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(9)如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=45°$，$CD⊥ AB$于点$D$，$BE$平分$∠ ABC$，且$BE⊥ AC$于点$E$，与$CD$相交于点$F$，$H$是$BC$的中点，$DH$与$BE$相交于点$G$.下列结论中，正确的个数为 (
①$BF=AC$；
②$CE=\frac{1}{2}BF$；
③$△ DGF$是等腰三角形；
④$BD+DF=BC$；
⑤$\frac{S_{△ BDF}}{S_{△ BCF}}=\frac{BD}{BC}$.
A.5
B.4
C.3
D.2
A
)①$BF=AC$；
②$CE=\frac{1}{2}BF$；
③$△ DGF$是等腰三角形；
④$BD+DF=BC$；
⑤$\frac{S_{△ BDF}}{S_{△ BCF}}=\frac{BD}{BC}$.
A.5
B.4
C.3
D.2
答案
1(9) A
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，先利用垂直和45°角得到等腰直角三角形BDC，再结合角平分线和垂直的条件证明三角形全等，再依次对5个结论逐一验证：首先证明△BDF≌△CDA验证结论①；再证明△ABE≌△CBE得到AC=2CE，结合①的结论验证②；通过计算角度得到∠DGF=∠DFG验证③；利用全等三角形对应边相等，结合AB=BC验证④；利用角平分线的性质，结合三角形面积公式验证⑤。
【解析】
我们逐一证明各结论：
1. 证明结论①：
∵$CD⊥AB$，$∠ABC=45°$，
∴$△BCD$是等腰直角三角形，得$BD=CD$。
∵$∠BDF=∠CDA=90°$，$∠BFD+∠ABF=90°$，$∠A+∠ABF=90°$，
∴$∠BFD=∠A$。
在$△BDF$和$△CDA$中：
$\{\begin{array}{l}∠BDF=∠CDA \\∠BFD=∠A \\BD=CD\end{array} $
∴$△BDF≌△CDA(AAS)$，
∴$BF=AC$，结论①正确。
2. 证明结论②：
∵$BE$平分$∠ABC$，$BE⊥AC$，
∴$∠ABE=∠CBE$，$∠AEB=∠CEB=90°$。
在$△ABE$和$△CBE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠CBE \\BE=BE \\∠AEB=∠CEB\end{array} $
∴$△ABE≌△CBE(ASA)$，得$AE=CE=\frac{1}{2}AC$。
结合①中$AC=BF$，得$CE=\frac{1}{2}BF$，结论②正确。
3. 证明结论③：
∵$H$是$BC$中点，$△BCD$是等腰直角三角形，
∴$DH⊥BC$，即$∠BHG=90°$。
∵$BE$平分$∠ABC$，$∠ABC=45°$，
∴$∠DBF=∠GBH=22.5°$。
在$△BDF$中，$∠BFD=90°-22.5°=67.5°$；在$△BGH$中，$∠BGH=90°-22.5°=67.5°$。
∵$∠DGF=∠BGH$，
∴$∠DGF=∠BFD=∠DFG$，得$DG=DF$，$△DGF$是等腰三角形，结论③正确。
4. 证明结论④：
由$△BDF≌△CDA$得$DF=AD$，
∴$BD+DF=BD+AD=AB$。
由$△ABE≌△CBE$得$AB=BC$，
∴$BD+DF=BC$，结论④正确。
5. 证明结论⑤：
∵$F$在角平分线$BE$上，
∴$F$到$AB$的距离等于$F$到$BC$的距离，设该距离为$h$。
$S_{△BDF}=\frac{1}{2}·BD·h$，$S_{△BCF}=\frac{1}{2}·BC·h$，
∴$\frac{S_{△BDF}}{S_{△BCF}}=\frac{\frac{1}{2}·BD·h}{\frac{1}{2}·BC·h}=\frac{BD}{BC}$，结论⑤正确。
综上，5个结论都正确。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题综合性较强，需要结合多个三角形相关定理对每个结论逐一推导，考查了逻辑推理能力和几何综合应用能力，熟练掌握全等、等腰三角形及角平分线的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.4
解题时先从已知条件出发，先利用垂直和45°角得到等腰直角三角形BDC，再结合角平分线和垂直的条件证明三角形全等，再依次对5个结论逐一验证：首先证明△BDF≌△CDA验证结论①；再证明△ABE≌△CBE得到AC=2CE，结合①的结论验证②；通过计算角度得到∠DGF=∠DFG验证③；利用全等三角形对应边相等，结合AB=BC验证④；利用角平分线的性质，结合三角形面积公式验证⑤。
【解析】
我们逐一证明各结论：
1. 证明结论①：
∵$CD⊥AB$，$∠ABC=45°$，
∴$△BCD$是等腰直角三角形，得$BD=CD$。
∵$∠BDF=∠CDA=90°$，$∠BFD+∠ABF=90°$，$∠A+∠ABF=90°$，
∴$∠BFD=∠A$。
在$△BDF$和$△CDA$中：
$\{\begin{array}{l}∠BDF=∠CDA \\∠BFD=∠A \\BD=CD\end{array} $
∴$△BDF≌△CDA(AAS)$，
∴$BF=AC$，结论①正确。
2. 证明结论②：
∵$BE$平分$∠ABC$，$BE⊥AC$，
∴$∠ABE=∠CBE$，$∠AEB=∠CEB=90°$。
在$△ABE$和$△CBE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠CBE \\BE=BE \\∠AEB=∠CEB\end{array} $
∴$△ABE≌△CBE(ASA)$，得$AE=CE=\frac{1}{2}AC$。
结合①中$AC=BF$，得$CE=\frac{1}{2}BF$，结论②正确。
3. 证明结论③：
∵$H$是$BC$中点，$△BCD$是等腰直角三角形，
∴$DH⊥BC$，即$∠BHG=90°$。
∵$BE$平分$∠ABC$，$∠ABC=45°$，
∴$∠DBF=∠GBH=22.5°$。
在$△BDF$中，$∠BFD=90°-22.5°=67.5°$；在$△BGH$中，$∠BGH=90°-22.5°=67.5°$。
∵$∠DGF=∠BGH$，
∴$∠DGF=∠BFD=∠DFG$，得$DG=DF$，$△DGF$是等腰三角形，结论③正确。
4. 证明结论④：
由$△BDF≌△CDA$得$DF=AD$，
∴$BD+DF=BD+AD=AB$。
由$△ABE≌△CBE$得$AB=BC$，
∴$BD+DF=BC$，结论④正确。
5. 证明结论⑤：
∵$F$在角平分线$BE$上，
∴$F$到$AB$的距离等于$F$到$BC$的距离，设该距离为$h$。
$S_{△BDF}=\frac{1}{2}·BD·h$，$S_{△BCF}=\frac{1}{2}·BC·h$，
