1.我们知道，把一个圆周等分后，顺次连接各等分点，所得到的多边形就是一个。
图(1)(2)(3)中的阴影图形依次是、、。

1. 正多边形 正三角形 正方形 正六边形

【分析】
解题时首先回忆正多边形与圆的相关概念：将一个圆周进行n等分后，顺次连接这n个等分点，得到的多边形各边相等、各内角也相等，符合正多边形的定义，这类多边形也叫做该圆的内接正多边形。接下来观察三个阴影图形的边数：图(1)有3条边，是3等分圆周得到的正多边形；图(2)有4条边，是4等分圆周得到的正多边形；图(3)有6条边，是6等分圆周得到的正多边形，结合常见正多边形的名称即可作答。
【解析】
根据正多边形和圆的关系的定义：把一个圆周等分后，顺次连接各等分点，所得到的多边形就是正多边形，即该圆的内接正多边形。
观察图形特征：
图(1)的阴影图形是3等分圆周后顺次连接等分点得到的，为正三角形；
图(2)的阴影图形是4等分圆周后顺次连接等分点得到的，为正方形；
图(3)的阴影图形是6等分圆周后顺次连接等分点得到的，为正六边形。
【答案】
正多边形 正三角形 正方形 正六边形
【知识点】
正多边形的定义、正多边形与圆的关系、正多边形识别
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对正多边形和圆的对应关系的记忆与识别，只要熟练掌握相关定义，结合图形特征即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2.任何一个正多边形都可以画出它的内切圆,任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是.

2. 同心圆

【分析】
解题时先回忆正多边形与圆的相关性质：正多边形的外接圆圆心称为正多边形的中心，同时正多边形的中心到各边的距离相等，因此内切圆的圆心也为正多边形的中心，两个圆圆心重合，结合圆的分类概念即可得出结论。
【解析】
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，由于正多边形各边相等、各内角相等，正多边形的中心到各顶点的距离相等（即外接圆半径），同时到各边的距离也相等（即内切圆半径），因此正多边形的内切圆圆心与外接圆圆心重合。我们把圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆，因此这两个圆是同心圆。
【答案】
同心圆
【知识点】
正多边形与圆的关系；同心圆的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对正多边形外接圆、内切圆特点的识记，掌握正多边形的中心是两类圆的共同圆心是解题的关键。
【难度系数】
0.9

3. 用量角器等分圆周：
（1）要把一个圆等分，只要把圆心角$n$等分即可；
（2）根据在同圆中相等的圆心角所对的弧，因此可以先用量角器画一个等于$\frac{360°}{n}$的圆心角，这个角所对的弧是圆的，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的$n$等分点；
（3）顺次连接各分点，就得到了正$n$边形。

3. 相等 $\frac{1}{n}$

【分析】
解答本题需结合同圆中圆心角与弧的对应关系思考：首先回忆圆心角、弧的关系定理，明确相等的圆心角对应的弧的性质，再结合整个圆周的圆心角为360°，计算单份圆心角对应的弧占整个圆的比例即可完成填空。
【解析】
根据同圆中圆心角与弧的关系定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因此第一个空填“相等”；
整个圆周对应的圆心角为360°，若画出的圆心角大小为$\frac{360°}{n}$，则该圆心角所对的弧占整个圆的比例为$\frac{\frac{360°}{n}}{360°}=\frac{1}{n}$，即这个角所对的弧是圆的$\frac{1}{n}$，第二个空填$\frac{1}{n}$。
【答案】
相等；$\frac{1}{n}$
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 正多边形与圆
【点评】
本题属于基础概念题，考查用量角器等分圆周作正多边形的原理，核心是对同圆中圆心角和弧的对应关系的理解，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9

用直尺和圆规来作特殊的正多边形.如，正方形、正六边形、正八边形、正十六边形.

解：
1. 作圆内接正方形：
① 作任意⊙O的一条直径AC；
② 作直径BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；
③ 顺次连接A、B、C、D，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形。
2. 作圆内接正六边形：
① 作任意⊙O的一条直径AD；
② 分别以点A、D为圆心，⊙O的半径长为半径画弧，交⊙O于B、F和C、E四点；
③ 顺次连接A、B、C、D、E、F，六边形ABCDEF即为⊙O的内接正六边形。
3. 作圆内接正八边形：
① 按上述作正方形的方法得到⊙O的内接正方形的4个顶点；
② 分别作正方形每条边所对劣弧的中点，得到4个新的等分点；
③ 将这8个点按顺序顺次连接，所得八边形即为⊙O的内接正八边形。
4. 作圆内接正十六边形：
① 按上述作正八边形的方法得到⊙O的内接正八边形的8个顶点；
② 分别作正八边形每条边所对劣弧的中点，得到8个新的等分点；
③ 将这16个点按顺序顺次连接，所得十六边形即为⊙O的内接正十六边形。

