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1. 掌握关于原点对称的点的坐标特征.
2. 强化数形结合思想，提升几何直观与推理能力.
自主导学
2. 强化数形结合思想，提升几何直观与推理能力.
自主导学
答案
解析
【分析】
学习该部分内容可以按照“几何含义→规律推导→练习验证”的思路进行：第一步先明确关于原点对称的几何本质：两个点关于原点对称等价于将其中一个点绕原点旋转180°后能与另一个点重合，且两点连线的中点是原点；第二步可以借助已学的中点坐标公式推导两个对称点的坐标关系，也可以通过在坐标系中描出具体的点（如(2,3)、(-1,4)等），直观找到其对称点的坐标，归纳出通用规律；第三步通过简单的实例练习强化规律记忆，同时体会画图辅助解题的便捷性，落实数形结合思想。
【解析】
1. 规律推导：
设平面直角坐标系中任意一点P的坐标为$(x,y)$，其关于原点的对称点为$P'$。根据原点对称的几何性质，原点是线段$PP'$的中点，结合中点坐标公式（若两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$）可得：
$\begin{cases}\frac{x+x_{P'}}{2}=0\\\frac{y+y_{P'}}{2}=0\end{cases}$
解得：$x_{P'}=-x$，$y_{P'}=-y$。
2. 核心规律：
关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$\boldsymbol{P'(-x,-y)}$；反过来，若两个点的横、纵坐标都互为相反数，则这两个点一定关于原点对称。
3. 方法技巧：
解题时可以通过“画图验证”降低错误率：先在坐标系中描出已知点，将点绕原点旋转180°得到对称点，再对照坐标规律核对结果，充分运用数形结合思想提升解题准确率。
【答案】
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；数形结合思想；坐标与图形旋转
【点评】
该知识点是平面直角坐标系类问题的基础内容，常结合对称、旋转、函数等知识点综合考查，学习时要避免死记硬背，结合旋转的几何含义理解规律后更不容易记错，养成画图辅助思考的习惯能很好地提升解题效率与正确率。
【难度系数】
0.85
学习该部分内容可以按照“几何含义→规律推导→练习验证”的思路进行：第一步先明确关于原点对称的几何本质：两个点关于原点对称等价于将其中一个点绕原点旋转180°后能与另一个点重合，且两点连线的中点是原点；第二步可以借助已学的中点坐标公式推导两个对称点的坐标关系，也可以通过在坐标系中描出具体的点（如(2,3)、(-1,4)等），直观找到其对称点的坐标，归纳出通用规律；第三步通过简单的实例练习强化规律记忆，同时体会画图辅助解题的便捷性，落实数形结合思想。
【解析】
1. 规律推导：
设平面直角坐标系中任意一点P的坐标为$(x,y)$，其关于原点的对称点为$P'$。根据原点对称的几何性质，原点是线段$PP'$的中点，结合中点坐标公式（若两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$）可得：
$\begin{cases}\frac{x+x_{P'}}{2}=0\\\frac{y+y_{P'}}{2}=0\end{cases}$
解得：$x_{P'}=-x$，$y_{P'}=-y$。
2. 核心规律：
关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$\boldsymbol{P'(-x,-y)}$；反过来，若两个点的横、纵坐标都互为相反数，则这两个点一定关于原点对称。
3. 方法技巧：
解题时可以通过“画图验证”降低错误率：先在坐标系中描出已知点，将点绕原点旋转180°得到对称点，再对照坐标规律核对结果，充分运用数形结合思想提升解题准确率。
【答案】
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；数形结合思想；坐标与图形旋转
【点评】
该知识点是平面直角坐标系类问题的基础内容，常结合对称、旋转、函数等知识点综合考查，学习时要避免死记硬背，结合旋转的几何含义理解规律后更不容易记错，养成画图辅助思考的习惯能很好地提升解题效率与正确率。
【难度系数】
0.85
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'($
-x
，-y
$)$。答案
-x, -y
