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7. 在$△ ABC$中，已知$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，且$c$为最大边. 我们知道，当$a^2+b^2=c^2$时，$△ ABC$是直角三角形. 当$a^2+b^2≠c^2$时，我们可以利用代数式$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系来探究$△ ABC$的形状(按角分类).
(1)当$△ ABC$三边的长分别为$6$，$8$，$9$时，$△ ABC$为
(2)猜想：当$a^2+b^2$
(3)若$a=5$，$b=12$.
①当$△ ABC$为直角三角形时，$c$的值为
②当$△ ABC$为锐角三角形时，$c$的取值范围为
③当$△ ABC$为钝角三角形时，$c$的取值范围为
(1)当$△ ABC$三边的长分别为$6$，$8$，$9$时，$△ ABC$为
锐角
三角形；当$△ ABC$三边的长分别为$6$，$8$，$11$时，$△ ABC$为钝角
三角形.(2)猜想：当$a^2+b^2$
＞
$c^2$时，$△ ABC$为锐角三角形；当$a^2+b^2$＜
$c^2$时，$△ ABC$为钝角三角形. (填“＞”“＜”或“=”)(3)若$a=5$，$b=12$.
①当$△ ABC$为直角三角形时，$c$的值为
13
；②当$△ ABC$为锐角三角形时，$c$的取值范围为
$12≤ c＜13$
；③当$△ ABC$为钝角三角形时，$c$的取值范围为
$13＜c＜17$
.答案
7(1) 锐角，钝角
7(2) ＞，＜
7(3)①13 ②$12≤ c＜13$ ③$13＜c＜17$
7(2) ＞，＜
7(3)①13 ②$12≤ c＜13$ ③$13＜c＜17$
解析
【分析】
解题时首先抓住题干核心条件：$c$是$△ ABC$的最大边，因此$c$对应的内角是三角形的最大内角，三角形的形状由最大角的类型决定。我们可以通过比较$a^2+b^2$与$c^2$的大小判断最大角的类型：若$a^2+b^2=c^2$，最大角为直角；若$a^2+b^2＞c^2$，最大角为锐角；若$a^2+b^2＜c^2$，最大角为钝角。同时不要忽略三角形三边关系的限制：最大边$c$需满足$c＜a+b$，按照这个逻辑逐问求解即可。
【解析】
(1) 计算$6^2+8^2=36+64=100$：
当三边长为6、8、9时，$9^2=81$，$100＞81$即$a^2+b^2＞c^2$，最大角为锐角，故三角形为锐角三角形；
当三边长为6、8、11时，$11^2=121$，$100＜121$即$a^2+b^2＜c^2$，最大角为钝角，故三角形为钝角三角形。
(2) 结合(1)的结论可猜想：当$a^2+b^2＞c^2$时，$△ ABC$为锐角三角形；当$a^2+b^2＜c^2$时，$△ ABC$为钝角三角形。
(3) 已知$a=5$，$b=12$，且$c$为最大边，因此首先得满足$c≥ b=12$，同时由三边关系得$c＜a+b=5+12=17$，即$c$的基础取值范围为$12≤ c＜17$。
① 当$△ ABC$为直角三角形时，满足$a^2+b^2=c^2$，代入得$c^2=5^2+12^2=169$，因$c＞0$，故$c=13$。
② 当$△ ABC$为锐角三角形时，需满足$a^2+b^2＞c^2$，即$c^2＜169$，得$c＜13$，结合基础范围得$12≤ c＜13$。
③ 当$△ ABC$为钝角三角形时，需满足$a^2+b^2＜c^2$，即$c^2＞169$，得$c＞13$，结合基础范围得$13＜c＜17$。
【答案】
(1) 锐角，钝角
(2) ＞，＜
(3) ①13 ②$12≤ c＜13$ ③$13＜c＜17$
【知识点】
勾股定理；三角形三边关系；三角形按角分类
