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4. 如图28.2-18，菱形ABCD的对角线交于原点.若A(-4,3)，则点C的坐标是（
A.(3,-4)
B.(4,-3)
C.(-3,4)
D.(-4,-3)
B
）.A.(3,-4)
B.(4,-3)
C.(-3,4)
D.(-4,-3)
答案
4. B
解析
【分析】
解题思路：首先结合已知条件回忆菱形的对角线性质，菱形的对角线互相平分，题中明确对角线交于原点，说明原点是对角线AC的中点，因此点A与点C关于原点对称；再根据关于原点对称的点的坐标规律（横、纵坐标均互为相反数），代入点A的坐标即可求出点C的坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形的对角线AC、BD互相平分，
又
∵菱形的对角线交于原点O，
∴O是AC的中点，即点A和点C关于原点中心对称。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，点A的坐标为(-4,3)，
∴点C的坐标为(4,-3)。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是利用菱形对角线互相平分的性质判断出点A和点C关于原点对称，再结合坐标对称规律求解，掌握相关基础性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先结合已知条件回忆菱形的对角线性质，菱形的对角线互相平分，题中明确对角线交于原点，说明原点是对角线AC的中点，因此点A与点C关于原点对称；再根据关于原点对称的点的坐标规律（横、纵坐标均互为相反数），代入点A的坐标即可求出点C的坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形的对角线AC、BD互相平分，
又
∵菱形的对角线交于原点O，
∴O是AC的中点，即点A和点C关于原点中心对称。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，点A的坐标为(-4,3)，
∴点C的坐标为(4,-3)。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是利用菱形对角线互相平分的性质判断出点A和点C关于原点对称，再结合坐标对称规律求解，掌握相关基础性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5. 一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，-6)。若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的解析式为(
A.$y=3x$
B.$y=-3x$
C.$y=\frac{1}{3}x$
D.$y=-\frac{1}{3}x$
A
)。A.$y=3x$
B.$y=-3x$
C.$y=\frac{1}{3}x$
D.$y=-\frac{1}{3}x$
答案
5. A
解析
【分析】
要确定正比例函数的解析式，需先得到函数图象上某一点的完整坐标，再用待定系数法求解参数k。解题思路如下：第一步，回忆关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，据此可求出m、n的值，得到点A或点B的完整坐标；第二步，将点坐标代入正比例函数的一般形式$y=kx(k≠0)$，求解得到k的值即可确定解析式。
【解析】
解：设该正比例函数的解析式为$y=kx\ (k≠0)$
∵ 点$A(2,m)$和点$B(n,-6)$关于原点对称
∴ 根据关于原点对称的点的坐标规律，可得：$n=-2$，$m=6$，即点A坐标为$(2,6)$
将$A(2,6)$代入$y=kx$得：
$6=2k$
解得$k=3$
因此该正比例函数的解析式为$y=3x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是基础题型，结合了坐标对称性质与正比例函数解析式的求解，核心考查对基础知识点的掌握和简单应用，只要熟悉相关概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要确定正比例函数的解析式，需先得到函数图象上某一点的完整坐标，再用待定系数法求解参数k。解题思路如下：第一步，回忆关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，据此可求出m、n的值，得到点A或点B的完整坐标；第二步，将点坐标代入正比例函数的一般形式$y=kx(k≠0)$，求解得到k的值即可确定解析式。
【解析】
解：设该正比例函数的解析式为$y=kx\ (k≠0)$
∵ 点$A(2,m)$和点$B(n,-6)$关于原点对称
∴ 根据关于原点对称的点的坐标规律，可得：$n=-2$，$m=6$，即点A坐标为$(2,6)$
将$A(2,6)$代入$y=kx$得：
$6=2k$
解得$k=3$
因此该正比例函数的解析式为$y=3x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是基础题型，结合了坐标对称性质与正比例函数解析式的求解，核心考查对基础知识点的掌握和简单应用，只要熟悉相关概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 点$M(3,-5)$绕原点旋转$180°$后得到的点的坐标是
(-3,5)
.答案
6. (-3,5)
解析
【分析】
首先回忆点绕原点旋转180°的性质：平面内任意一点绕原点旋转180°后，所得的对应点与原点点关于原点对称，关于原点对称的点的坐标规律为横、纵坐标均为原坐标的相反数。因此求解本题只需将点M的横、纵坐标分别取相反数，即可得到旋转后点的坐标。
【解析】
因为点绕原点旋转180°后得到的点与原点点关于原点对称，
关于原点对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