∴$\frac{S_{△BDF}}{S_{△BCF}}=\frac{\frac{1}{2}·BD·h}{\frac{1}{2}·BC·h}=\frac{BD}{BC}$，结论⑤正确。
综上，5个结论都正确。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题综合性较强，需要结合多个三角形相关定理对每个结论逐一推导，考查了逻辑推理能力和几何综合应用能力，熟练掌握全等、等腰三角形及角平分线的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.4
(1)已知直角三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长为
$\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$
。答案
2(1) $\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，解题的关键是明确题目未说明已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①3为斜边，2为直角边，求另一条直角边；②2和3均为直角边，求斜边。再分别根据勾股定理计算第三边长，最后验证结果是否符合三角形三边关系即可。
【解析】
设第三边长为$x$，分两种情况讨论：
① 当长为3的边是斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$x^2 + 2^2 = 3^2$
解得$x=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，边长为正，符合要求；
② 当长为3的边是直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理可得：
$x^2 = 2^2 + 3^2$
解得$x=\sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，边长为正，符合要求。
综上，第三边的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，很多同学容易默认已知的两条边都是直角边，漏了3为斜边的情况。解答这类未明确边的类型的直角三角形边长问题时，一定要先分类讨论所有可能的情况，计算后还要验证结果是否满足三角形边长为正、两边之和大于第三边等隐含条件，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
本题考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，解题的关键是明确题目未说明已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①3为斜边，2为直角边，求另一条直角边；②2和3均为直角边，求斜边。再分别根据勾股定理计算第三边长，最后验证结果是否符合三角形三边关系即可。
【解析】
设第三边长为$x$，分两种情况讨论：
① 当长为3的边是斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$x^2 + 2^2 = 3^2$
解得$x=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，边长为正，符合要求；
② 当长为3的边是直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理可得：
$x^2 = 2^2 + 3^2$
解得$x=\sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，边长为正，符合要求。
综上，第三边的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，很多同学容易默认已知的两条边都是直角边，漏了3为斜边的情况。解答这类未明确边的类型的直角三角形边长问题时，一定要先分类讨论所有可能的情况，计算后还要验证结果是否满足三角形边长为正、两边之和大于第三边等隐含条件，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
(2)如图，将$△ ABC$绕点A逆时针旋转到$△ AEF$的位置，使点E在边BC上，EF与AC相交于点G. 若$∠ B=70°$，则$∠ GEC=$
$40°$
.答案
2(2) $40°$
解析
【分析】
解题时首先利用旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，即AB=AE，∠B=∠AEF=70°；再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求出∠AEB的度数；接着结合平角的定义求出∠AEC的度数；最后利用角的和差关系，用∠AEC减去∠AEF即可求出∠GEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，
∴AB=AE，∠AEF=∠B=70°，
∵AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠AEB=∠B=70°，
∵点E在BC上，∠BEC为平角，
∴∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°-∠AEB=180°-70°=110°，
又
∵∠AEC=∠AEF+∠GEC，
∴∠GEC=∠AEC-∠AEF=110°-70°=40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是挖掘旋转前后的等量关系，结合等腰三角形性质推导相关角度，解题时要注意平角隐含的角度和为180°的条件，是旋转类题型的典型基础考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，即AB=AE，∠B=∠AEF=70°；再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求出∠AEB的度数；接着结合平角的定义求出∠AEC的度数；最后利用角的和差关系，用∠AEC减去∠AEF即可求出∠GEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，
∴AB=AE，∠AEF=∠B=70°，
∵AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠AEB=∠B=70°，
∵点E在BC上，∠BEC为平角，
∴∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°-∠AEB=180°-70°=110°，
又
∵∠AEC=∠AEF+∠GEC，