【点评】
本题是勾股定理的拓展应用型题目，重点考查学生对边的平方关系和三角形内角类型对应规律的理解，解题时要特别注意“$c$为最大边”的前提限制，同时不要遗漏三角形三边关系的约束，避免出现取值范围的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题干核心条件：$c$是$△ ABC$的最大边，因此$c$对应的内角是三角形的最大内角，三角形的形状由最大角的类型决定。我们可以通过比较$a^2+b^2$与$c^2$的大小判断最大角的类型：若$a^2+b^2=c^2$，最大角为直角；若$a^2+b^2＞c^2$，最大角为锐角；若$a^2+b^2＜c^2$，最大角为钝角。同时不要忽略三角形三边关系的限制：最大边$c$需满足$c＜a+b$，按照这个逻辑逐问求解即可。
【解析】
(1) 计算$6^2+8^2=36+64=100$：
当三边长为6、8、9时，$9^2=81$，$100＞81$即$a^2+b^2＞c^2$，最大角为锐角，故三角形为锐角三角形；
当三边长为6、8、11时，$11^2=121$，$100＜121$即$a^2+b^2＜c^2$，最大角为钝角，故三角形为钝角三角形。
(2) 结合(1)的结论可猜想：当$a^2+b^2＞c^2$时，$△ ABC$为锐角三角形；当$a^2+b^2＜c^2$时，$△ ABC$为钝角三角形。
(3) 已知$a=5$，$b=12$，且$c$为最大边，因此首先得满足$c≥ b=12$，同时由三边关系得$c＜a+b=5+12=17$，即$c$的基础取值范围为$12≤ c＜17$。
① 当$△ ABC$为直角三角形时，满足$a^2+b^2=c^2$，代入得$c^2=5^2+12^2=169$，因$c＞0$，故$c=13$。
② 当$△ ABC$为锐角三角形时，需满足$a^2+b^2＞c^2$，即$c^2＜169$，得$c＜13$，结合基础范围得$12≤ c＜13$。
③ 当$△ ABC$为钝角三角形时，需满足$a^2+b^2＜c^2$，即$c^2＞169$，得$c＞13$，结合基础范围得$13＜c＜17$。
【答案】
(1) 锐角，钝角
(2) ＞，＜
(3) ①13 ②$12≤ c＜13$ ③$13＜c＜17$
【知识点】
勾股定理；三角形三边关系；三角形按角分类
【点评】
本题是勾股定理的拓展应用型题目，重点考查学生对边的平方关系和三角形内角类型对应规律的理解，解题时要特别注意“$c$为最大边”的前提限制，同时不要遗漏三角形三边关系的约束，避免出现取值范围的错误。
【难度系数】
0.7
8. 如图，三块正方形土地的面积分别为74英亩、116英亩和370英亩，且这三块正方形土地恰好围着一个池塘。如何计算这个池塘的面积成了一个难题。英国数学家曾经巧妙地解答了这个问题，你能试着解决吗？（英亩是英美制土地面积单位，1英亩约为4046.86 m²）
答案
8. 解：如图，$\because74=5^2+7^2$，
$\therefore AB$ 是两直角边分别为 5 和 7 的直角三角形的斜边，作出这个直角三角形，得$\mathrm{Rt}△ ABE$.
同理，作$\mathrm{Rt}△ BCF$，其中$BF=4$，$FC=10$，$BF// AD$.
延长$AE$，$CF$ 交于点 $D$，则$AD=9$，$CD=17$，而$AC^2=370=9^2+17^2=AD^2+CD^2$，
$\therefore△ ACD$ 是直角三角形，$∠ ADC=90°$.
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ ADC} - S_{△ AEB} - S_{△ BCF} - S_{\mathrm{四边形}EDFB} = \frac{1}{2}×17×9-\frac{1}{2}×7×5-\frac{1}{2}×10×4-4×7=11$.
