4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = ∠ ACB$，AD是$∠ BAC$的平分线.
(1)求$∠ ADC$的度数.
(2)已知E是边AC上一点，$DE// AB$. 请作出边AC上的高BF. 判断$∠ CBF$与$∠ ADE$的数量关系，并说明理由.

4(1) $90°$
4(2) $∠ CBF=∠ ADE$，作图和说明理由略.

【分析】
(1) 先由∠ABC=∠ACB判定△ABC为等腰三角形，再结合AD是∠BAC的角平分线，利用等腰三角形“三线合一”的性质可得AD垂直于底边BC，直接得到∠ADC的度数。
(2) 作图时过点B作AC的垂线，垂足为F即得高BF；判断角的数量关系时，先由DE//AB得内错角相等推出∠ADE=∠BAD，再结合角平分线性质得∠BAD=∠CAD，最后利用“同角的余角相等”推出∠CBF=∠CAD，通过等量代换即可得到两角的关系。
【解析】
(1) 解：
∵∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，AB=AC，
又
∵AD是∠BAC的平分线，
根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°。
(2) 作图：过点B作BF⊥AC，交AC于点F，BF即为AC边上的高（作图略）。
数量关系：∠CBF=∠ADE，理由如下：
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∵BF是AC边上的高，
∴∠BFC=90°，即∠CBF+∠C=90°，
又
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即∠CAD+∠C=90°，
∴∠CBF=∠CAD（同角的余角相等），
∴∠CBF=∠ADE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$
(2) $\boldsymbol{∠ CBF=∠ ADE}$，BF作图略，理由略。
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、余角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将等腰三角形、平行线、余角的性质结合考查，解题核心是梳理角之间的等量关系，熟练掌握基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

5. 如图，在正方形网格纸中，每个小方格的边长均为1，$△ ABC$的顶点都在格点上. 请判断$△ ABC$的形状，并说明理由. 第5题

5. $△ ABC$ 为直角三角形，说明理由略.

【分析】
要判断格点上△ABC的形状，我们可以借助网格的特点和勾股定理先计算出三角形三边长度的平方，再利用勾股定理的逆定理验证是否存在直角，进而确定三角形的形状。具体思路为：第一步，分别找到三边在水平、竖直方向的格数差，用勾股定理计算出每条边长度的平方；第二步，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可判定为直角三角形。
【解析】
解：设每个小方格的边长为1，根据勾股定理计算各边长度的平方：
$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
$AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$，
$BC^2 = 11^2 + 2^2 = 121 + 4 = 125$，
∴ $AC^2 + AB^2 = 25 + 100 = 125 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC为直角三角形，且$∠ A=90°$。
【答案】
△ABC是直角三角形。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格中三角形形状判定的典型题型，解题的关键是结合网格特征用勾股定理求出各边长度的平方，再用勾股定理的逆定理完成判定，解题时要注意准确数出各边对应的水平、竖直格数，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

6. (1)如图，在$△ ABC$和$△ CDE$中，$∠ B=∠ E=∠ ACD=90°$，$AC=CD$，$B$，$C$，$E$三点在同一条直线上. 若$AB=3$，$DE=4$，求$BE$的长. 第6(1)题
(2)如图，$∠ ABC=90°$，$BC=4$，过点$C$作$CD⊥ AC$，且$CD=AC$，连接$BD$. 求$△ BCD$的面积. 第6(2)题
(3)如图，在四边形$ABCD$中，$∠ ABC=∠ CAB=∠ ADC=45°$，$△ ACD$的面积为12，$CD$的长为6. 求$△ BCD$的面积. 第6(3)题

6(1) 7
6(2) 8
6(3) 6

【分析】
(1) 题中已知三个直角共线且AC=CD，可通过同角的余角相等推导得一组对应角相等，用AAS证明△ABC与△CED全等，将AB、DE的长度转化为CE、BC的长度，求和即可得BE的长。
(2) 首先构造辅助线：过D作DE垂直BC的延长线，形成一线三等角模型，同理通过角的互余关系推导相等角，用AAS证明△ABC与△CED全等，得到DE与BC长度相等，再代入三角形面积公式即可求解。
(3) 先通过△ACD的面积和CD的长度求出CD边上的高AF，结合∠ADC=45°可得△AFD是等腰直角三角形，求出CF的长度；再由∠CAB、∠ABC均为45°推出AC=BC、∠ACB=90°，证明△AFC≌△CGB得到△BCD的高BG与CF相等，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 解：
∵∠B=∠ACD=∠E=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，∠DCE+∠ACB=180°-∠ACD=90°，
∴∠A=∠DCE，
在△ABC和△CED中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E \\∠A=∠DCE \\AC=CD\end{array} $
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB=CE=3，BC=DE=4，
∵B、C、E三点共线，
∴BE=BC+CE=4+3=7。
(2) 解：
过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∴∠DEC=∠ABC=90°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
又
∵∠ACB+∠A=90°，
∴∠A=∠DCE，
在△ABC和△CED中：
$\{\begin{array}{l}∠ABC=∠CED \\∠A=∠DCE \\AC=CD\end{array} $
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC=DE=4，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×DE=\frac{1}{2}×4×4=8$。
(3) 解：
过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥CD，交DC的延长线于点G，
∵$S_{△ACD}=12$，CD=6，
∴$\frac{1}{2}×CD×AF=12$，即$\frac{1}{2}×6×AF=12$，解得AF=4，
∵∠ADC=45°，∠AFD=90°，
∴△AFD是等腰直角三角形，
∴AF=DF=4，
∴CF=CD-DF=6-4=2，
∵∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，AC=BC，
∵∠ACF+∠BCG=180°-∠ACB=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCG，
在△AFC和△CGB中：
$\{\begin{array}{l}∠AFC=∠CGB=90° \\∠CAF=∠BCG \\AC=BC\end{array} $
∴△AFC≌△CGB（AAS），
∴BG=CF=2，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×CD×BG=\frac{1}{2}×6×2=6$。
【答案】
(1) 7；(2) 8；(3) 6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
这三道题均围绕一线三等角全等模型设计，通过角度互余关系推导相等角，结合已知边相等证明三角形全等，实现边的等量转化，进而求解线段长度或图形面积，解题的核心是合理构造辅助线，梳理角的互余关系找到全等条件。
【难度系数】
0.7