∴∠GEC=∠AEC-∠AEF=110°-70°=40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是挖掘旋转前后的等量关系，结合等腰三角形性质推导相关角度，解题时要注意平角隐含的角度和为180°的条件，是旋转类题型的典型基础考法。
【难度系数】
0.7
(3)已知$△ ABC$的三边长分别为2，$\sqrt{13}$，$\sqrt{17}$，则$△ ABC$的面积为
$\sqrt{13}$
.答案
2(3) $\sqrt{13}$
解析
【分析】
已知三角形三边长求面积，首先可利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，直接用直角边乘积的一半计算面积即可。解题时第一步先确定最长边，计算最长边的平方，再计算另外两边的平方和，对比两者是否相等，若相等则判定为直角三角形，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
1. 确定△ABC的最长边为$\sqrt{17}$，计算最长边的平方：$(\sqrt{17})^2=17$；
2. 计算另外两条边的平方和：$2^2+(\sqrt{13})^2=4+13=17$；
3. 根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且两条直角边长分别为2和$\sqrt{13}$；
4. 代入直角三角形面积公式计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{13}=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是先通过勾股定理的逆定理快速判断三角形的形状，避免使用复杂的面积计算方法，大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.7
已知三角形三边长求面积，首先可利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，直接用直角边乘积的一半计算面积即可。解题时第一步先确定最长边，计算最长边的平方，再计算另外两边的平方和，对比两者是否相等，若相等则判定为直角三角形，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
1. 确定△ABC的最长边为$\sqrt{17}$，计算最长边的平方：$(\sqrt{17})^2=17$；
2. 计算另外两条边的平方和：$2^2+(\sqrt{13})^2=4+13=17$；
3. 根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且两条直角边长分别为2和$\sqrt{13}$；
4. 代入直角三角形面积公式计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{13}=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是先通过勾股定理的逆定理快速判断三角形的形状，避免使用复杂的面积计算方法，大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.7
(4)如图，将一个含有$45°$角的直角三角形纸板的直角顶点放在一张宽为2 cm的纸带的下边沿上，另一个顶点放在纸带的上边沿上，此时测得三角形纸板的一边与纸带下边沿所在直线成$30°$角. 该三角形纸板最大边的长为
第2(4)题
$4\sqrt{2}$
cm.第2(4)题
答案
2(4) $4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先明确纸带的宽度是上下两条平行边沿之间的垂线段长度，为2cm。我们先通过作辅助线（过三角板在上边沿的顶点向下边沿作垂线），构造出含30°角的直角三角形，利用30°角直角三角形的边角关系求出等腰直角三角板的直角边长，再根据等腰直角三角形的三边关系求出其最大边（斜边）的长度即可。
【解析】
1. 过三角板位于纸带上边沿的顶点，向纸带下边沿作垂线段，由纸带宽度为2cm可知，该垂线段的长度为2cm。
2. 该垂线段是含30°角的直角三角形中30°角所对的直角边，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得这个直角三角形的斜边，即等腰直角三角板的直角边长为 $2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}$。
3. 含45°角的直角三角形为等腰直角三角形，其最大边为斜边，由勾股定理可得斜边长为 $\sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
30°直角三角形性质、等腰直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考察特殊直角三角形的相关性质，解题的关键是通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，进而求出等腰直角三角形的直角边长，只要掌握特殊三角形的边角关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确纸带的宽度是上下两条平行边沿之间的垂线段长度，为2cm。我们先通过作辅助线（过三角板在上边沿的顶点向下边沿作垂线），构造出含30°角的直角三角形，利用30°角直角三角形的边角关系求出等腰直角三角板的直角边长，再根据等腰直角三角形的三边关系求出其最大边（斜边）的长度即可。
【解析】
1. 过三角板位于纸带上边沿的顶点，向纸带下边沿作垂线段，由纸带宽度为2cm可知，该垂线段的长度为2cm。
2. 该垂线段是含30°角的直角三角形中30°角所对的直角边，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得这个直角三角形的斜边，即等腰直角三角板的直角边长为 $2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}$。
3. 含45°角的直角三角形为等腰直角三角形，其最大边为斜边，由勾股定理可得斜边长为 $\sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
30°直角三角形性质、等腰直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考察特殊直角三角形的相关性质，解题的关键是通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，进而求出等腰直角三角形的直角边长，只要掌握特殊三角形的边角关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东$40°$方向航行，乙船向北偏东$50°$方向航行，2 h后，甲船到达B岛，乙船到达C岛. 已知两岛相距40海里.（水流的速度忽略不计）
(1)求$∠ BAC$的度数.
