8 - 5 = 3
∴BD=AD=3
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质，线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握线段垂直平分线的性质，将未知线段转化为已知可求的线段，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题目关键条件：点D在AB的垂直平分线上，由此联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BD=AD，接下来只需计算AD的长度即可得到BD的长，AD可通过AC与CD的长度差直接求出。
【解析】
∵点D在AB的垂直平分线上
∴根据线段垂直平分线的性质，得BD=AD
又
∵AC=8，CD=5
∴AD=AC - CD = 8 - 5 = 3
∴BD=AD=3
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质，线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握线段垂直平分线的性质，将未知线段转化为已知可求的线段，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
2. 命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是
如果两个角相等
那么这两个角是同一个角的补角
.答案
2. 如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的补角
解析
【分析】
要得到一个命题的逆命题，首先需明确命题的基本结构：命题通常由条件（题设）和结论两部分构成，“如果”后面的内容是条件，“那么”后面的内容是结论。逆命题的本质是将原命题的条件和结论互换位置，因此我们先拆分本题中原命题的条件和结论，再交换两者位置，整理成通顺的逻辑语句即可。
【解析】
首先拆分原命题的条件和结论：
原命题条件：两个角是同一个角的补角
原命题结论：这两个角相等
根据逆命题的定义，将条件和结论互换，整理为“如果……那么……”的标准命题形式，即可得到逆命题。
【答案】
如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的补角
【知识点】
1. 逆命题的概念
2. 命题的结构
【点评】
本题属于基础题型，重点考查逆命题的改写方法，解题核心是准确区分原命题的条件与结论，改写时注意语句表述通顺、符合逻辑规范即可。
【难度系数】
0.8
要得到一个命题的逆命题，首先需明确命题的基本结构：命题通常由条件（题设）和结论两部分构成，“如果”后面的内容是条件，“那么”后面的内容是结论。逆命题的本质是将原命题的条件和结论互换位置，因此我们先拆分本题中原命题的条件和结论，再交换两者位置，整理成通顺的逻辑语句即可。
【解析】
首先拆分原命题的条件和结论：
原命题条件：两个角是同一个角的补角
原命题结论：这两个角相等
根据逆命题的定义，将条件和结论互换，整理为“如果……那么……”的标准命题形式，即可得到逆命题。
【答案】
如果两个角相等,那么这两个角是同一个角的补角
【知识点】
1. 逆命题的概念
2. 命题的结构
【点评】
本题属于基础题型，重点考查逆命题的改写方法，解题核心是准确区分原命题的条件与结论，改写时注意语句表述通顺、符合逻辑规范即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$△ ABC$中,$DE$是$AC$的垂直平分线,$AE = 5\ \mathrm{cm}$,$△ ABC$的周长为$26\ \mathrm{cm}$,求$△ ABD$的周长.
答案
3. 解
∵DE 是 AC 的垂直平分线,AE=5 cm,
∴AD=CD,AC=2AE=10 cm.
∵△ABC 的周长为 26 cm,
∴AB+BC=26−AC=16(cm),
∴△ABD 的周长=AB+(BD+AD)=AB+BC=16(cm).
∵DE 是 AC 的垂直平分线,AE=5 cm,
∴AD=CD,AC=2AE=10 cm.
∵△ABC 的周长为 26 cm,
∴AB+BC=26−AC=16(cm),
∴△ABD 的周长=AB+(BD+AD)=AB+BC=16(cm).