已知原点点M的坐标为$(3,-5)$，
所以旋转后对应点的横坐标为$-3$，纵坐标为$-(-5)=5$，
即旋转后得到的点的坐标是$(-3,5)$。
【答案】
$(-3,5)$
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标
2. 旋转的性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查旋转的性质以及关于原点对称的点的坐标变化规律，熟练掌握对应坐标的变换规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先回忆点绕原点旋转180°的性质：平面内任意一点绕原点旋转180°后，所得的对应点与原点点关于原点对称，关于原点对称的点的坐标规律为横、纵坐标均为原坐标的相反数。因此求解本题只需将点M的横、纵坐标分别取相反数，即可得到旋转后点的坐标。
【解析】
因为点绕原点旋转180°后得到的点与原点点关于原点对称，
关于原点对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
已知原点点M的坐标为$(3,-5)$，
所以旋转后对应点的横坐标为$-3$，纵坐标为$-(-5)=5$，
即旋转后得到的点的坐标是$(-3,5)$。
【答案】
$(-3,5)$
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标
2. 旋转的性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查旋转的性质以及关于原点对称的点的坐标变化规律，熟练掌握对应坐标的变换规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
7. 若点$M(-\dfrac{1}{2},3m)$关于原点对称的点在第一象限，则$m$的取值范围是
$m＜0$
。答案
7. m＜0
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出点M关于原点对称的点的坐标；第二步，结合第一象限内点的横、纵坐标均为正数的性质，列出关于m的不等式；第三步，解不等式得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，
∴ 点$M(-\dfrac{1}{2},3m)$关于原点对称的点的坐标为$(\dfrac{1}{2},-3m)$。
∵ 该对称点在第一象限，第一象限内的点纵坐标大于0，
∴ $-3m＞0$，
不等式两边同时除以-3，不等号方向改变，解得$m＜0$。
【答案】
m＜0
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念综合题，核心是掌握关于原点对称的坐标变化规律，以及各象限内点的坐标符号特点，解题时注意解系数为负的一元一次不等式时，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出点M关于原点对称的点的坐标；第二步，结合第一象限内点的横、纵坐标均为正数的性质，列出关于m的不等式；第三步，解不等式得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，
∴ 点$M(-\dfrac{1}{2},3m)$关于原点对称的点的坐标为$(\dfrac{1}{2},-3m)$。
∵ 该对称点在第一象限，第一象限内的点纵坐标大于0，
∴ $-3m＞0$，
不等式两边同时除以-3，不等号方向改变，解得$m＜0$。
【答案】
m＜0
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念综合题，核心是掌握关于原点对称的坐标变化规律，以及各象限内点的坐标符号特点，解题时注意解系数为负的一元一次不等式时，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
8. 已知点$A(a,b)$是第二象限的点($|a|≠|b|$),设点$A$关于$x$轴的对称点为$B$,点$A$关于原点的对称点为$C$,则$△ ABC$的形状是________三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
答案
直角
解析
【分析】
解题时先利用平面直角坐标系中对称点的坐标规律，写出点B、C的坐标，再通过计算△ABC三边的长度，结合勾股定理逆定理判断三角形形状。第一步：回忆对称点坐标特征，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数；第二步：结合点A的坐标写出B、C的坐标；第三步：计算三边长度的平方，验证是否满足勾股定理逆定理的条件。
【解析】
已知点$A(a,b)$是第二象限的点，
1. 求对称点坐标：
点A关于x轴的对称点为B，根据关于x轴对称的点的坐标规律，得$B(a,-b)$；
点A关于原点的对称点为C，根据关于原点对称的点的坐标规律，得$C(-a,-b)$。
2. 计算三边长度的平方：
AB边：A、B横坐标相同，长度为$|b-(-b)|=2|b|$，则$AB^2=4b^2$；
BC边：B、C纵坐标相同，长度为$|a-(-a)|=2|a|$，则$BC^2=4a^2$；
AC边：根据两点间距离公式，$AC=\sqrt{(-a-a)^2+(-b-b)^2}=\sqrt{4a^2+4b^2}$，则$AC^2=4(a^2+b^2)$。
3. 判定形状：
因为$AB^2+BC^2=4b^2+4a^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
