1.(5分)在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$.若$AB=5$，则$AC$的长为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

1. D

【分析】
解题时先梳理已知条件：已知△ABC中∠B=∠C，AB=5，要求AC的长。首先回忆等腰三角形的判定定理：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。接下来确定角对应的边：∠B所对的边是AC，∠C所对的边是AB，因此可得AC=AB，代入AB的长度即可求出AC的长。
【解析】
在△ABC中，
∵ ∠B=∠C，
∴ 根据“等角对等边”可得：AC=AB，
又
∵ AB=5，
∴ AC=5，
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 等角对等边
2. 三角形边角对应关系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对等腰三角形判定定理的理解与应用，解题的关键是准确匹配相等的角与其所对的边，熟练掌握该定理即可快速求解，是等腰三角形相关知识点的常见基础考法。
【难度系数】
0.9

2.（5分）下列图形不是等腰三角形的是（）

2. A

【分析】
要判断哪个图形不是等腰三角形，需依据等腰三角形的判定规则：有两个角相等的三角形是等腰三角形，或有两条边相等的三角形是等腰三角形。我们可以先利用三角形内角和为180°，计算每个选项三角形的未知角，再结合边长情况逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：已知两个内角分别为50°、35°，第三个角为$180° - 50° - 35° = 95°$，三个角度数各不相同，也没有相等的边，因此不是等腰三角形。
2. 选项B：是直角三角形，已知一个锐角为45°，第三个角为$180° - 90° - 45° = 45°$，有两个相等的45°角，是等腰直角三角形，属于等腰三角形。
3. 选项C：已知两个内角为40°、100°，第三个角为$180° - 40° - 100° = 40°$，有两个相等的40°角，是等腰三角形。
4. 选项D：三角形有两条边长均为5，两条边相等，因此是等腰三角形。
综上，只有A不是等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题型，核心考查等腰三角形的判定方法，只要熟练掌握“等角对等边”和“两边相等的三角形为等腰三角形”的判定规则，结合三角形内角和计算角度即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

3.(5分) 日常生活情境 将一个平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示.若$∠ ABD=∠ BCE$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，则AC的长为 ()

A.10 cm
B.11 cm
C.12 cm
D.13 cm

（第3题图）
（第4题图）

3. A

【分析】
解题时先观察已知角的关系，∠ABD和∠BCE分别是∠ABC、∠ACB的邻补角，结合已知∠ABD=∠BCE，可先利用等角的补角相等推出△ABC的两个底角相等，再根据等腰三角形“等角对等边”的性质得到AC与AB的长度关系，代入数值即可求解。
【解析】
∵ ∠ABD + ∠ABC = 180°，∠BCE + ∠ACB = 180°（邻补角的定义），且∠ABD=∠BCE，
∴ ∠ABC=∠ACB（等角的补角相等），
∴ 在△ABC中，AC=AB（等角对等边），
又
∵ AB=10cm，
∴ AC=10cm。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
补角的性质；等角对等边
【点评】
本题结合生活场景考查几何基础性质的应用，解题切入点是通过补角性质推导三角形内角相等，难度较低，熟练掌握基础概念和性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85

4.(5分)(教材P81练习T1变式)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,BD是$∠ ABC$的平分线,那么图中等腰三角形有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

4. C

【分析】
要判断图中的等腰三角形，需结合“等角对等边”的判定定理分析：首先由已知AB=AC先确定△ABC是等腰三角形，再结合∠A的度数算出△ABC的底角度数，接着利用角平分线的定义得到相等的角，逐个推导剩下的三角形是否满足两角相等，即可得出所有等腰三角形的个数。
【解析】
解：①
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°；
②
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，即△ABD是等腰三角形；
③ 在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，即△BDC是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形有△ABC、△ABD、△BDC，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础题型，解题核心是通过角度计算得到相等的角，再结合“等角对等边”完成判定，能很好地考查学生对等腰三角形性质和判定的掌握程度。
【难度系数】
0.7

5.(5分)如图,在$△ ABC$中,边AC的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,$∠ B=∠ ADB$.若$AB=4$,则DC的长是.

