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1.利用二次函数求最大利润问题的一般步骤：
①引入自变量，用含自变量的代数式分别表示
②建立关于
③根据
①引入自变量，用含自变量的代数式分别表示
单件利润
及销售量
；②建立关于
利润
的函数关系式；③根据
函数关系式
求出最大值及取得最大值时自变量
的值。答案
①单件利润 销售量 ②利润 ③函数关系式 自变量
解析
【分析】
本题考查利用二次函数求解最大利润问题的基本步骤，解题时可结合利润问题的核心等量关系梳理逻辑：总利润=单件利润×销售量，我们的目标是求总利润的最大值，因此首先需要确定自变量，将构成总利润的两个核心量用自变量表示；再据此构建总利润关于自变量的函数关系；最后结合函数关系式的性质求解最值和对应自变量的取值即可。
【解析】
① 根据总利润的计算逻辑，总利润由单件利润和销售量相乘得到，因此引入自变量后，首先要用含自变量的代数式分别表示单件利润和销售量，为后续表示总利润做铺垫。
② 我们的求解目标是利润的最大值，因此需要建立关于利润的函数关系式，这类关系式通常为二次函数。
③ 得到函数关系式后，就可以依据函数关系式（结合二次函数的性质、自变量的实际取值范围）计算出最大值，以及取得最大值时自变量的取值。
【答案】
①单件利润 销售量 ②利润 ③函数关系式 自变量
【知识点】
1. 二次函数的应用
2. 利润问题等量关系
3. 二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础概念题，主要考查利润最值问题的解题步骤，理解记忆步骤时可结合利润的基本计算公式，避免死记硬背，掌握该步骤是解决复杂二次函数利润应用题的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查利用二次函数求解最大利润问题的基本步骤，解题时可结合利润问题的核心等量关系梳理逻辑：总利润=单件利润×销售量，我们的目标是求总利润的最大值，因此首先需要确定自变量，将构成总利润的两个核心量用自变量表示；再据此构建总利润关于自变量的函数关系；最后结合函数关系式的性质求解最值和对应自变量的取值即可。
【解析】
① 根据总利润的计算逻辑，总利润由单件利润和销售量相乘得到，因此引入自变量后，首先要用含自变量的代数式分别表示单件利润和销售量，为后续表示总利润做铺垫。
② 我们的求解目标是利润的最大值，因此需要建立关于利润的函数关系式，这类关系式通常为二次函数。
③ 得到函数关系式后，就可以依据函数关系式（结合二次函数的性质、自变量的实际取值范围）计算出最大值，以及取得最大值时自变量的取值。
【答案】
①单件利润 销售量 ②利润 ③函数关系式 自变量
【知识点】
1. 二次函数的应用
2. 利润问题等量关系
3. 二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础概念题，主要考查利润最值问题的解题步骤，理解记忆步骤时可结合利润的基本计算公式，避免死记硬背，掌握该步骤是解决复杂二次函数利润应用题的基础。
【难度系数】
0.8
2.利用二次函数求最大利润时，如果二次
函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内，则二次函数的
函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内，则二次函数的最大值
就是所求的最大利润；当二次函数图象的对称轴不在题目限定的自变量的范围内时，我们先要搞清自变量的取值是在对称轴的哪一侧，然后结合二次函数的增减性求出最大利润。答案
最大值
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数求最大利润的相关性质：利润问题对应的二次函数通常开口向下，顶点是函数的最高点。首先判断对称轴是否在自变量的取值范围内：如果对称轴在限定范围内，说明顶点是可以取到的，此时顶点对应的函数值就是函数的最大值，也就是所求的最大利润，据此即可得到答案。
【解析】
在利用二次函数求解最大利润的问题中，利润关于自变量的二次函数一般二次项系数为负，抛物线开口向下。当二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量取值范围内时，函数顶点处于自变量可取的范围之内，此时二次函数的最大值就是对应的最大利润。
【答案】
最大值
【知识点】
二次函数最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在利润最值问题中的基础应用，核心是理解二次函数最值和自变量取值范围的关系，是二次函数实际应用类问题的基础考点，掌握该知识点是解决复杂利润最值问题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数求最大利润的相关性质：利润问题对应的二次函数通常开口向下，顶点是函数的最高点。首先判断对称轴是否在自变量的取值范围内：如果对称轴在限定范围内，说明顶点是可以取到的，此时顶点对应的函数值就是函数的最大值，也就是所求的最大利润，据此即可得到答案。
【解析】
在利用二次函数求解最大利润的问题中，利润关于自变量的二次函数一般二次项系数为负，抛物线开口向下。当二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量取值范围内时，函数顶点处于自变量可取的范围之内，此时二次函数的最大值就是对应的最大利润。
【答案】
最大值
【知识点】
二次函数最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在利润最值问题中的基础应用，核心是理解二次函数最值和自变量取值范围的关系，是二次函数实际应用类问题的基础考点，掌握该知识点是解决复杂利润最值问题的前提。
【难度系数】
0.8
1.已知某商品的销售利润$y$(元)与该商品的销售单价$x$(元)之间满足$y=-20x^2 + 1400x - 20000$，则获利最多为（$\quad\quad$）。
A.4 500元
B.5 500元
C.450元
D.20 000元
A.4 500元
B.5 500元
C.450元
D.20 000元
答案
A
解析
【分析】