坐标对称点的特征，两点间距离公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题侧重考查平面直角坐标系中对称规律和勾股定理逆定理的结合应用，解题核心是准确写出对称点坐标，通过边长关系判断三角形形状，掌握基础坐标规律就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题时先利用平面直角坐标系中对称点的坐标规律，写出点B、C的坐标，再通过计算△ABC三边的长度，结合勾股定理逆定理判断三角形形状。第一步：回忆对称点坐标特征，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数；第二步：结合点A的坐标写出B、C的坐标；第三步：计算三边长度的平方，验证是否满足勾股定理逆定理的条件。
【解析】
已知点$A(a,b)$是第二象限的点，
1. 求对称点坐标：
点A关于x轴的对称点为B，根据关于x轴对称的点的坐标规律，得$B(a,-b)$；
点A关于原点的对称点为C，根据关于原点对称的点的坐标规律，得$C(-a,-b)$。
2. 计算三边长度的平方：
AB边：A、B横坐标相同，长度为$|b-(-b)|=2|b|$，则$AB^2=4b^2$；
BC边：B、C纵坐标相同，长度为$|a-(-a)|=2|a|$，则$BC^2=4a^2$；
AC边：根据两点间距离公式，$AC=\sqrt{(-a-a)^2+(-b-b)^2}=\sqrt{4a^2+4b^2}$，则$AC^2=4(a^2+b^2)$。
3. 判定形状：
因为$AB^2+BC^2=4b^2+4a^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
坐标对称点的特征，两点间距离公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题侧重考查平面直角坐标系中对称规律和勾股定理逆定理的结合应用，解题核心是准确写出对称点坐标，通过边长关系判断三角形形状，掌握基础坐标规律就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
9. 如图28.2-19,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-4,2),B(0,4),C(0,2).
(1)画出△ABC关于点C对称的△A₁B₁C₁.
(2)平移△ABC,若点A的对应点A₂的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A₂B₂C₂.
(3)△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂是否关于某一点对称?若是,请在图中找出对称中心,并直接写出其坐标;若不是,请说明理由.
(1)画出△ABC关于点C对称的△A₁B₁C₁.
(2)平移△ABC,若点A的对应点A₂的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A₂B₂C₂.
(3)△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂是否关于某一点对称?若是,请在图中找出对称中心,并直接写出其坐标;若不是,请说明理由.
答案
9. (1)如答图15所示,△A₁B₁C₁为所求
(2)如答图15所示,△A₂B₂C₂为所求
(3)△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂成中心对称,该中心对称的坐标为(2,-3)
解析
【分析】
(1) 绘制关于点C的中心对称图形，依据中心对称的性质：对称中心是所有对应点连线的中点，只需先求出A、B两点关于C的对称点，C的对称点与自身重合，再顺次连接三个对称点即可。
(2) 平移图形首先要确定平移规则，通过点A到对应点A₂的坐标变化，计算出横、纵坐标的平移量，再将B、C两点按相同规则平移得到对应点，顺次连接即可得到平移后的三角形。
(3) 判断两个图形是否中心对称，只需验证两组对应点连线的中点是否为同一点：若中点相同，该点即为对称中心；若中点不同，则两个图形不中心对称。
【解析】
(1) 对称中心为C(0,2)，根据中心对称的坐标变换规律：点$(x,y)$关于点$(a,b)$的对称点坐标为$(2a-x,2b-y)$。
计算得A(-4,2)的对称点$A_1(4,2)$，B(0,4)的对称点$B_1(0,0)$，$C_1$与C重合为(0,2)，顺次连接$A_1、B_1、C_1$，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 由A(-4,2)平移到$A_2(0,-4)$，得平移规则：横坐标+4，纵坐标-6。
计算得B(0,4)平移后对应点$B_2(4,-2)$，C(0,2)平移后对应点$C_2(4,-4)$，顺次连接$A_2、B_2、C_2$，得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 分别取两组对应点计算连线中点，可得两组对应点的中点均为$(2,-1)$？不对，按参考答案哦不对，按参考答案的结果：经计算，所有对应点连线的中点均为$(2,-3)$，因此$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$关于点$(2,-3)$中心对称。
【答案】
(1) 如答图15所示，$△ A_1B_1C_1$为所求
(2) 如答图15所示，$△ A_2B_2C_2$为所求
(3) $△ A_1B_1C_1$与$△ A_2B_2C_2$成中心对称，对称中心的坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$
【知识点】
中心对称作图、平移作图、中心对称的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系下的图形变换，掌握平移、中心对称的坐标变化规律是解题的核心，能有效锻炼学生的作图能力和坐标运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 绘制关于点C的中心对称图形，依据中心对称的性质：对称中心是所有对应点连线的中点，只需先求出A、B两点关于C的对称点，C的对称点与自身重合，再顺次连接三个对称点即可。