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数。结合题目给出的点$P(x,y)$，分别求$x$和$y$的相反数，即可得到对称点$P'$的坐标。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标规律：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。
已知点$P$的坐标为$(x,y)$，$x$的相反数是$-x$，$y$的相反数是$-y$，因此点$P(x,y)$关于原点的对称点$P'$的坐标为$(-x,-y)$。
【答案】
$-x$，$-y$
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 相反数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接对应关于原点对称的坐标变化规律，牢记“关于原点对称，横纵坐标都变号”的规律即可快速作答，是坐标对称类问题的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数。结合题目给出的点$P(x,y)$，分别求$x$和$y$的相反数，即可得到对称点$P'$的坐标。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标规律：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。
已知点$P$的坐标为$(x,y)$，$x$的相反数是$-x$，$y$的相反数是$-y$，因此点$P(x,y)$关于原点的对称点$P'$的坐标为$(-x,-y)$。
【答案】
$-x$，$-y$
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 相反数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接对应关于原点对称的坐标变化规律，牢记“关于原点对称，横纵坐标都变号”的规律即可快速作答，是坐标对称类问题的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
典例分享
例 如图28.2-16所示,边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,在所给平面直角坐标系中解答下列问题:
(1)分别写出A,B两点的坐标.
(2)作出与△ABC关于坐标原点对称的△A₁B₁C₁.
(3)作出点C关于x轴的对称点P.若点P向右平移x个单位长度后落在△A₁B₁C₁的内部,请直接写出x的取值范围.
图28.2-16
解 (1)A,B两点的坐标分别为(-1,0),(-2,-2).
(2)所作△A₁B₁C₁如图28.2-17所示.
(3)所作点P如图28.2-17所示,5.5＜x＜8.
图28.2-17
方法感悟 1. 求关于原点对称的点的坐标,关键是抓住“横、纵坐标均互为相反数”这一规律.
2. 在平面直角坐标系中作与一个图形关于原点对称的图形,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)关于原点对称的点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到与这个图形关于原点对称的图形.
例 如图28.2-16所示,边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,在所给平面直角坐标系中解答下列问题:
(1)分别写出A,B两点的坐标.
(2)作出与△ABC关于坐标原点对称的△A₁B₁C₁.
(3)作出点C关于x轴的对称点P.若点P向右平移x个单位长度后落在△A₁B₁C₁的内部,请直接写出x的取值范围.
图28.2-16
解 (1)A,B两点的坐标分别为(-1,0),(-2,-2).
(2)所作△A₁B₁C₁如图28.2-17所示.
(3)所作点P如图28.2-17所示,5.5＜x＜8.
图28.2-17
方法感悟 1. 求关于原点对称的点的坐标,关键是抓住“横、纵坐标均互为相反数”这一规律.
2. 在平面直角坐标系中作与一个图形关于原点对称的图形,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)关于原点对称的点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到与这个图形关于原点对称的图形.