本题要求最大获利，即求二次函数y的最大值。首先观察函数解析式：y是关于x的二次函数，且二次项系数为-20＜0，说明抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标。我们可以通过配方法将一般式转化为顶点式，或直接代入顶点纵坐标公式求出最大值。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-20x^2 + 1400x - 20000\\&=-20(x^2 - 70x) - 20000\\&=-20(x^2 - 70x + 35^2 - 35^2) - 20000\\&=-20[(x - 35)^2 - 1225] - 20000\\&=-20(x - 35)^2 + 24500 - 20000\\&=-20(x - 35)^2 + 4500\end{aligned}$
因为$-20＜0$，所以当$x=35$时，$y$取得最大值，最大值为4500元。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其最值为$\frac{4ac - b^2}{4a}$。
本题中$a=-20$，$b=1400$，$c=-20000$，代入公式得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-20)×(-20000) - 1400^2}{4×(-20)}\\&=\frac{1600000 - 1960000}{-80}\\&=\frac{-360000}{-80}\\&=4500\end{aligned}$
即最大获利为4500元。
【答案】
A
【知识点】
二次函数最值计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的典型应用，解题核心是先根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值，再熟练运用配方法或顶点公式求解最值即可。
【难度系数】
0.8
本题要求最大获利，即求二次函数y的最大值。首先观察函数解析式：y是关于x的二次函数，且二次项系数为-20＜0，说明抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标。我们可以通过配方法将一般式转化为顶点式，或直接代入顶点纵坐标公式求出最大值。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-20x^2 + 1400x - 20000\\&=-20(x^2 - 70x) - 20000\\&=-20(x^2 - 70x + 35^2 - 35^2) - 20000\\&=-20[(x - 35)^2 - 1225] - 20000\\&=-20(x - 35)^2 + 24500 - 20000\\&=-20(x - 35)^2 + 4500\end{aligned}$
因为$-20＜0$，所以当$x=35$时，$y$取得最大值，最大值为4500元。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其最值为$\frac{4ac - b^2}{4a}$。
本题中$a=-20$，$b=1400$，$c=-20000$，代入公式得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-20)×(-20000) - 1400^2}{4×(-20)}\\&=\frac{1600000 - 1960000}{-80}\\&=\frac{-360000}{-80}\\&=4500\end{aligned}$
即最大获利为4500元。
【答案】
A
【知识点】
二次函数最值计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的典型应用，解题核心是先根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值，再熟练运用配方法或顶点公式求解最值即可。
【难度系数】
0.8
2.某种新型礼炮的升空高度$h$(m)与飞行时间$t$(s)之间的关系式为$y=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1$。若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（
A.6 s
B.5 s
C.4 s
D.3 s
C
）。A.6 s
B.5 s
C.4 s
D.3 s
答案
C
解析
【分析】
礼炮在最高点引爆，对应二次函数图象的顶点位置，由于该二次函数的二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点即为图象的最高点，因此求引爆时间等价于求二次函数顶点的横坐标。解题时先确定二次函数表达式中a、b的值，再代入顶点横坐标公式计算即可。
【解析】
已知二次函数关系式为$ y=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1 $，其中二次项系数$ a=-\frac{5}{2}＜0 $，因此抛物线开口向下，顶点为最高点，即礼炮引爆的位置。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c(a≠0) $，顶点的横坐标公式为$ t=-\frac{b}{2a} $。
将$ a=-\frac{5}{2} $，$ b=20 $代入公式得：
$ t=-\frac{20}{2×(-\frac{5}{2})}=-\frac{20}{-5}=4(\mathrm{s}) $
因此从点火升空到引爆需要的时间为4s。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数顶点坐标的应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题的核心是将实际场景中的“最高点”对应到二次函数的顶点特征，熟练掌握二次函数顶点坐标公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