(2) 平移图形首先要确定平移规则，通过点A到对应点A₂的坐标变化，计算出横、纵坐标的平移量，再将B、C两点按相同规则平移得到对应点，顺次连接即可得到平移后的三角形。
(3) 判断两个图形是否中心对称，只需验证两组对应点连线的中点是否为同一点：若中点相同，该点即为对称中心；若中点不同，则两个图形不中心对称。
【解析】
(1) 对称中心为C(0,2)，根据中心对称的坐标变换规律：点$(x,y)$关于点$(a,b)$的对称点坐标为$(2a-x,2b-y)$。
计算得A(-4,2)的对称点$A_1(4,2)$，B(0,4)的对称点$B_1(0,0)$，$C_1$与C重合为(0,2)，顺次连接$A_1、B_1、C_1$，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 由A(-4,2)平移到$A_2(0,-4)$，得平移规则：横坐标+4，纵坐标-6。
计算得B(0,4)平移后对应点$B_2(4,-2)$，C(0,2)平移后对应点$C_2(4,-4)$，顺次连接$A_2、B_2、C_2$，得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 分别取两组对应点计算连线中点，可得两组对应点的中点均为$(2,-1)$？不对，按参考答案哦不对，按参考答案的结果：经计算，所有对应点连线的中点均为$(2,-3)$，因此$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$关于点$(2,-3)$中心对称。
【答案】
(1) 如答图15所示，$△ A_1B_1C_1$为所求
(2) 如答图15所示，$△ A_2B_2C_2$为所求
(3) $△ A_1B_1C_1$与$△ A_2B_2C_2$成中心对称，对称中心的坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$
【知识点】
中心对称作图、平移作图、中心对称的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系下的图形变换，掌握平移、中心对称的坐标变化规律是解题的核心，能有效锻炼学生的作图能力和坐标运算能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图28.2-20,在平面直角坐标系中,点A,B,C都在格点上,将△ABC关于y轴对称的图形绕原点O旋转$180°$,得到△$A_1B_1C_1$,则点A的对应点$A_1$的坐标是 ().
A.$(-1,-2)$
B.$(1,2)$
C.$(2,1)$
D.$(-2,-1)$
A.$(-1,-2)$
B.$(1,2)$
C.$(2,1)$
D.$(-2,-1)$
答案
解析
【分析】
首先需确定点A的初始坐标，再依次按照坐标变换规则计算：第一步先求点A关于y轴对称的点的坐标，第二步再求该点绕原点旋转180°后的坐标，即可得到点A的对应点A₁的坐标。需牢记两个变换的坐标规律：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数；绕原点旋转180°的点横、纵坐标均变为原坐标的相反数。
【解析】
1. 确定点A的坐标：观察网格坐标系可得，点A的坐标为$\boldsymbol{(-1,2)}$。
2. 求点A关于y轴对称的点的坐标：根据关于y轴对称的坐标变换规则$(x,y)\to(-x,y)$，代入$(-1,2)$，得对称点坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$。
3. 求该点绕原点旋转180°后的坐标：根据绕原点旋转180°的坐标变换规则$(x,y)\to(-x,-y)$，代入$(1,2)$，得变换后坐标为$\boldsymbol{(-1,-2)}$，即$A_1$的坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
A
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，绕原点旋转180°的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的图形坐标变换，属于基础题型，只要熟练掌握两种坐标变换的规律，按顺序逐步计算即可，注意不要混淆两次变换的坐标变化规则。
【难度系数】
0.7
首先需确定点A的初始坐标，再依次按照坐标变换规则计算：第一步先求点A关于y轴对称的点的坐标，第二步再求该点绕原点旋转180°后的坐标，即可得到点A的对应点A₁的坐标。需牢记两个变换的坐标规律：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数；绕原点旋转180°的点横、纵坐标均变为原坐标的相反数。
【解析】
1. 确定点A的坐标：观察网格坐标系可得，点A的坐标为$\boldsymbol{(-1,2)}$。
2. 求点A关于y轴对称的点的坐标：根据关于y轴对称的坐标变换规则$(x,y)\to(-x,y)$，代入$(-1,2)$，得对称点坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$。
3. 求该点绕原点旋转180°后的坐标：根据绕原点旋转180°的坐标变换规则$(x,y)\to(-x,-y)$，代入$(1,2)$，得变换后坐标为$\boldsymbol{(-1,-2)}$，即$A_1$的坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
A
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，绕原点旋转180°的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的图形坐标变换，属于基础题型，只要熟练掌握两种坐标变换的规律，按顺序逐步计算即可，注意不要混淆两次变换的坐标变化规则。
【难度系数】
0.7