(第5题图)
(第6题图)

5. 4

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可推出AD=DC，因此求DC的长可转化为求AD的长；再结合∠B=∠ADB的条件，利用等腰三角形“等角对等边”的判定可得AD=AB，已知AB的长度，即可通过等量代换求出DC的长度。
【解析】
1. 因为DE是AC的垂直平分线，点D在DE上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$\boldsymbol{AD=DC}$。
2. 在$△ ABD$中，已知$∠ B=∠ ADB$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得$\boldsymbol{AD=AB}$。
3. 已知$AB=4$，因此$AD=4$，结合$AD=DC$，可推出$DC=4$。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等角对等边
【点评】
本题是基础几何应用题，核心是通过AD作为中间量建立DC和AB的等量关系，只要熟练掌握线段垂直平分线性质和等腰三角形的判定，就能快速完成求解。
【难度系数】
0.8

6.(5分)如图,在$△ ABC$中,CD平分$∠ ACB$,$DE// BC$,交AC于点E.若$DE=5$,$AE=7$,则AC的长为.

6. 12

【分析】
解题时首先梳理已知条件：CD是∠ACB的角平分线，可得到两个相等的角；再结合DE//BC的条件，利用平行线的内错角相等性质，可推出△CDE为等腰三角形，得到EC=DE，最后将AE和EC的长度相加即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠BCD，
∵DE//BC，
∴∠EDC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ECD=∠EDC，
∴EC=DE（等角对等边），
∵DE=5，
∴EC=5，
又
∵AE=7，
∴AC=AE+EC=7+5=12。
【答案】
12
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查“角平分线+平行线”的常见几何模型，该模型通常可推导得到等腰三角形，熟练掌握这个规律能快速解决同类题型。
【难度系数】
0.8

7.(5分) 海轮航行情境（教材P85习题T9变式）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东$70°$方向的M处，它以40 n mile/h的速度向正北方向航行，2 h后到达位于灯塔P的北偏东$40°$方向的N处，则此时这艘海轮到灯塔P的距离为 n mile.

7. 80

【分析】
解题时首先根据路程公式算出海轮航行的路程MN的长度，再结合方向角计算三角形PMN的内角，利用平行线的内错角相等得到角的等量关系，最后根据等腰三角形等角对等边的性质得到N到灯塔P的距离与MN相等，即可求解。
【解析】
1. 计算海轮航行的路程MN：
已知海轮速度为40 n mile/h，航行时间为2 h，根据路程=速度×时间，可得：
$MN = 40×2 = 80\ \mathrm{n mile}$
2. 计算三角形内角：
由方向角可知，过P的南北方向线上，$∠ NP北=40°$，$∠ MP南=70°$，因此：
$∠ MPN = 180° - 40° -70° =70°$
因为MN为正北方向航行路线，和过P的南北方向直线平行，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ M = ∠ MP南=70°$。
3. 利用等腰三角形性质求PN：
因为$∠ MPN=∠ M=70°$，根据等角对等边，可得$PN=MN=80\ \mathrm{n mile}$。
【答案】
80
【知识点】
方向角识别，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题结合航行实际情境，综合考查方向角、平行线性质和等腰三角形判定的应用，解题的关键是准确提取图中的角度信息，找到相等的角推出边的等量关系。
【难度系数】
0.7

8.(8分)用尺规作等腰三角形:如图,已知某等腰三角形的底边长为a,顶角的平分线长为b,求作这个等腰三角形.(不写作法,保留作图痕迹)