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“DE是AC的垂直平分线”切入，回忆线段垂直平分线的相关性质：一是垂直平分线平分对应线段，因此AC的长度是AE的2倍；二是垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此点D到A、C的距离相等，即AD=CD。接下来分析所求的△ABD的周长，其周长为AB+BD+AD，结合AD=CD的结论，可将周长替换为AB+BD+CD，也就是AB+BC。最后结合△ABC的周长已知，减去AC的长度即可得到AB+BC的值，也就是△ABD的周长。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，
∴AD=CD，AC=2AE=2×5=10 cm。
∵△ABC的周长为26 cm，即AB+BC+AC=26 cm，
∴AB+BC=26 - AC=26 - 10=16 cm。
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=16 cm。
【答案】
16 cm
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质 2.三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题的核心是借助垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知条件可求解的线段和，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“DE是AC的垂直平分线”切入，回忆线段垂直平分线的相关性质：一是垂直平分线平分对应线段，因此AC的长度是AE的2倍；二是垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此点D到A、C的距离相等，即AD=CD。接下来分析所求的△ABD的周长，其周长为AB+BD+AD，结合AD=CD的结论，可将周长替换为AB+BD+CD，也就是AB+BC。最后结合△ABC的周长已知，减去AC的长度即可得到AB+BC的值，也就是△ABD的周长。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，
∴AD=CD，AC=2AE=2×5=10 cm。
∵△ABC的周长为26 cm，即AB+BC+AC=26 cm，
∴AB+BC=26 - AC=26 - 10=16 cm。
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=16 cm。
【答案】
16 cm
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质 2.三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题的核心是借助垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知条件可求解的线段和，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，直线$l$，$m$相交于点$O$，$P$为这两直线外一点，且$OP=2.8$. 若点$P$关于直线$l$，$m$对称的点分别是点$P_1$，$P_2$，则点$P_1$，$P_2$之间的距离可能是(
A.0
B.5
C.6
D.7
B
).A.0
B.5
C.6
D.7
答案
4. B
解析
【分析】
解题时先利用轴对称的性质推导OP₁、OP₂与OP的长度关系，再结合三角形三边关系确定P₁P₂的取值范围，最后对比选项选出符合要求的答案。第一步：回忆轴对称的性质，对称轴是对称点连线的垂直平分线，因此直线l、m上的点O到两组对称点的距离相等，可得OP₁=OP₂=OP；第二步：将OP₁、OP₂作为三角形的两边，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，计算得到P₁P₂的取值范围，再筛选选项即可。
【解析】
连接OP₁、OP₂、P₁P₂。
∵点P关于直线l的对称点是P₁，直线l垂直平分线段PP₁，点O在直线l上，
∴OP₁=OP=2.8。
同理，点P关于直线m的对称点是P₂，直线m垂直平分线段PP₂，点O在直线m上，
∴OP₂=OP=2.8。
在△OP₁P₂中，根据三角形三边关系可得：
$OP_1 - OP_2 ＜ P_1P_2 ＜ OP_1 + OP_2$，
代入数值计算得：$0 ＜ P_1P_2 ＜ 5.6$。
对照选项，只有5在该取值范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是轴对称性质与三角形三边关系的综合应用类题目，解题的核心是通过轴对称性质得到两条等长线段，再利用三边关系确定未知线段的取值范围，解题时注意排除三点共线的极端情况，属于常见的基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用轴对称的性质推导OP₁、OP₂与OP的长度关系，再结合三角形三边关系确定P₁P₂的取值范围，最后对比选项选出符合要求的答案。第一步：回忆轴对称的性质，对称轴是对称点连线的垂直平分线，因此直线l、m上的点O到两组对称点的距离相等，可得OP₁=OP₂=OP；第二步：将OP₁、OP₂作为三角形的两边，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，计算得到P₁P₂的取值范围，再筛选选项即可。
【解析】
连接OP₁、OP₂、P₁P₂。
∵点P关于直线l的对称点是P₁，直线l垂直平分线段PP₁，点O在直线l上，
∴OP₁=OP=2.8。
同理，点P关于直线m的对称点是P₂，直线m垂直平分线段PP₂，点O在直线m上，
∴OP₂=OP=2.8。
在△OP₁P₂中，根据三角形三边关系可得：
$OP_1 - OP_2 ＜ P_1P_2 ＜ OP_1 + OP_2$，
代入数值计算得：$0 ＜ P_1P_2 ＜ 5.6$。
对照选项，只有5在该取值范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是轴对称性质与三角形三边关系的综合应用类题目，解题的核心是通过轴对称性质得到两条等长线段，再利用三边关系确定未知线段的取值范围，解题时注意排除三点共线的极端情况，属于常见的基础综合题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,交AC于点E,AM⊥BC于点M,交BE于点G,AD平分∠MAC,交BC于点D,交BE于点F.求证:线段BF垂直平分线段AD. 
答案
5. 证明 在△ABC 中,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC,
∴∠AMB=90°,
∴∠ABC+∠BAM=90°,
∴∠C=∠BAM.
∵BE 平分∠ABC,AD 平分∠MAC,
∴∠ABF=∠DBF,∠MAD=∠CAD,
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD,
∴∠BAD=∠ADB. 在△ABF 和△DBF 中,
$\begin{cases}∠BAF=∠BDF,\\∠ABF=∠DBF,\\BF=BF,\end{cases}$
∴△ABF≌△DBF(AAS),
∴AF=DF,∠AFB=∠DFB.
又
∵∠AFB+∠DFB=180°,
∴∠DFB=90°,
∴BF⊥AD,
∴线段 BF 垂直平分线段AD.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC,
∴∠AMB=90°,
∴∠ABC+∠BAM=90°,
∴∠C=∠BAM.