答案
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路逐层递进：
(1) 求点的坐标：根据平面直角坐标系中坐标的定义，横坐标为点对应x轴的数值（左负右正），纵坐标为对应y轴的数值（下负上正），直接读取A、B两点的坐标即可。
(2) 作关于原点对称的图形：关于原点对称的点的坐标规律是横、纵坐标均互为相反数，先求出△ABC三个顶点关于原点对称的点的坐标，再依次描点、连线就能得到△A₁B₁C₁。
(3) 求平移的取值范围：先根据“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数”确定点P的坐标，再结合△A₁B₁C₁的位置，观察点P向右平移后落在其内部时x的取值区间即可。
【解析】
(1) 观察平面直角坐标系可得：点A的横坐标为-1，纵坐标为0，即$A(-1,0)$；点B的横坐标为-2，纵坐标为-2，即$B(-2,-2)$。
(2) 先计算△ABC三个顶点关于原点对称的点的坐标：$A_1(1,0)$，$B_1(2,2)$，求出C的对称点$C_1$，在坐标系中分别描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三个点，再顺次连接三个点，所得$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(3) 首先找到点C关于x轴的对称点P，点P向右平移x个单位长度后，横坐标增加x，纵坐标不变。结合图形观察可知，当平移后的点落在$△ A_1B_1C_1$内部时，x的取值范围为$5.5＜x＜8$。
【答案】
(1) $A(-1,0)$，$B(-2,-2)$；
(2) 作图见解析；
(3) $5.5＜x＜8$
【知识点】
1. 点的坐标识别
2. 对称点的坐标特征
3. 图形的平移
【点评】
本题是坐标与图形变换的基础综合题，既考察了坐标读取、对称作图、平移等基础操作，也体现了数形结合的思想，有利于巩固平面直角坐标系的相关核心知识。
【难度系数】
0.7
本题分为三个小问，解题思路逐层递进：
(1) 求点的坐标：根据平面直角坐标系中坐标的定义，横坐标为点对应x轴的数值（左负右正），纵坐标为对应y轴的数值（下负上正），直接读取A、B两点的坐标即可。
(2) 作关于原点对称的图形：关于原点对称的点的坐标规律是横、纵坐标均互为相反数，先求出△ABC三个顶点关于原点对称的点的坐标，再依次描点、连线就能得到△A₁B₁C₁。
(3) 求平移的取值范围：先根据“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数”确定点P的坐标，再结合△A₁B₁C₁的位置，观察点P向右平移后落在其内部时x的取值区间即可。
【解析】
(1) 观察平面直角坐标系可得：点A的横坐标为-1，纵坐标为0，即$A(-1,0)$；点B的横坐标为-2，纵坐标为-2，即$B(-2,-2)$。
(2) 先计算△ABC三个顶点关于原点对称的点的坐标：$A_1(1,0)$，$B_1(2,2)$，求出C的对称点$C_1$，在坐标系中分别描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三个点，再顺次连接三个点，所得$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(3) 首先找到点C关于x轴的对称点P，点P向右平移x个单位长度后，横坐标增加x，纵坐标不变。结合图形观察可知，当平移后的点落在$△ A_1B_1C_1$内部时，x的取值范围为$5.5＜x＜8$。
【答案】
(1) $A(-1,0)$，$B(-2,-2)$；
(2) 作图见解析；
(3) $5.5＜x＜8$
【知识点】
1. 点的坐标识别
2. 对称点的坐标特征
3. 图形的平移
【点评】
本题是坐标与图形变换的基础综合题，既考察了坐标读取、对称作图、平移等基础操作，也体现了数形结合的思想，有利于巩固平面直角坐标系的相关核心知识。
【难度系数】
0.7
1. 已知点$A(1,-2)$和点$B$关于原点对称,则点$B$的坐标是(
A.$(-1,2)$
B.$(1,2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-1,0)$
A
).A.$(-1,2)$
B.$(1,2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-1,0)$
答案
1. A
解析
【分析】
拿到题目首先明确考查的是关于原点对称的点的坐标规律。首先回忆对应知识点：平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。已知点A的坐标，只需要分别将A点的横、纵坐标取相反数，就能得到对称点B的坐标，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点A的坐标为$(1,-2)$，
则点B的横坐标为$1$的相反数：$-1$，
点B的纵坐标为$-2$的相反数：$2$，
因此点B的坐标为$(-1,2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查关于原点对称的点的坐标规律的应用，熟练记忆对应规律即可快速得出答案，是平面直角坐标系板块的常规基础考题。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先明确考查的是关于原点对称的点的坐标规律。首先回忆对应知识点：平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。已知点A的坐标，只需要分别将A点的横、纵坐标取相反数，就能得到对称点B的坐标，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点A的坐标为$(1,-2)$，
则点B的横坐标为$1$的相反数：$-1$，
点B的纵坐标为$-2$的相反数：$2$，
因此点B的坐标为$(-1,2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查关于原点对称的点的坐标规律的应用，熟练记忆对应规律即可快速得出答案，是平面直角坐标系板块的常规基础考题。