解析
【分析】
首先明确正方形面积等于边长的平方，因此三块正方形的面积就是中间池塘所在三角形三条边的平方。要计算池塘面积，可按以下思路推导：第一步，利用勾股定理将三个面积值拆分为两个整数的平方和，得到对应直角三角形的直角边长；第二步，构造辅助小直角三角形，延长直角边得到大三角形，再用勾股定理逆定理验证大三角形为直角三角形；第三步，用割补法，以大直角三角形面积减去周围小直角三角形和长方形的面积，即可得到池塘的面积。
【解析】
解：由题意得，池塘对应的三角形三条边的平方分别为74、116、370。
1. 构造小直角三角形
$\because74=5^2+7^2$，$\therefore$ 边长为$\sqrt{74}$的边是直角边为5和7的直角三角形的斜边，作出$\mathrm{Rt}△ ABE$，其中$AE=5$，$BE=7$，$∠ AEB=90°$；
同理，$\because116=4^2+10^2$，$\therefore$ 边长为$\sqrt{116}$的边是直角边为4和10的直角三角形的斜边，作出$\mathrm{Rt}△ BCF$，其中$BF=4$，$FC=10$，$∠ BFC=90°$，且$BF// AE$。
2. 验证大直角三角形
延长$AE$、$CF$交于点$D$，可得$∠ D=90°$，其中$AD=5+4=9$，$CD=10+7=17$。
$\because AD^2+CD^2=9^2+17^2=81+289=370=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，$\therefore △ACD$是直角三角形，$∠ ADC=90°$。
3. 割补法计算面积
$S_{△ABC} = S_{△ADC} - S_{△AEB} - S_{△BCF} - S_{\mathrm{四边形}EDFB}$
$= \frac{1}{2}×17×9-\frac{1}{2}×7×5-\frac{1}{2}×10×4-4×7$
$=76.5-17.5-20-28=11$（英亩）
【答案】
这个池塘的面积是11英亩。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题将正方形性质与勾股定理、逆定理相结合，通过拆分边长平方构造辅助图形，利用割补法求解不规则三角形面积，打破了直接套用三角形面积公式的思维定式，能有效锻炼几何构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
首先明确正方形面积等于边长的平方，因此三块正方形的面积就是中间池塘所在三角形三条边的平方。要计算池塘面积，可按以下思路推导：第一步，利用勾股定理将三个面积值拆分为两个整数的平方和，得到对应直角三角形的直角边长；第二步，构造辅助小直角三角形，延长直角边得到大三角形，再用勾股定理逆定理验证大三角形为直角三角形；第三步，用割补法，以大直角三角形面积减去周围小直角三角形和长方形的面积，即可得到池塘的面积。
【解析】
解：由题意得，池塘对应的三角形三条边的平方分别为74、116、370。
1. 构造小直角三角形
$\because74=5^2+7^2$，$\therefore$ 边长为$\sqrt{74}$的边是直角边为5和7的直角三角形的斜边，作出$\mathrm{Rt}△ ABE$，其中$AE=5$，$BE=7$，$∠ AEB=90°$；
同理，$\because116=4^2+10^2$，$\therefore$ 边长为$\sqrt{116}$的边是直角边为4和10的直角三角形的斜边，作出$\mathrm{Rt}△ BCF$，其中$BF=4$，$FC=10$，$∠ BFC=90°$，且$BF// AE$。
2. 验证大直角三角形
延长$AE$、$CF$交于点$D$，可得$∠ D=90°$，其中$AD=5+4=9$，$CD=10+7=17$。
$\because AD^2+CD^2=9^2+17^2=81+289=370=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，$\therefore △ACD$是直角三角形，$∠ ADC=90°$。
3. 割补法计算面积
$S_{△ABC} = S_{△ADC} - S_{△AEB} - S_{△BCF} - S_{\mathrm{四边形}EDFB}$
$= \frac{1}{2}×17×9-\frac{1}{2}×7×5-\frac{1}{2}×10×4-4×7$
$=76.5-17.5-20-28=11$（英亩）
【答案】
这个池塘的面积是11英亩。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题将正方形性质与勾股定理、逆定理相结合，通过拆分边长平方构造辅助图形，利用割补法求解不规则三角形面积，打破了直接套用三角形面积公式的思维定式，能有效锻炼几何构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