礼炮在最高点引爆，对应二次函数图象的顶点位置，由于该二次函数的二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点即为图象的最高点，因此求引爆时间等价于求二次函数顶点的横坐标。解题时先确定二次函数表达式中a、b的值，再代入顶点横坐标公式计算即可。
【解析】
已知二次函数关系式为$ y=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1 $，其中二次项系数$ a=-\frac{5}{2}＜0 $，因此抛物线开口向下，顶点为最高点，即礼炮引爆的位置。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c(a≠0) $，顶点的横坐标公式为$ t=-\frac{b}{2a} $。
将$ a=-\frac{5}{2} $，$ b=20 $代入公式得：
$ t=-\frac{20}{2×(-\frac{5}{2})}=-\frac{20}{-5}=4(\mathrm{s}) $
因此从点火升空到引爆需要的时间为4s。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数顶点坐标的应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题的核心是将实际场景中的“最高点”对应到二次函数的顶点特征，熟练掌握二次函数顶点坐标公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件。若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件。设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则获利最多时x为(
A.5
B.65
C.55
D.15
A
)。A.5
B.65
C.55
D.15
答案
A
解析
【分析】
要解决这个利润最值问题，首先需明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。先根据题目给出的售价上涨幅度，分别表示出涨价后的单件利润和对应的销售数量，据此列出利润y关于x的二次函数解析式，再结合二次函数的性质求最大值对应的x值即可。
【解析】
根据题意：
每件商品涨价x元后，单件利润为：$ (60 + x - 50) = (10 + x) $元
此时每星期的销售量为：$ (200 - 10x) $件
因此总利润y的表达式为：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(200-10x)\\&=-10x^2 + 100x + 2000\end{aligned}$
该函数是二次函数，且二次项系数$ a=-10＜0 $，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-10，b=100 $得：
$x=-\frac{100}{2×(-10)}=5$
x=5为正整数，符合题意，即获利最多时x为5。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数最值
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用问题，解题的核心是准确梳理数量关系列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个利润最值问题，首先需明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。先根据题目给出的售价上涨幅度，分别表示出涨价后的单件利润和对应的销售数量，据此列出利润y关于x的二次函数解析式，再结合二次函数的性质求最大值对应的x值即可。
【解析】
根据题意：
每件商品涨价x元后，单件利润为：$ (60 + x - 50) = (10 + x) $元
此时每星期的销售量为：$ (200 - 10x) $件
因此总利润y的表达式为：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(200-10x)\\&=-10x^2 + 100x + 2000\end{aligned}$
该函数是二次函数，且二次项系数$ a=-10＜0 $，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-10，b=100 $得：
$x=-\frac{100}{2×(-10)}=5$
x=5为正整数，符合题意，即获利最多时x为5。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数最值
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用问题，解题的核心是准确梳理数量关系列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
4.科技园电脑销售部经市场调查发现，销售某型号电脑所获利润$y$(元)与销售台数$x$(台)满足$y=-x^2+40x+15600$，则当卖出
20
台时，所获利润最大。答案
20
解析
【分析】
本题是二次函数在实际利润问题中的应用，要求最大利润对应的销售台数，本质是求二次函数取最大值时的自变量x的值。首先观察二次函数解析式，二次项系数为-1＜0，说明抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，我们只需要计算顶点的横坐标即可，可通过顶点公式或配方法求解，且x为销售台数，结果需符合实际意义。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），本题中$a=-1$，$b=40$，$c=15600$。
因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最大值。
将$a=-1$，$b=40$代入顶点横坐标公式：
$x=-\frac{40}{2×(-1)}=20$
也可通过配方法验证：
$y=-x^2+40x+15600$
$=-(x^2-40x)+15600$