【难度系数】
0.9
2. 若点$P(m-1,5)$与点$Q(3,2-n)$关于原点对称，则$m-n$的值是(
A.$-9$
B.$-5$
C.$5$
D.$9$
A
).A.$-9$
B.$-5$
C.$5$
D.$9$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：两点关于原点对称，回忆对应的坐标性质：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。接下来根据该性质分别列出关于m、n的一元一次方程，求解得到m、n的数值后，代入m-n计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵点$P(m-1,5)$与点$Q(3,2-n)$关于原点对称
∴关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数，可得：
$\begin{cases}m-1=-3\\5=-(2-n)\end{cases}$
解第一个方程：$m=-3+1=-2$
解第二个方程：$5=n-2$，移项得$n=5+2=7$
将$m=-2$，$n=7$代入$m-n$得：
$m-n=-2-7=-9$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查关于原点对称的坐标规律的应用，解题时需注意符号运算的准确性，避免混淆不同对称方式的坐标变化规律。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题干关键信息：两点关于原点对称，回忆对应的坐标性质：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。接下来根据该性质分别列出关于m、n的一元一次方程，求解得到m、n的数值后，代入m-n计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵点$P(m-1,5)$与点$Q(3,2-n)$关于原点对称
∴关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数，可得：
$\begin{cases}m-1=-3\\5=-(2-n)\end{cases}$
解第一个方程：$m=-3+1=-2$
解第二个方程：$5=n-2$，移项得$n=5+2=7$
将$m=-2$，$n=7$代入$m-n$得：
$m-n=-2-7=-9$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查关于原点对称的坐标规律的应用，解题时需注意符号运算的准确性，避免混淆不同对称方式的坐标变化规律。
【难度系数】
0.8
3. 已知$\sqrt{(a-2)^2} + |b+1| = 0$，则点$P(a,b)$关于原点对称的点所在象限是（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）。A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0。据此可以列等式求出a、b的值，得到点P的坐标；再根据关于原点对称的点的坐标变化规律（横、纵坐标均变为原坐标的相反数），求出对称点的坐标；最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断对称点所在的象限即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{(a-2)^2} ≥ 0$，$|b+1| ≥ 0$，且$\sqrt{(a-2)^2} + |b+1| = 0$
∴$\sqrt{(a-2)^2} = 0$，$|b+1| = 0$
即$a-2=0$，$b+1=0$
解得：$a=2$，$b=-1$
∴点P的坐标为$(2,-1)$
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数
∴点P关于原点对称的点的坐标为$(-2,1)$
∵横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限
∴该点位于第二象限，故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；关于原点对称的坐标特征；象限的判定
【点评】
本题是基础类综合题，将非负数的性质、点的对称规律和象限判定结合考查，解题的关键是熟练掌握各个基础知识点，按步骤推导即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0。据此可以列等式求出a、b的值，得到点P的坐标；再根据关于原点对称的点的坐标变化规律（横、纵坐标均变为原坐标的相反数），求出对称点的坐标；最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断对称点所在的象限即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{(a-2)^2} ≥ 0$，$|b+1| ≥ 0$，且$\sqrt{(a-2)^2} + |b+1| = 0$
∴$\sqrt{(a-2)^2} = 0$，$|b+1| = 0$
即$a-2=0$，$b+1=0$
解得：$a=2$，$b=-1$
∴点P的坐标为$(2,-1)$
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数
∴点P关于原点对称的点的坐标为$(-2,1)$
∵横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限
∴该点位于第二象限，故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；关于原点对称的坐标特征；象限的判定
【点评】
本题是基础类综合题，将非负数的性质、点的对称规律和象限判定结合考查，解题的关键是熟练掌握各个基础知识点，按步骤推导即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