解:如图,△ABC即为所求。

【分析】
要作满足条件的等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质推导作图思路：首先根据已知底边长为a，先确定等腰三角形的底边；其次等腰三角形的顶角平分线同时是底边的垂直平分线，因此作出底边的垂直平分线后，只需在垂直平分线上截取长度为b的线段作为顶角平分线，即可确定等腰三角形的顶点，最后连接顶点和底边两端点就能得到所求三角形。
【解析】
作图逻辑如下：
1. 作线段AB，使AB的长度等于已知线段a，确定等腰三角形的底边；
2. 用尺规作线段AB的垂直平分线，与AB交于中点D；
3. 在AB的垂直平分线上，从点D向上截取线段CD，使CD=b，此时CD即为等腰三角形的顶角平分线，点C为等腰三角形的顶点；
4. 连接AC、BC，得到的△ABC就是符合要求的等腰三角形。
【答案】
如图,△ABC即为所求。
【知识点】
等腰三角形三线合一，作已知线段，作线段垂直平分线
【点评】
本题是基础尺规作图题，核心是将等腰三角形的性质和基本尺规作图方法结合，解题关键是理解等腰三角形顶角平分线与底边垂直平分线的重合关系，能将题目给出的边长条件转化为作图步骤。
【难度系数】
0.7

9.（8分）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$△ ABC$内一点，$∠ ABD = ∠ ACD$. 求证：$△ DBC$是等腰三角形.

9. 证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=∠ACD,
∴∠ABC−∠ABD=∠ACB−∠ACD,即∠DBC=∠DCB.
∴BD=CD.
∴△DBC是等腰三角形.

【分析】
要证明△DBC是等腰三角形，需证该三角形有两条边相等或两个内角相等。首先由已知AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠ABC=∠ACB；再结合已知∠ABD=∠ACD，将两个相等的底角分别减去相等的∠ABD和∠ACD，即可推导出∠DBC=∠DCB；最后根据等角对等边得到BD=CD，即可证明△DBC是等腰三角形。
【解析】
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=∠ACD,
∴∠ABC−∠ABD=∠ACB−∠ACD,即∠DBC=∠DCB.
∴BD=CD.
∴△DBC是等腰三角形.
【答案】
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=∠ACD,
∴∠ABC−∠ABD=∠ACB−∠ACD,即∠DBC=∠DCB.
∴BD=CD.
∴△DBC是等腰三角形.
【知识点】
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
等式的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，重点考查等腰三角形性质和判定的综合运用，解题思路清晰，只需结合已知角的关系推导得出待证三角形的两个底角相等即可完成证明，要求熟练掌握等腰三角形的相关定理。
【难度系数】
0.8

10.(10分)如图,在$△ ABC$中,AD是角平分线,且$BD=CD,DE⊥ AB,DF⊥ AC$,垂足分别是E,F.
(1)求证:$△ BDE≌△ CDF$;
(2)求证:$△ ABC$是等腰三角形.

10. 证明:(1)
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°,DE=DF.在Rt△BDE和Rt△CDF中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).(2)由(1)知Rt△BDE≌Rt△CDF,
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.

【分析】
(1)要证明$△ BDE≌△ CDF$，首先观察两个三角形均为直角三角形，可优先考虑直角三角形全等的HL判定定理。首先根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由AD是$∠ BAC$的角平分线，$DE⊥ AB$、$DF⊥ AC$，可得$DE=DF$；再结合已知条件$BD=CD$，即可通过HL证明两个直角三角形全等。
(2)要证明$△ ABC$是等腰三角形，只需证明$∠ B=∠ C$或$AB=AC$。由(1)中两个三角形全等的性质，可得对应角$∠ B=∠ C$，再根据“等角对等边”即可推出$AB=AC$，进而证明$△ ABC$为等腰三角形。
【解析】
(1)证明：
$\because$AD平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore ∠ DEB=∠ DFC=90°$，$DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases} BD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$。
(2)证明：
由(1)知$\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF$，
$\therefore ∠ B=∠ C$，
$\therefore AB=AC$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
【答案】
(1)$\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF$，证明见上述过程；
(2)$△ ABC$是等腰三角形，证明见上述过程。
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，综合考查了角平分线性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关基础定理，准确梳理条件之间的关联，注意HL判定定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8