$=-(x^2-40x+400-400)+15600$
$=-(x-20)^2+400+15600$
$=-(x-20)^2+16000$
因此当$x=20$时，利润$y$最大，且20符合销售台数的实际意义。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题核心是明确开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，熟练掌握顶点公式或配方法是解题的关键，此类题型也是二次函数应用类题目的常考基础模型。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际利润问题中的应用，要求最大利润对应的销售台数，本质是求二次函数取最大值时的自变量x的值。首先观察二次函数解析式，二次项系数为-1＜0，说明抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，我们只需要计算顶点的横坐标即可，可通过顶点公式或配方法求解，且x为销售台数，结果需符合实际意义。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），本题中$a=-1$，$b=40$，$c=15600$。
因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最大值。
将$a=-1$，$b=40$代入顶点横坐标公式：
$x=-\frac{40}{2×(-1)}=20$
也可通过配方法验证：
$y=-x^2+40x+15600$
$=-(x^2-40x)+15600$
$=-(x^2-40x+400-400)+15600$
$=-(x-20)^2+400+15600$
$=-(x-20)^2+16000$
因此当$x=20$时，利润$y$最大，且20符合销售台数的实际意义。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题核心是明确开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，熟练掌握顶点公式或配方法是解题的关键，此类题型也是二次函数应用类题目的常考基础模型。
【难度系数】
0.8
5.儿童商场购进一批新款服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%。商场现决定对新款服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式为$y=20+4x(x＞0)$。
(1)求该新款服装的进价；
(2)求促销期间每天销售新款服装所获得利润W的最大值。
(1)求该新款服装的进价；
(2)求促销期间每天销售新款服装所获得利润W的最大值。
答案
(1)新款服装的进价为40元/件。
(2)促销期间每天销售新款服装所获得利润W的最大值是625元。
(2)促销期间每天销售新款服装所获得利润W的最大值是625元。
解析
【分析】
（1）求进价可利用利润问题的基本等量关系：售价=进价×(1+利润率)。已知标价75元打8折后的售价，且利润率为50%，设进价为未知数列一元一次方程即可求解。
（2）求利润最大值，首先明确总利润=单件利润×销售数量。先算出促销时每件服装的利润，再结合给出的销量与降价x的函数关系，列出总利润W关于x的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 设该新款服装的进价为$a$元/件。
打8折后的售价为：$75×0.8=60$（元）
由按8折销售仍获利50%，可列方程：
$a×(1+50\%)=60$
解得：$a=60÷1.5=40$
(2) 促销时每件服装的利润为：$60-x-40=20-x$（元）
已知每天销量$y=20+4x$，则总利润：
$W=(20-x)(20+4x)$
展开整理得：
$W=-4x^2+60x+400$
该二次函数二次项系数为$-4＜0$，图象开口向下，存在最大值，用配方法变形：
$W=-4(x^2-15x)+400=-4(x-7.5)^2+625$
当$x=7.5$时，$W$取得最大值625元。
【答案】
(1) 该新款服装的进价为40元/件；(2) 促销期间每天销售新款服装所获得利润的最大值是625元。
【知识点】
一元一次方程应用；二次函数实际应用；二次函数最值
【点评】
本题是典型的利润类实际应用题，解题核心是掌握利润问题的基本等量关系，正确列出方程和二次函数解析式，再结合二次函数性质求解最值，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求进价可利用利润问题的基本等量关系：售价=进价×(1+利润率)。已知标价75元打8折后的售价，且利润率为50%，设进价为未知数列一元一次方程即可求解。
（2）求利润最大值，首先明确总利润=单件利润×销售数量。先算出促销时每件服装的利润，再结合给出的销量与降价x的函数关系，列出总利润W关于x的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 设该新款服装的进价为$a$元/件。
打8折后的售价为：$75×0.8=60$（元）
由按8折销售仍获利50%，可列方程：
$a×(1+50\%)=60$
解得：$a=60÷1.5=40$
(2) 促销时每件服装的利润为：$60-x-40=20-x$（元）
已知每天销量$y=20+4x$，则总利润：
$W=(20-x)(20+4x)$
展开整理得：
$W=-4x^2+60x+400$
该二次函数二次项系数为$-4＜0$，图象开口向下，存在最大值，用配方法变形：
$W=-4(x^2-15x)+400=-4(x-7.5)^2+625$
当$x=7.5$时，$W$取得最大值625元。
【答案】
(1) 该新款服装的进价为40元/件；(2) 促销期间每天销售新款服装所获得利润的最大值是625元。
【知识点】
一元一次方程应用；二次函数实际应用；二次函数最值
【点评】
本题是典型的利润类实际应用题，解题核心是掌握利润问题的基本等量关系，正确列出方程和二次函数解析式，再结合二次函数性质求解最值，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