【分析】
要作圆内接正多边形，核心是将圆周n等分（n为正多边形的边数），顺次连接各等分点即可得到对应的正n边形。我们可以根据不同正多边形的特征选择合适的等分方法：①作正方形时，利用互相垂直的两条直径可直接将圆四等分；②作正六边形时，利用正六边形边长等于外接圆半径的特点，用半径画弧即可将圆六等分；③作正八边形、正十六边形时，可在四等分、八等分圆周的基础上，平分每一段劣弧，进一步得到8等分、16等分点，再顺次连接即可。
【解析】
1. 作圆内接正方形：
① 作任意⊙O的一条直径AC；
② 作直径BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；
③ 顺次连接A、B、C、D，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形。
2. 作圆内接正六边形：
① 作任意⊙O的一条直径AD；
② 分别以点A、D为圆心，⊙O的半径长为半径画弧，交⊙O于B、F和C、E四点；
③ 顺次连接A、B、C、D、E、F，六边形ABCDEF即为⊙O的内接正六边形。
3. 作圆内接正八边形：
① 按上述作正方形的方法得到⊙O的内接正方形的4个顶点；
② 分别作正方形每条边所对劣弧的中点，得到4个新的等分点；
③ 将这8个点按顺序顺次连接，所得八边形即为⊙O的内接正八边形。
4. 作圆内接正十六边形：
① 按上述作正八边形的方法得到⊙O的内接正八边形的8个顶点；
② 分别作正八边形每条边所对劣弧的中点，得到8个新的等分点；
③ 将这16个点按顺序顺次连接，所得十六边形即为⊙O的内接正十六边形。
【答案】
1. 作圆内接正方形：
① 作任意⊙O的一条直径AC；
② 作直径BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；
③ 顺次连接A、B、C、D，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形。
2. 作圆内接正六边形：
① 作任意⊙O的一条直径AD；
② 分别以点A、D为圆心，⊙O的半径长为半径画弧，交⊙O于B、F和C、E四点；
③ 顺次连接A、B、C、D、E、F，六边形ABCDEF即为⊙O的内接正六边形。
3. 作圆内接正八边形：
① 按上述作正方形的方法得到⊙O的内接正方形的4个顶点；
② 分别作正方形每条边所对劣弧的中点，得到4个新的等分点；
③ 将这8个点按顺序顺次连接，所得八边形即为⊙O的内接正八边形。
4. 作圆内接正十六边形：
① 按上述作正八边形的方法得到⊙O的内接正八边形的8个顶点；
② 分别作正八边形每条边所对劣弧的中点，得到8个新的等分点；
③ 将这16个点按顺序顺次连接，所得十六边形即为⊙O的内接正十六边形。
【知识点】
1.正多边形与圆
2.尺规作图
3.圆周等分
【点评】
本题属于基础尺规作图题，解题关键是理解正多边形和圆的对应关系，掌握常见的圆周等分方法，学会将复杂的作图问题转化为基础的等分弧问题，还可在此基础上拓展作出更多边数为2^n的正多边形。
【难度系数】
0.8

探究学习
周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是$S_3,S_4,S_6$,则它们的大小关系是()

A.$S_6 ＞ S_4 ＞ S_3$
B.$S_3 ＞ S_4 ＞ S_6$
C.$S_6 ＞ S_3 ＞ S_4$
D.$S_4 ＞ S_6 ＞ S_3$

A

【分析】
要比较周长相等的正三角形、正方形、正六边形的面积，我们可以按照以下思路思考：第一步先根据周长分别求出三个正多边形的边长；第二步结合各正多边形的结构特征，分别计算它们的面积；第三步对计算出的面积做大小比较，即可得出结果。计算正多边形面积时，可采用分割法，将正多边形拆分为多个全等的三角形计算，这是正多边形相关计算的常用方法。
【解析】
解：已知三个正多边形周长均为12，分别计算面积如下：
1. 计算正三角形的面积$S_3$：
正三角形边长$a_3=12÷3=4$，
正三角形的高$h_3=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，
则$S_3=\frac{1}{2}× a_3 × h_3=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\approx6.93$。
2. 计算正方形的面积$S_4$：
正方形边长$a_4=12÷4=3$，
则$S_4=a_4^2=3^2=9$。
3. 计算正六边形的面积$S_6$：
正六边形边长$a_6=12÷6=2$，
正六边形可分割为6个边长为2的全等正三角形，单个小正三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$，
则$S_6=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}\approx10.39$。
比较面积大小：$6\sqrt{3}＞9＞4\sqrt{3}$，即$S_6＞S_4＞S_3$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的性质；正多边形面积计算；实数大小比较
【点评】
本题是正多边形相关计算的基础题型，核心是掌握周长与边长的关系，以及将正多边形拆分为三角形计算面积的方法，计算时注意特殊三角形的边长和高的关系，熟练进行无理数的近似比较即可快速解题。
【难度系数】
0.7

1. 正n边形的每个内角的度数是(n ＞ 3),正n边形每个外角的度数是.

1. $\frac{(n-2)×180°}{n}$ $\frac{360°}{n}$

【分析】
解题思路可分为两步：①求正n边形每个内角度数：首先回忆多边形内角和公式，由于正n边形的所有内角相等，用内角和除以边数n即可得到单个内角的度数；②求正n边形每个外角度数：任意多边形的外角和恒为360°，正n边形所有外角相等，用外角和除以边数n即可得到单个外角的度数，也可利用“内角+相邻外角=180°”的关系推导验证。
【解析】
1. 计算每个内角的度数：
多边形内角和公式为$(n-2)× 180°$，正n边形的n个内角大小均相等，因此每个内角的度数为内角和除以边数n，即：
$\dfrac{(n-2)× 180°}{n}$
2. 计算每个外角的度数：
任意多边形的外角和均为$360°$，正n边形的n个外角大小均相等，因此每个外角的度数为外角和除以边数n，即：
$\dfrac{360°}{n}$
也可通过平角定义验证：$180°-\dfrac{(n-2)× 180°}{n}=\dfrac{360°}{n}$，二者结果一致。
【答案】
$\frac{(n-2)×180°}{n}$；$\frac{360°}{n}$
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理；正多边形性质
【点评】
本题是正多边形相关的基础计算题，核心考查对多边形内角和、外角和规律的掌握，属于基础必考点，牢记相关公式即可快速解答。
【难度系数】
0.85