(2)求乙船的速度.
(1)求$∠ BAC$的度数.
(2)求乙船的速度.
答案
3(1) $90°$
3(2) 12 海里/时
3(2) 12 海里/时
解析
【分析】
(1) 求∠BAC的度数时，首先利用方向角的含义，正北与正南方向构成180°的平角，∠BAC与甲、乙两船的航行方向角之和等于180°，用平角度数减去两个方向角的度数即可求出∠BAC。(2) 由(1)可知△ABC是直角三角形，先根据“路程=速度×时间”算出甲船航行的路程AB，再利用勾股定理求出乙船航行的路程AC，最后用AC除以航行时间就能得到乙船的速度。
【解析】
(1) 根据方向角的定义，甲船航行方向为南偏东40°，即AB与正南方向夹角为40°；乙船航行方向为北偏东50°，即AC与正北方向夹角为50°。
∵ 正北和正南方向共线，构成的平角为180°
∴ ∠BAC = 180° - 40° - 50° = 90°
(2) 甲船航行时间为2h，速度为16海里/时，因此甲船航行的路程：
$AB = 16×2 = 32$（海里）
由(1)知∠BAC=90°，△ABC为直角三角形，已知BC=40海里，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{40^2 - 32^2} = \sqrt{1600 - 1024} = \sqrt{576} = 24$（海里）
乙船航行时间也为2h，因此乙船的速度为：
$24÷2 = 12$（海里/时）
【答案】
(1) $90°$；(2) 12海里/时
【知识点】
方向角的应用，勾股定理，行程问题计算
【点评】
本题是几何与实际行程结合的基础应用题，解题的核心是先通过方向角判断直角三角形，再结合勾股定理和行程公式计算，能有效考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.75
(1) 求∠BAC的度数时，首先利用方向角的含义，正北与正南方向构成180°的平角，∠BAC与甲、乙两船的航行方向角之和等于180°，用平角度数减去两个方向角的度数即可求出∠BAC。(2) 由(1)可知△ABC是直角三角形，先根据“路程=速度×时间”算出甲船航行的路程AB，再利用勾股定理求出乙船航行的路程AC，最后用AC除以航行时间就能得到乙船的速度。
【解析】
(1) 根据方向角的定义，甲船航行方向为南偏东40°，即AB与正南方向夹角为40°；乙船航行方向为北偏东50°，即AC与正北方向夹角为50°。
∵ 正北和正南方向共线，构成的平角为180°
∴ ∠BAC = 180° - 40° - 50° = 90°
(2) 甲船航行时间为2h，速度为16海里/时，因此甲船航行的路程：
$AB = 16×2 = 32$（海里）
由(1)知∠BAC=90°，△ABC为直角三角形，已知BC=40海里，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{40^2 - 32^2} = \sqrt{1600 - 1024} = \sqrt{576} = 24$（海里）
乙船航行时间也为2h，因此乙船的速度为：
$24÷2 = 12$（海里/时）
【答案】
(1) $90°$；(2) 12海里/时
【知识点】
方向角的应用，勾股定理，行程问题计算
【点评】
本题是几何与实际行程结合的基础应用题，解题的核心是先通过方向角判断直角三角形，再结合勾股定理和行程公式计算，能有效考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.75