∵BE 平分∠ABC,AD 平分∠MAC,
∴∠ABF=∠DBF,∠MAD=∠CAD,
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD,
∴∠BAD=∠ADB. 在△ABF 和△DBF 中,
$\begin{cases}∠BAF=∠BDF,\\∠ABF=∠DBF,\\BF=BF,\end{cases}$
∴△ABF≌△DBF(AAS),
∴AF=DF,∠AFB=∠DFB.
又
∵∠AFB+∠DFB=180°,
∴∠DFB=90°,
∴BF⊥AD,
∴线段 BF 垂直平分线段AD.
解析
【分析】
要证明线段BF垂直平分AD，需同时满足两个条件：①BF平分AD，即AF=DF；②BF与AD互相垂直。解题时可先从已知的直角条件入手，利用同角的余角相等推出∠BAM=∠C，再结合BE、AD分别是角平分线的条件，推导得出∠BAD=∠ADB，进而结合角平分线条件证明△ABF与△DBF全等，通过全等的性质得到边相等、角相等的结论，最终验证垂直和平分两个要求。
【解析】
证明：在△ABC中，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB=90°，
∴∠ABC+∠BAM=90°，
∴∠C=∠BAM。
∵BE平分∠ABC，AD平分∠MAC，
∴∠ABF=∠DBF，∠MAD=∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BAD=∠ADB。
在△ABF和△DBF中，
$\begin{cases}∠BAF=∠BDF,\\∠ABF=∠DBF,\\BF=BF,\end{cases}$
∴△ABF≌△DBF（AAS），
∴AF=DF，∠AFB=∠DFB，
又
∵∠AFB+∠DFB=180°，
∴∠DFB=90°，即BF⊥AD，
∴线段BF垂直平分线段AD。
【答案】
证明：在△ABC 中,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC,
∴∠AMB=90°,
∴∠ABC+∠BAM=90°,
∴∠C=∠BAM.
∵BE 平分∠ABC,AD 平分∠MAC,
∴∠ABF=∠DBF,∠MAD=∠CAD,
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD,
∴∠BAD=∠ADB.
在△ABF 和△DBF 中,
$\begin{cases}∠BAF=∠BDF,\\∠ABF=∠DBF,\\BF=BF,\end{cases}$
∴△ABF≌△DBF(AAS),
∴AF=DF,∠AFB=∠DFB.
又
∵∠AFB+∠DFB=180°,
∴∠DFB=90°,
∴BF⊥AD,
∴线段 BF 垂直平分线段AD.
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过直角、角平分线的性质进行角度推导，得到等角后构造全等三角形，考察了逻辑推理能力和几何知识综合应用能力，熟练掌握角度转化和全等证明方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明线段BF垂直平分AD，需同时满足两个条件：①BF平分AD，即AF=DF；②BF与AD互相垂直。解题时可先从已知的直角条件入手，利用同角的余角相等推出∠BAM=∠C，再结合BE、AD分别是角平分线的条件，推导得出∠BAD=∠ADB，进而结合角平分线条件证明△ABF与△DBF全等，通过全等的性质得到边相等、角相等的结论，最终验证垂直和平分两个要求。
【解析】
证明：在△ABC中，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB=90°，
∴∠ABC+∠BAM=90°，
∴∠C=∠BAM。
∵BE平分∠ABC，AD平分∠MAC，
∴∠ABF=∠DBF，∠MAD=∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BAD=∠ADB。
在△ABF和△DBF中，
$\begin{cases}∠BAF=∠BDF,\\∠ABF=∠DBF,\\BF=BF,\end{cases}$
∴△ABF≌△DBF（AAS），
∴AF=DF，∠AFB=∠DFB，
又
∵∠AFB+∠DFB=180°，
∴∠DFB=90°，即BF⊥AD，
∴线段BF垂直平分线段AD。
【答案】
证明：在△ABC 中,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC,
∴∠AMB=90°,
∴∠ABC+∠BAM=90°,
∴∠C=∠BAM.
∵BE 平分∠ABC,AD 平分∠MAC,
∴∠ABF=∠DBF,∠MAD=∠CAD,
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD,
∴∠BAD=∠ADB.
在△ABF 和△DBF 中,
$\begin{cases}∠BAF=∠BDF,\\∠ABF=∠DBF,\\BF=BF,\end{cases}$
∴△ABF≌△DBF(AAS),
∴AF=DF,∠AFB=∠DFB.
又
∵∠AFB+∠DFB=180°,
∴∠DFB=90°,
∴BF⊥AD,
∴线段 BF 垂直平分线段AD.
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过直角、角平分线的性质进行角度推导，得到等角后构造全等三角形，考察了逻辑推理能力和几何知识综合应用能力，熟练掌握角度转化和全等证明方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
